高中人教版新课标A三 排序不等式达标测试

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课时提升作业 十一

排序不等式

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是　(　　)

A.a1b1+a2b2       B.a1a2+b1b2

C.a1b2+a2b1       D.

【解析】选A.因为0<a1<a2,0<b1<b2,由排序不等式可知a1b1+a2b2最大.

2.(2016·商丘高二检测)设a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,则a1+a2+…+an的最小值为　(　　)

A.1         B.n

C.n2         D.无法确定　

【解析】选B.因为a1,a2,…,an都是正数,不妨设a1≤a2≤…≤an,则≤≤…≤.

由题意及排序不等式知,反序和最小,所以a1+a2+…+an≥a1·+a2·+…+an·=n,

即a1+a2+…+an的最小值为n.

3.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是　(　　)

A.大于零        B.大于等于零

C.小于零       D.小于等于零

【解题指南】限制a,b,c的大小关系,取两数组利用排序不等式求解.

【解析】选B.设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,

根据排序原理,得:a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.

又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,

所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.

所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.

即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.

二、填空题(每小题4分,共8分)

4.(2016·梅州高二检测)若a>0,b>0且a+b=1,则+的最小值是________.

【解析】不妨设a≥b>0,则有a2≥b2,且≥,

由排序不等式+≥·a2+·b2=a+b=1.

当且仅当a=b=时取等号,所以+的最小值为1.

答案:1

5.设a,b都是正数,若P=+,Q=+,则二者的关系是________.

【解析】由题意不妨设a≥b>0.

由不等式的性质,知a2≥b2,≥.所以≥.

根据排序原理,知

×+×≥×+×.

即+≥+.

答案:P≥Q

【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.

三、解答题

6.(10分)(2016·广州高二检测)已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).

【证明】设正数a,b,c满足a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,由排序不等式得,

a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3,

a2c+b2a+c2b≤a3+b3+c3,

两式相加,得:

2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.已知x≥y,M=x4+y4,N=x3y+xy3,则M与N的大小关系是　(　　)

A.M>N         B.M≥N

C.M<N         D.M≤N

【解析】选B.由排序不等式,知M≥N.

2.(2016·长沙高二检测)已知x1,x2,…,xn均为正数,A=++…+,

B=x1x2+x2x3+…+xnx1.

则A与B的大小关系为　(　　)

A.A>B        B.A<B

C.A≥B       D.A≤B

【解析】选C.因为x1,x2,…,xn均为正数,不妨设

x1≤x2≤…≤xn,根据排序不等式,得

++…+≥x1x2+x2x3+…+xnx1.

即A≥B.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·武汉高二检测)若a,b,c>0,a2+b2+c2=3,则ab+bc+ca的最大值是________.

【解析】不妨设a≥b≥c>0,则b,c,a为乱序,于是由排序不等式知a2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以ab+bc+ca≤3,即ab+bc+ca的最大值为3.

答案:3

4.(2016·珠海高二检测)设a1,a2,…,an为正数,且a1+a2+…+an=5,则++…++的最小值为________.

【解析】由所求代数式的对称性,不妨设0<a1≤a2≤…≤an,

所以≤≤…≤,≥≥…≥,

而,,…,,为,,,…,的一个排列,由乱序和≥反序和,得

·+·+…+·+·≥·+·+…+·,即++…++≥a1+a2+…+an=5,

故所求最小值为5.

答案:5

三、解答题

5.(10分)设x>0,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

【解题指南】题中只给出了x>0,但是对于x≥1,x<1并不确定,因此,需要分类讨论.

【证明】(1)当x≥1时,

1≤x≤x2≤…≤xn.

由排序原理知,

1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥xn·1+xn-1·x+…+1·xn,

所以1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.①

又因为x,x2,…,xn,1为1,x,x2,…,xn的一个排序,于是由排序原理得1·x+x·x2+…+xn-1·xn+

xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1.

所以x+x3+…+x2n-1≥nxn.②

①+②,得

1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

(2)当0<x<1时,1>x>x2>…>xn,同理可得结论.

综合(1)与(2),所以当x>0时,

1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

【补偿训练】设a1,a2,…,an为实数,证明:≤.

【证明】不妨设a1≤a2≤a3≤…≤an

由排序原理得

+++…+=a1a1+a2a2+a3a3+…+anan.

+++…+≥a1a2+a2a3+a3a4+…+ana1

+++…+≥a1a3+a2a4+a3a5+…+ana2

……

+++…+≥a1an+a2a1+a3a2+…+anan-1

以上n个式子两边相加

n(+++…+)≥(a1+a2+a3+…+an)2

两边同除以n2得

≥

所以

≥

结论得证.

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