2020届黑龙江省哈六中高三上学期期末考试数学（理）试题

哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试

高三理科数学

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

               1 已知复数，则（   ）

                 A.        B.             C.         D.

               2.已知集合，集合，则

               集合的子集个数为 （   ）

                 A. 3              B.4             C.7              D.8

3.已知函数，则函数的最小正周期和最大值分别为  （   ）

A.和                           B.和                

                 C.和                          D.和 

4.已知向量，，若，则实数的值为（   ）

A.              B.                C.             D.

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半  ，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)

A．24里           B．48里            C．96里        D．192里

6.已知函数，则函数在处的切线方程为（   ）

A.             B.         

C.                 D.

7.设函数，若，则实数的值为（   ）

A.             B.或                C.                  D. 或

8.已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，若，,则双曲线的离心率为（   ） 

A.          B.              C.               D.

9.某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中名层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（   ）种选派方法

A.160             B.80                   C.40                     D.20

10.已知分别为矩形的边与的中点，为线段的中点，把矩形沿折到，使得,若，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A.           B.              C.            D.

11.已知圆,过直线上第一象限内的一动点作圆的两条切线，切点分别为,过两点的直线与坐标轴分别交于两点，则面积的最小值为（   ）

A.               B.               C.             D.

12.已知定义在上的偶函数满足，且时，，则函数在上的所有零点之和为（   ）

A.           B.              C.                 D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．

13.在的展开式中，项的系数为.

14.已知水平放置的底面半径为20，高为100的圆柱形水桶，水桶内水面高度为50cm，现将一个高为10圆锥形铁器完全没入水桶中(圆锥的底面半径小于20),此时水桶的水面高度上升了2.5,则此圆锥形铁器的侧面积为.（忽略水桶壁的厚度）

15.已知均为正实数，若，则的最小值为.

16.已知抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于两点，若，且弦的中点纵坐标为，则抛物线的方程为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

在中，设边所对的角分别为，.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若的周长为，求的值.

18.（本小题满分12分）

如图所示,四棱锥的底面是直角梯形，平面，,为中点，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若与底面所成角为，求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

已知正项数列的前项和为，若,.

（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）设，求数列的前项和.

20.（本小题满分12分）

已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为.

（Ⅰ）求动点轨迹的方程；

（Ⅱ）过的直线交轨迹于两点，若轨迹上存在点，使,求直线的方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数，.

（Ⅰ）证明：当时，函数在区间上单调递增；

（Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．

22.（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，与曲线交于点，且，求的值.

23.（本小题满分10分）

选修4—5：不等式选讲

设（）

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

2020届理科数学期末试题答案

1-------5  ADCDC        6------10    ABBCA       11---12 BC

13.；14. ,15.5; 16.

17.解：（Ⅰ）因为

由正弦定理得 

——————————2分

,,

,,——————————5分

（Ⅱ）由余弦定理得 ——————————7分

因为周长，又，————————————9分

所以，所以——————————————12分

18.

解（Ⅰ）证明 ：因为平面，平面，所以---------1

在直角梯形中，得出，-----------2分

又,所以平面.---------4分

（Ⅱ） 因为平面，所以是与底面所成角，，所以------6分

以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系

面的法向量，---------8分

面的法向量------------10分

----------11 二面角的余弦值为-------12分

19.（本小题满分12分）

解（Ⅰ）证明：时，  作差得

  ，又 ，所以有 -------3分

（Ⅱ）因为时，，所以的奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；偶数数项是以为首项，2为公差的等差数列；

所以；-------------7分

所以---------------8分

（Ⅲ），————————12分

20.（本小题满分12分）解（Ⅰ）设因为，到定点的距离与到定直线的距离之比为，所以有——————————————2分

代入得————————————4分

 （Ⅱ）由题意直线斜率存在，设

（2）联立方程得，，，∴恒成立

∴，---------5分 

,所以

代入椭圆有，又，————————6分

得

，——————————————————9分

得

代入得——————————————11分

直线方程：—————————12分

21. （本小题满分12分）

（Ⅰ）

当时，——————————1分

，，

当时，，当时，

所以在区间增，在区间为上减

所以，即，所以函数在区间上单调递增————————4分

（Ⅱ）设

，所以在上单调递增,——————5分

（1）当，即时，在上是单调递增的，，

所以————————8分

（2）当，即时，，

故存在唯一的，使，所以当时，，当时，，所以在区间增，在区间为上减

所以，，又

得，——————————10分

又易得是随而增大的，所以

综上：——————————12分

22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为—————————2分

，，得————————3分

所在直线的极坐标方程,（或和）——————5分

（Ⅱ）把，代入，，

得；——------6分 

又，则，——————9分

所以，------10分

23.（本小题满分10分）

（Ⅰ）证明：；——————5分

（Ⅱ）————————7分

————————10分