数学选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法一 比较法教案

课    题：　第08课时    不等式的证明方法之一：比较法

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

二、典型例题：

例1、设，求证：。

例2、若实数，求证：

证明：采用差值比较法：

      =

      =

      =

      =

∴ 

∴ 

讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例3、已知求证

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。   

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设

，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设

故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，

从而，

其中都是正数，且。于是，即。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？

例5、设求证；对任意实数，恒有

                        （1）

证明 考虑（1）式两边的差。 

＝

＝     （2）

即（1）成立。

三、小结：

四、练习：

五、作业：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）与；（2）与.

2．已知 求证：（1）  （2）

3．若，求证

4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．

解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)

= (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)

    = - (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号)

   ∴a4-b44a3(a-b)。

5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．

6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．

7．如果x>0，比较与的大小．

8．已知a≠0，比较与的大小．

9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．

说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

阅读材料：琴生不等式

例5中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。

琴生在1905年给出了一个定义：

设函数的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数，都有

当且仅当时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。   

更为一般的情况是：设是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点，有

其中，则称是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有则称是[a,b]上的凹函数。

其推广形式 ，设，是[a,b]上的凸函数，则对任意有，

当且仅当时等号成立。

若是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。