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试卷专题25《全等三角形的存在性》

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这是一份试卷专题25《全等三角形的存在性》，共7页。试卷主要包含了所以，y2）两点等内容，欢迎下载使用。

专题25《全等三角形的存在性》

破解策略

全等三角形的存在性问题的解题策略有：

（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固

定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或

列方程来求解．

（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应

相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角

对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．

例题讲解

例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意可列方程组，解得，

所以抛物线的表达式为．

（2）显然OA＝2， OB＝3， OC＝4．所以．

若△P BD≌△PBC，则BD＝ BC＝5，PD＝PC

所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上，

①若点D为抛物线与 x轴的左交点，即与点A重合．

如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2．y2）两点．

此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2 BD．

由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（－1，2）．

所以直线BE的表达式为．

联立方程组，解得，．

所以点P1，P2的坐标分别为（4一，）．（4＋，）．

②若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0）．

如图2，取CD的中点F．作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，，y4）两点．

此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4 BD．

由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2），

所以直线BF的表达式为y＝2x－6．

联立方程组，解得，

所以点P3，P4的坐标分别为（－1＋，－8＋2），（－1－，－8－2），

综上可得，满足题意的点P的坐标为（4一，），（4＋，），

（－1＋，－8＋2）或（－1－，－8－2）．

（3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m＞0，

则AM2＝4＋m2，MN2＝9＋（m－n）2，BN2＝n2．而∠AMN＝∠ABN＝900，

所以△AMN与△ABN全等有两种可能：

①当AM＝AB，MN＝BN时，

可列方程组，解得；（舍），

所以此时点M的坐标为（0，）．

②当AM＝NB，MN＝BA时，可列方程组：·

解得，（舍）

所以此时点M的坐标为（0，）．

综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，）或（0，）．

例2 如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABO为等腰直角三角形，∠ABO＝ 900，点A的坐标为（4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝ 2DB，点E，F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．

图1 图2

解：由题意可得OA＝4，从而OB＝AB＝．所以OD＝OB＝，BD＝OB＝．

①当点F在OA上时，

（ⅰ）若△DFO≌△DFE，点E在OA上．如图1．

此时DF⊥OA，所以OF＝OD＝，所以OE＝2OF＝，即点E的坐标为（，0）．

（ⅱ）若△DFO≌△DFE，点F在AB上，如图2．

此时ED＝OD＝2BD，所以sin∠BED＝＝；所以∠BED＝300，

从而BE＝BD＝，AE＝．

过点E作EG⊥OA于点G．则EG＝AG＝AE＝，

所以OG＝，即点E的坐标为（，）．

图3 图4

（ⅲ）若△DFO≌△FDE，点E在AB上，如图3．

此时DE∥OA，所以BD＝BE．从而AE＝OD＝，

过点E作EG⊥OA于点G，则EG＝AG＝AE＝，

所以OG＝，即点E的坐标为（，）．

②当点F在AB上时，只能有△ODF ≌△AFD，如图4．

此时DF∥0A．且点E与点A重合，

即点E的坐标为（4，0）．

综上可得，端足条件的点E的坐标为（，0），

（，），（，）或（4，0）．

进阶训练

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与y轴变于点C．

直线l；与抛物线的对称轴交于点E．连结CE，探究；抛物线上是否存在一点F，

使得△FOE≌△FCE．．若存在，请写出点F坐标；若不存在，请说明理由．

答案：

存在．点F的坐标为（，－4）或（，－4）

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行．直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交干点F．

（1）若点E与点P重合，求k的值；

（2）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由．

答案：

（1）k＝2

（2）存在．点E的坐标为（，2）或（，2）

【提示】（2）易得点E（，2），F（1，k）．①如图1，当k＜2时，只能有△MEF≌△PEF．过点F作FH⊥y轴于点H，易证△BME∽△HFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM＝，再解Rt△BME，得k＝，所以点E的坐标为（，2）；②如图2，当k＞2时，只能有△MEF≌△PFE．过点F作FQ⊥y轴于点Q，同①可得点E的坐标为（，2）