人教版新课标A选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法二 综合法与分析法教学设计及反思

课    题：　第09课时    不等式的证明方法之二：综合法与分析法

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，是常常要用到的一个重要不等式。

二、典型例题：

例1、都是正数。求证：

证明：由重要不等式可得

本例的证明是综合法。

例2、设，求证

证法一  分析法

要证成立.

只需证成立，

又因，

只需证成立，

又需证成立，

即需证成立.

而显然成立. 由此命题得证。

证法二  综合法

两边同时加上得

两边同时除以正数得（1）。

读一读：如果用或表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是 （1）

而采用综合法的证法二就是   

如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为在例2中，由于都是正数，实际上

例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。

证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。

为了证明上式成立，只需证明。

两边同乘以正数，得：。

因此，只需证明。

上式显然成立，所以 。

这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

例5、证明：。

证法一   因为                      （2）

                                   （3）

                                    （4）

所以三式相加得          （5）

两边同时除以2即得（1）。

证法二  因为

所以（1）成立。

例6、证明：             （1）

证明   （1）      （2）

 （3）

                （4）

                          （5）

（5）显然成立。因此（1）成立。

例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？

分析：本题可以考虑利用因式分解公式

着手。

证明： 

        =

        =

    由于都是正数，所以而，

可知

    即（等号在时成立）

探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

    ，其中是互不相等的正数，且.

三、小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

四、练习：

1、已知求证：

2、已知求证

五、作业：