人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试精练

这是一份人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试精练，共10页。试卷主要包含了证明等内容，欢迎下载使用。
教材习题点拨复习参考题A组1．解：∵α，β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝，∴cos α＝，sin(α＋β)＝.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.2．解：∵α∈，β∈，∴－α∈，＋β∈.又∵cos＝，sin＝－，∴sin＝－，cos＝－.由于sin(π＋α＋β)＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝－，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝.3．解：∵α，β都是锐角，sin β＝，∴tan β＝.∴tan(α＋β)＝＝＝.∴tan(α＋2β)＝＝＝1.4．(1)证明：右边＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β＝左边，所以原题得证．(2)解：原式＝tan(20°＋40°)(1－tan 20°·tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.(3)解：(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1－tan(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.(4)解：原式＝＝＝－.5．解：(1)原式＝＝＝4；(2)原式＝sin 40°＝sin 40°·＝＝＝－1；(3)原式＝tan 70°cos 10°＝tan 70°cos 10°·＝·cos 10°·＝＝－1；(4)原式＝sin 50°＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝1.6．解：(1)；(2)；(3)或－；(4).7．解：∵cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，∴cos αcos β－sin αsin β＝，①cos αcos β＋sin αsin β＝.②①＋②，得cos αcos β＝.②－①，得sin αsin β＝.∴＝tan αtan β＝.8．证明：(1)∵左边＝2cos22α－1＋4cos 2α＋3＝2cos22α＋4cos 2α＋2＝2(cos 2α＋1)2＝2(2cos2α)2＝8cos4α＝右边，∴原题得证．(2)∵左边＝＝＝tan α＋＝右边，∴原题得证．(3)∵左边＝－2cos(α＋β)＝－2cos(α＋β)＝＝＝右边，∴原题得证．(4)∵左边＝＝＝＝tan4A＝右边，∴原题得证．9．解：y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋2cos2x－1＋1＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin＋2.(1)设y＝sin t＋2，则t＝2x＋，函数的递减区间为t∈，k∈Z，即＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ≤x≤＋kπ.∴函数的递减区间为，k∈Z.(2)∵－1≤sin≤1，∴ymax＝2＋，ymin＝2－.10．解：f(x)＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－2sin xcos x＝cos 2x－sin 2x＝cos.(1)最小正周期是π.(2)由x∈，得2x＋∈，所以当2x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－，f(x)取最小值时x的集合为.11．解：f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin＋1.(1)最小正周期是π，最大值为1＋.(2)f(x)在上的图象，如图所示．(第11题图)12．解：f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a＝2sin xcos＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin＋a.(1)由于ymax＝2＋a＝1，∴a＝－1.(2)∵f(x)≥0，∴2sin－1≥0，即sin≥.∴＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z.∴2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.∴适合题意的x的取值集合为.13．解：如图，设∠ABD＝α，则∠CAE＝α，AB＝，AC＝.(第13题图)  所以S△ABC＝·AB·AC＝.当2α＝，即α＝时，S△ABC取最小值h1h2.B组1．解法一：由及0≤α≤π，可解得sin α＝，cos α＝sin α－＝.所以sin 2α＝，cos 2α＝－，sin＝.解法二：由sin α－cos α＝，得(sin α－cos α)2＝，sin 2α＝.所以cos22α＝.又由sin α－cos α＝，得sin＝.因为α∈[0，π]，所以α－∈.而当α－∈时，sin≤0；当α－∈时，sin≥>.所以α－∈，即α∈.所以2α∈，cos 2α＝－.sin＝.2．解：把cos α＋cos β＝两边平方，得cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝，把sin α＋sin β＝两边平方，得sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝，把所得两式相加，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，即2＋2cos(α－β)＝.所以cos(α－β)＝－.3．解：由sin＋sin α＝－，可得sin α＋cos α＝－，即sin＝－.又因为－<α<0，所以－<α＋<.于是cos＝.所以cos α＝cos＝.4．解：＝＝＝sin 2x·＝sin 2xtan.由<x<，得<x＋<2π.又因为cos＝，所以sin＝－，tan＝－，cos x＝cos＝－，sin x＝－，sin 2x＝.所以＝－.5．证明：由cos22β＝(1－2sin2β)2＝(1－2sin θcos θ)2，4cos22α＝4(1－2sin2α)2＝4＝4＝4＝(1－2sin θcos θ)2，∴4cos22α＝cos22β.6．解：f(x)＝sin 2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin＋m＋1.由x∈，得2x＋∈，于是有2＋m＋1＝6，解得m＝3.f(x)＝2sin＋4(x∈R)的最小值为2，由2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，得f(x)取最小值时x的取值集合为.7．解：设AP＝x，AQ＝y，∠BCP＝α，∠DCQ＝β，则tan α＝1－x，tan β＝1－y.于是tan(α＋β)＝.又△APQ的周长为2，即x＋y＋＝2，变形可得，xy＝2(x＋y)－2.于是tan(α＋β)＝＝1.又因为0<α＋β<，所以α＋β＝，∠PCQ＝－(α＋β)＝.8．解：(1)由可得25sin2β－5sin β－12＝0.解得sin β＝或sin β＝－(由β∈(0，π)，舍去)．所以cos β＝－sin β＝－.于是tan β＝－.(2)根据所给条件，可求出仅由sin β，cos β，tan β表示的三角函数式的值．例如sin，，等等．