高中数学人教版新课标A选修4-5第四讲 数学归纳法证明不等式二 用数学归纳法证明不等式复习练习题

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课时提升作业 十三

用数学归纳法证明不等式举例

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边　(　　)

A.增加了一项

B.增加了两项和

C.增加了B中两项但减少了一项

D.以上各种情况均不对

【解析】选C.因为n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,

所以增加了两项和,少了一项.

2.(2016·淮南高二检测)用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取　(　　)

A.2　　　　　B.3　　　　　C.5　　　　　D.6

【解析】选C.当n≤4时,2n<n2+1;

当n≥5时,2n>n2+1.于是n0应取5.

【补偿训练】用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是　(　　)

A.假设n=k时命题成立

B.假设n=k(k∈N+)时命题成立

C.假设n=k(k≥5)时命题成立

D.假设n=k(k>5)时命题成立

【解析】选C.由题意知n≥5,n∈N+,

所以应假设n=k(k≥5)时命题成立.

3.(2016·长春高二检测)证明1+++…+>(n∈N*),假设当n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数为　(　　)

A.1项         B.k-1项

C.k项         D.2k项

【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+++…+,当n=k+1时,不等式左端为1+++…+++…+,左端增加了+…+,共2k项.

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为____________.

【解析】当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.

答案:21+1≥12+1+2

5.(2016·南昌高二检测)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a=______,b=______,c=________.

【解析】当n=1时,3a-3b+c=1,

当n=2时,18a-9b+c=7,

当n=3时,81a-27b+c=34,

解得,a=,b=c=.

答案:　　

三、解答题(每小题10分,共30分)

6.(2016·广州高二检测)证明:1+++…+≥(n∈N*).

【证明】(1)当n=1时,不等式为1≥1,显然成立.

(2)假设当n=k时不等式成立,即1+++…+≥.

那么,当n=k+1时,1+++…++≥+,而+-

=

=>0,

即+>,

所以1+++…++≥,

即当n=k+1时不等式也成立.

综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.

7.(2016·济南高二检测)求证:+++…+>(n≥2,n∈N+).

【解题指南】本题由n=k到n=k+1时的推证过程中,n=k时,首项是,尾项是,分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+1时,首项应为,尾项是,与n=k时比较,后面增加,,共三项,而不只是增加一项,且还减少了一项.

【证明】(1)当n=2时,左边=+++=>,不等式成立.

(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,

即++…+>,

则当n=k+1时,++…++++=++…++

>+

>+

=+=.

所以当n=k+1时,不等式也成立.

由(1)(2),知原不等式对一切n≥2且n∈N+都成立.

8.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).

(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an.

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

【解析】(1)a1=1,a2=,a3=,a4=,

由此猜想an=(n∈N+).

(2)当n=1时,a1=1,结论成立.

假设n=k(k≥1)时,结论成立,即ak=,

那么当n=k+1时,

ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.

所以2ak+1=2+ak,

所以ak+1===.

这表明当n=k+1时,结论成立.

所以an=(n∈N+).

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.用数学归纳法证明:1+++…+<n(n∈N+且n>1)第一步验证n=2时,左边的项为　(　　)

A.1        B.1+

C.         D.1++

【解析】选D.当n=2时,左边最后一项为=,所以左边的项为1++.

2.(2016·济南高二检测)已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2n-an(n∈N*),若已经算出a1=1,a2=,则猜想an=　(　　)

A.        B.

C.        D.

【解析】选D.因为a1=1,a2=,由

S3=1++a3=6-a3,所以a3=,同理,a4=.

猜想,得an=.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·太原高二检测)在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,不等式++++≥成立.猜想在n边形A1A2…An中,类似成立的不等式为__.

【解析】由题中已知不等式可猜想:

+++…+≥(n≥3且n∈N*).

答案:+++…+≥(n≥3且n∈N*)

4.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为_

.

【解析】由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),知当n>1时,令x=,所以>1+n·,

所以>1+n·,即(a+b)n>an+nan-1b,

当n=1时,M=N,故M≥N.

答案:M≥N

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2016·苏州高二检测)已知函数f(x)=x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,且an+1≥f′(an+1),证明:an≥2n-1(n∈N+).

【证明】由f(x)=x3-x,得f′(x)=x2-1.

因此an+1≥f′(an+1)=(an+1)2-1=an(an+2).

(1)当n=1时,a1≥1=21-1,不等式成立.

(2)假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,即ak≥2k-1.

当n=k+1时,

ak+1≥ak(ak+2)≥(2k-1)(2k-1+2)=22k-1.

又k≥1,所以22k≥2k+1,

所以当n=k+1时,ak+1≥2k+1-1,即不等式成立.

根据(1)和(2)知,对任意n∈N+,an≥2n-1都成立.

6.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n+1(n∈N+).

(1)求证{an-2n}为等差数列.

(2)设数列{bn}满足bn=2log2(an+1-n).(n∈N+)

证明:…>(n∈N+).

【证明】(1)由an+1=an+2n+1得

(an+1-2n+1)-(an-2n)=1,

因此{an-2n}是等差数列.

(2)an-2n=(a1-2)+(n-1)=n-1,即an=2n+n-1,

bn=2log2(an+1-n)=2n.

下面用数学归纳法证明

···…·>.

①当n=1时,左端=>=右端,不等式成立;

②假设n=k(k≥1)时不等式成立,即

···…·>,

当n=k+1时,

···…··

>·=

=>.

由①②知不等式···…·>对于一切n∈N+都成立.

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