中考几何模型压轴题 专题24《特殊平行四边形的存在性》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题24《特殊平行四边形的存在性》

破解策略

在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形

因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题．

例题讲解

例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．经过点A的直线l：y＝ax＋a与抛物线的另一交点为C，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，那么以点A，C，P，Q为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标;若不能，请说明理由．

解：以点A，C，P，Q为都顶点的四边形能成为矩形．

令ax2－2a－3a＝ax＋a．解得x1＝－1，x2＝4，

所以点A的坐标为（－1，0），C的坐标为（4，5a）．

因为y＝ax2－2ax－3a，所以抛物线的对称轴为x＝1．则xP＝1．

①若AC是矩形的一条边，如图，

则xA＋xP＝xC＋xQ，可得xQ＝－4，从而点Q坐标为（－4，21a）．

同样yA＋yP＝yC＋yQ，可得yP＝26a，从而点P坐标为（1，26a）．

因为AC＝PQ，所以有22＋（26a）2＝82＋（16a）2，

解得，此时点P的坐标为（1，）

②若AC是矩形的一条对角线，如图．

则xA＋xC＝xP＋xQ，可得xQ＝2，从而点Q坐标为（2，－3a）．

同样yA＋yC＝yP＋yQ，可得yP＝8a，从而点P坐标为（1，8a）．

因为AC＝PQ，所以有52＋（5a）2＝12＋（11a）2，

算得，所以此时点P的坐标为（1，－4）

综上可得，以点A，C，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．

例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的中心与原点重合，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．

（1）菱形ABCD的边长是_____，面积是_____，高BE的长是_____;

（2）若点P的速度为每秒1个单位．点Q的速度为每秒k个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．

解：（1）5，24，4．8．

（2）要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ为等腰三角形即可．当t＝4时，AP＝4．

①如图，当点Q在线段BC上时，PQ≥BE＞AP，同理，AQ＞AP，所以只存在QA＝QP的等腰三角形．

过点Q作QH⊥AP于点H，交AC于点F，则AH＝PH＝AP＝2

易证：△AFH∽△CFQ∽△ADO，

所以

可得

从而k＝

②当Q在BA上时，有两种情况的等腰三角形存在：

（i）如图1，当AP＝AQ时，此时点P，Q关于x轴对称，BQ＝PD＝1

所以，k＝

（ⅱ）如图3，当PA＝PQ时，过点P作PH⊥AB于点H．

易证△AHP∽△AEB，所以，其中AE＝

所以AH＝，AQ＝2AH＝，所以k＝．

（ⅲ）由①可得，AP的垂直平分线与BC相交，所以点Q在线段AB上时，不存在AQ＝PQ这种情况．

综上所得，满足条件的k值为，，．

例3  如图，二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．问：是否存在抛物线使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

解：存在

  易得AMBM’是菱彤，所以当AB＝MM′时，四边彤AMBM′是正方形

  设点A的坐标为（x1，0），B的坐标为（x2，0）．

  令

  所以x1＋x2＝2，x1·x2＝2c

  所以AB＝＝

点M的纵坐标为

  若四边形AMBM’为正方形，

  则有．

  解得

  又因为已知抛物线与x轴有两个交点，

  所以

  解得c＜，

  所以c的值为．

  所以存在抛物线，使得四边彤AMBM'为正方形．

进阶训练

1．已知抛物线C1： y＝－2x2＋8x－6与抛物线C关于原点对称，抛物线C2与x轴分别交于点A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧）顶点为N．

（1）求抛物线C2的表达式；

（2）若抛物线C1与抛物线C2同时以每秒1 个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动，此时记A，B，C，D，M，N在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？ 若能，求出此时运动时间t（秒）的值；若不能，请说明理由．

解：（1）抛物线C2的表达式为 （2）能．1＝
[提示]
（2）如图，由轴对称的性质可得四边形C'N'B'M'为平行四边形．

所以当∠B'M'C'＝90 或B'C'＝M'N'时．四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t．
 

2．如图，抛物线与x轴的右交点为A，与y 轴的交点为B，设E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，若四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．

（1）该四边形的面积为24时，判断平行四边形OEAF是否为菱形；

（2）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？ 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）当点E的坐标为（3，－4）时，平行四边形OAEF是菱形;
（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF是正方形，则OA⊥EF且OA＝EF．此时的点E不在抛物线上．
3．如图，抛物线经过原点O与x轴上一点A（4，0），抛物线的顶点为E，它的对称轴x轴交于点D，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B（－2，m），与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求抛物线的表达式；

（2）Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M的运动时间为t 秒，是否能使以Q，A，E， M四点顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点M的运动时间；若不能，请说明理由．

解：（1）抛物线的表达式为；

 （2）能，t的值为，6，或．

[提示]（2）如图，点M的运动过程中，以Q，A，E，M为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t的值．

4．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0）两点，且与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x轴于点E，连结BD．

（1）P是线段BD上一点，当PE＝PC时，请求出点P的坐标；

（2）在（1）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G 为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F，M，N，G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

解：（1）点P的坐标为（2，2），
（2）点M的坐标为

 [提示]（1）易求得抛物线的l表达式为．
所以C（0，3），D（1，4），E（1，0），从而直线BD的表达式为y＝－2x＋6．设点P的坐标为（t，－2t＋6）．若PE＝PC．则有t＋（－2t＋6－3），解得t＝2，从而得到点P的坐标为（2．2）．
（2）可设点M的坐标为（m，0），则点G的坐标为（m，）．而以F，M，N，G为顶点的四边形是正方形．所以MF＝MG，从而，解得m，或m，即得点M的坐标．