初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形教学ppt课件

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形教学ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了平行四边形再认识，讲授新课，问题引入，正方形，邻边相等，一个角是直角，正方形定义，归纳总结，证一证，轴对称图形等内容，欢迎下载使用。

1.理解正方形的概念.2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点）
矩 形
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么 发现？
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形.∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.
思考 请同学们观察并思考.  正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性： .对称轴：.
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
对边平行， 四条边都相等
四 个 角 都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
例1、如图，正方形ABCD中，（1）一条对角线把它分成 个全等的三角形。
问：这些三角形是什么三角形？
（2）两条对角线把它分成 个全等的 三角形。
（3）对角线AC与正方形的一边所成的角为 度。
例2 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
问题3 你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的几条途径：
例3 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .