2023年中考复习存在性问题系列平行四边形的存在性问题专题探究试卷

2023年中考复习存在性问题系列

               平行四边形的存在性问题专题探究

存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。

解题攻略

1. 步骤：

解平行四边形的存在性问题一般分三步：

第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步计算．

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．

（1）如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．

（2）如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．

2.方法：

单动点时

（1）已知三点求第四点问题，用对角线互相平分及中点坐标公式计算；

□ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，

则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD．

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

（2）当图形平行关系已固定：

若固定平行关系是斜向，则作图采用相似三角形比较方便；

若固定平性关系是竖直方向，则采用线段相等解方程比较简便

双动点时

当出现双动点，则分类讨论已有的两个点连线作为边和对角线的情况，不重不漏。

用对角线互相平分及中点坐标公式计算

典例剖析

题型一：单动点型(1)用对角线互相平分.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

例1.  已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线与轴相交于点，与直线相交于点．

(1) 填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；

(2) 如图6，在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？

图6                                  图7 

解：（1）．

（2） 由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A、C、N ．

下面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图7．

若以CN为对角线，第四个顶点为，代入解析式得，即；

若以AC为对角线，第四个顶点为，代入解析式得，即；

若以AN为对角线，第四个顶点为，代入解析式得＞0，不合题意，无解．

∴所以在抛物线上存在点和，使得以为顶点的四边形是平行四边形．

点评：①本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母a），但依然可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．②看上去此法冗长，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨．有些解法通过分析图形认为以AN为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显然”并不显然．抛物线的走向和弯曲程度学生是难以判断的，更何况这是一个含字母系数的二次函数．这样讨论更严谨！

题型二：当图形平行关系已固定。（1）采用相似三角形（2）采用线段相等解方程

例2.已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图，有两动点在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点F的坐标．

【答案】（1）；（2）点F的坐标为或．

【解析】

【分析】（1）直接将两点坐标代入解析式中求出a和c的值即可；

（2）分别讨论当点D在线段上运动时的情况和当点D在线段上的情况，利用平行四边形的性质和平移的知识表示出F点的坐标，再代入抛物线解析式中计算即可．

【详解】（1）∵抛物线经过两点，

解得

该地物线的函数表达式为

（2）如图4-4，当点D在线段上运动时，；

∵，

当四边形ADFE平行四边形时，

AE可通过平移得到EF，

∵A到D横坐标加1，纵坐标加，

∴，

∴，

化简得：，

∴，

∴，

∴;

如图4-5，当点D在线段上运动时，

AE可通过平移得到EF，

∵，

∵A到D横坐标加，纵坐标不变，

∴，

∴

∴，

因为，

∴，

∴，

综上可得，F点的坐标为或．

例3.如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．

（1）抛物线的解析式为       ；

（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，符合题意的点坐标为或或

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；

（2）先求抛物线与y轴交点，利用勾股定理求，利用待定系数法求直线的解析式，由，交于点，可得为定值，由，把，记为定值，再求；再利用二次函数的性质可得答案；

（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，，点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．

【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，

∴，

解得，

∴；

故答案为；

（2）将代得，

∴，

设直线的解析式为将，，

得，

解得，，

∴，

∵，交于点，

∴为定值，

∵，

把，记为定值，

过点作轴，垂足为，交于点，

设，则，

∴，

，

，

∴，

∵，

∴有最大值，此时，

将代入中，得；

（3）存在，符合题意的点坐标为或或；

当点Q在x轴上方抛物线上时，

因为PF在x轴上，

又∵，

∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，

∴y=，

∴，

∴解得，

∵x=时为E点，

∴，

Q1()，

当点Q在x轴下方抛物线上时，

∵PF在x轴上，

又∵四边形平行四边形，

∴Q与E的纵坐标互为相反数，

所以yQ=，

∴，

整理得，

△=，

解得，

∴Q2（），Q3（），

符合题意的点坐标为或或．

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质是解题关键．

题型三：双动点型: 分类讨论已有的两个点连线作为边和对角线的情况

例4.已知：如图8，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；

（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？

解：（1）抛物线解析式为，顶点坐标是（2，4）．

（2）点坐标为， 直线的解析式为．

图8                            图9       

（3）直线与抛物线对称轴的交点坐标为M（2，2）．

假设轴上动点Q的坐标为．下面探讨以A、M、Q三点为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标．（图9）．

若以MQ为对角线，第四个顶点坐标为，代入得．

若以AM为对角线，第四个顶点坐标为，代入得．

若以AQ为对角线，第四个顶点坐标为，代入得．

∴存在满足条件的点有四个： ，  ，  ，  

点评：先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照平移的性质，写出第四个顶点的坐标．再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标．

总结：平行四边形存在性问题的解题方法，

（1）中点坐标法。

平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

（2）平移坐标法。

先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）． 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．

变式练习

1.如图4，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点（，），对称轴是直线，顶点是．

（1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？

图4                            图5 

解：（1）抛物线的函数表达式为．

（2）由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A、 C、 N ．

下面探讨以三点A、C、N为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标． 如图5，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以CN为对角线，第四个顶点坐标为；以AC为对角线，第四个顶点坐标为；以AN为对角线，第四个顶点坐标为．将其分别代入抛物线中检验，其中只有在抛物线上．

点评：本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑．

2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OB＝OC＝3OA．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；

（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据勾股定理求出OA、OC，得出点A、C的坐标，进而得出点B的坐标，运用待定系数法即可求出答案；

（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，利用待定系数法求出设直线BC解析式，设P(t，﹣t2﹣2t+3)，则K(t，t+3)，根据S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四边形PBAC＝﹣(t+)2+，运用二次函数求最值方法即可得出答案；

（3）如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方.①当点Q在x轴上方时，根据P与Q纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点Q在x轴下方时，根据P与Q纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．

【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，

∴OA2+OC4＝AC2，即OA2+(8OA)2＝()2，

解得：OA＝8，

∴OC＝3，

∴A(1，6)，3)，

∵OB＝OC＝3，

∴B(﹣4，0)，

设抛物线解析式为y＝a(x+3)(x﹣3)，将C(0，

得：﹣3a＝4，

解得：a＝﹣1，

∴y＝﹣(x+3)(x﹣4)＝﹣x2﹣2x+2，

∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+8；

（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，

设直线BC解析式为y＝kx+n，将B(﹣3，C(4，

得：，

解得：，

∴直线BC解析式为y＝x+2，

设P(t，﹣t2﹣2t+3)，则K(t，

∴PK＝﹣t2﹣2t+8﹣(t+3)＝﹣t2﹣8t，

∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•(t+6)+PK＝2﹣3t)，

S△ABC＝AB•OC＝，

∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝(﹣t2﹣3t)+6＝﹣(t+)2+，

∵﹣＜0，

∴当t＝﹣﹣时，四边形PBAC的面积最大，)；

（3）存在.如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．

①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，

∴﹣x3﹣2x+3＝，

解得：x1＝﹣，x2＝﹣(舍去)，

∴Q1(﹣，)，

②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，

∴﹣x2﹣5x+3＝﹣，

解得：x7＝﹣，x7＝，

∴Q2(﹣，﹣)，Q3(，﹣)，

综上所述，Q点的坐标为Q1(﹣，)，Q6(﹣，﹣)，Q3(，﹣)．