试卷 专题23《平行四边形的存在性》

专题23《平行四边形的存在性》

破解策略

    以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知

识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，

    这类题，一般有两个类型：

    （1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：

    以A，B，C三点为顶点的平行四边形构造方法有：

①_x0001_           作平行线：如图，连结AB，BC，AC，分别过点A，B，C作其对边的平行线，三条直线的交点为D，E，F．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．

    ②倍长中线：如图，延长边AC，AB，BC上的中线，使延长部分与中线相等，得点D，

E，F，连结DE，EF，FD．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．

    （2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：

    先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问

题，再构造平行四边形．

    解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需

要分类讨论．

    通常这类问题的解题策略有：

    （1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答．

如图，若AB∥CD且AB＝CD，分别过点B，C作一组平行线BE，CF，分别过点A，D作一组平行线AE，DF，则△AEB ≌△DFC，从而得到线段间的关系式解决问题．

    （2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．

如图．已知平行四边形ABCD．连结AC，BD交于点O．设顶点坐标为A（xA，yA）．B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）．

①_x0001_           用平移的性质求未知点的坐标：

②利用中点坐标公式求未知点的坐标：

有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．

例题讲解

例1  如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A（3，0），B（0，﹣3），P是直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．

    （1）分别求出直线AB和这条抛物线的表达式；

（2）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将点A，B的坐标代入抛物线的表达式，得y＝x2－2x＋3．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，将点A，B的坐标代入，得y＝x－3．

（2）存在．

因为PM∥OB，所以当PM＝OB时，四边形即为平行四边形．

根据题意设点P的坐标为（p，p－3），则点M的坐标为（p，p2－2p－3）．

所以．

解得，故满足条件的点P的横坐标为．

  例2  边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，D是OA边的中点，连结CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC，以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）M为直线上一动点，N为抛物线上一动点，问：是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

    解  （1）如图1，过点E作EG⊥x轴于点G．

    易证△ODC≌△GED（AAS），所以．

    所以点E的坐标为（3，1）．

    而直线AB为抛物线的对称轴，直线AB的表达式为x＝2，

    所以可设抛物线的表达式为y＝a（x－2）2＋k，

    将C，E两点的坐标代入表达式，得解得

所以抛物线的表达式为

（2）存在．

由题意可设点M的坐标为（2，m），N的坐标为．

以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：

①当DE为平行四边形的边时，

（i）如图2，若DE∥MN，MD∥NE，

由平移的性质可得

解得

此时点M的坐标为（2，1），N的坐标为（4，2）．

（ii）如图3，若DE∥MN，ME∥ND．

由平移的性质可得

解得

此时点M的坐标为（2，3），N的坐标为（0，2）．

②当DE为平行四边形的对角线时，如图4．

由平行四边形对角线互相平分性质可得

解得

此时点M的坐标为，N的坐标为

例3  如图，抛物线的顶点为D（－1，－4），与y轴交于点C（0，－3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

解  （1）将点C，D的坐标代入抛物线的表达式，得

（2）存在．

令

所以点A的坐标为（－3，0），B的坐标为（1，0）．

由点F在抛物线上可设点F的坐标为．

方法一：①如图1、图2，当AC为平行四边形的边是，

         图1                             图2

过点F作FP垂直于抛物线的对称轴，垂足为P．

易证△PEF≌△OCA．

所以PF＝AO＝3，

从而点F的坐标为（2，5）或（－4，5）．

②如图3，当AC为平行四边形的对角线时，

过点F作FP⊥y轴于点P．令抛物线的对称轴交x轴于点Q，

易证△PCF≌△QEA．

所以PF＝AQ＝2，从而点F的坐标为（－2，－3），此时点F与点C纵坐标相同，所以点E在x轴上．

图3

方法二：①如图3，当AC，EF为平行四边形的对角线时，

可得

又因为点E在抛物线的对称轴上，

所以m＝－2，

则点F的坐标为（－2，－3）．

②如图1，当AE，CF为平行四边形的对角线时，

可得

又因为点E在抛物线的对称轴上，

所以m＝－4，

则点F的坐标为（－2，－3）．

③如图2，当AF，CE为平行四边形的对角线时，

可得

又因为点E在抛物线的对称轴上，所以m＝2．

则点F的坐标为（2，5）．

综上可得，满足平行四边形的点F的坐标为（－2，－3）（－4，5）（2，5）

进阶训练

1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝28cm，点P从点A出发，沿AD以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，沿CB以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．问：从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD成为平行四边形？

2．如图，抛物线y＝ax² ＋bx＋c 过A（－3，0），B（1，0），C（0，3） 三点，抛物线的顶点位P．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直线y＝2x＋3上是否存在点M，使得以A，P，C，M为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴．y轴建立平面直角坐标系．若点N在过O．D．C三点的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，问是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在．请求出M点坐标;若不存在，请说明理由．

 答案：存在满足条件的点M，其坐标为（2，16），（－6，16）或（－2，－）．

[提示]：易证△DAE∽△EOC，从而点D的坐标为，得到过点O，D，C的抛物线的解析式为．再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程，从而找到符合条件的点M．（参考例3的方法二）

4．如图，抛物线与x轴交于点A（－5，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P，Q．交直线AC于点M，N．在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

答案：点M的坐标为（－2，3），

[提示]．由点A，B，C的坐标可得抛物线的表达式为，直线AC的表达式为y＝x＋5，设点M的坐标为（t，t＋5），则点N（t－1，t＋4），P（t，．

在矩形平移的过程中，以P，Q，N，M为顶点的平行四边形有两种情况：①当P，Q在直线AC同侧时，有yP－yM＝yQ－yN，得到点M的坐标为（－2，3）;②当P，Q在直线AC异侧时，有yP－yM＝yN－yQ．得到点M的坐标为（－2－，3－）或（－2＋，3＋）．