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    高二数学(人教版)选修4-5教案:第09课时 不等式的证明方法之——综合法与分析法
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    人教版新课标A选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法二 综合法与分析法教学设计及反思

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    这是一份人教版新课标A选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法二 综合法与分析法教学设计及反思,共5页。教案主要包含了引入,典型例题,小结,练习,作业等内容,欢迎下载使用。

        题: 第09课时    不等式的证明方法之二:综合法与分析法

    目的要求

    重点难点

    教学过程

    一、引入

    综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法,也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习,以便于对比研究两种思路方法的特点。

    所谓综合法,即从已知条件出发,根据不等式的性质或已知的不等式,逐步推导出要证的不等式。而分析法,则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是由因及果,后一种是执果索因。打一个比方:张三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐步寻找,直至找到他,这是综合法;而张三自己找路,直至回到驻地,这是分析法

    以前得到的结论,可以作为证明的根据。特别的,是常常要用到的一个重要不等式。

     

    二、典型例题

    1都是正数。求证:

    证明:由重要不等式可得

    本例的证明是综合法。

    2、设,求证

    证法一  分析法

    要证成立.

    只需证成立,

    又因

    只需证成立,

    又需证成立,

    即需证成立.

    显然成立. 由此命题得证。

     

    证法二  综合法

    两边同时加上

    两边同时除以正数得(1)。

    读一读:如果用表示命题P可以推出命题Q(命题Q可以由命题P推出),那么采用分析法的证法一就是 (1

    而采用综合法的证法二就是   

    如果命题P可以推出命题Q,命题Q也可以推出命题P,即同时有,那么我们就说命题P与命题Q等价,并记为在例2中,由于都是正数,实际上

        

    4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

    分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为,则周长为的圆的半径为,截面积为;周长为的正方形为,截面积为。所以本题只需证明

    证明:设截面的周长为,则截面是圆的水管的截面面积为,截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明:

    为了证明上式成立,只需证明

    两边同乘以正数,得:

    因此,只需证明

    上式显然成立,所以

    这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

    5、证明:

    证法一   因为                      2

                                       3

                                        4

    所以三式相加得          5

    两边同时除以2即得(1)。

    证法二  因为

    所以(1)成立。

    6、证明:             1

    证明   1      2

     3

                    4

                              5

    5)显然成立。因此(1)成立。

    7、已知都是正数,求证并指出等号在什么时候成立?

    分析:本题可以考虑利用因式分解公式

         

    着手。

    证明: 

            =

            =

        由于都是正数,所以

    可知

        (等号在时成立)

    探究:如果将不等式中的分别用来代替,并在两边同除以3,会得到怎样的不等式?并利用得到的结果证明不等式:

        ,其中是互不相等的正数,且.

     

     

     

     

     

     

     

     

    三、小结

    解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式,移项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

     

     

     

     

     

    四、练习

    1、已知求证:

    2、已知求证

     

     

     

     

    五、作业

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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