人教版新课标A选修4-4圆锥曲线的参数方程课后练习题

这是一份人教版新课标A选修4-4圆锥曲线的参数方程课后练习题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．圆的参数方程为：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(2,0)
解析：选D 将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs θ，,y＝2sin θ))化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．
2．直线：x＋y＝1与曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)的公共点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选C 将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝2sin θ))化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，
由于eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)<2＝r，
故直线与圆相交，有两个公共点．
3．直线：3x－4y－9＝0与圆：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝eq \f(9,5)<2，故选D.
4．P(x，y)是曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs α，,y＝sin α))(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6 C．26 D．25
解析：选A 设P(2＋cs α，sin α)，代入，得
(2＋cs α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin2α＋cs2α－6cs α＋8sin α
＝26＋10sin(α－φ)．
∴最大值为36.
二、填空题
5．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs φ＋4sin φ，,y＝4cs φ－3sin φ))(φ为参数)表示的图形是________．
解析：x2＋y2＝(3cs φ＋4sin φ)2＋(4cs φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆．
答案：圆
6．已知圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝1＋sin α))(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcs θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．
解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l的直角坐标方程为x＝1.
由圆C的参数方程可得x2＋(y－1)2＝1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x2＋y－12＝1))
得直线l与圆C的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
7．(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为 ρ＝2cs θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
故曲线C对应的参数方程可写为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)．
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)
三、解答题
8．P是以原点为圆心，半径r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点．
(1)画图并写出⊙O的参数方程；
(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．
解：(1)如图所示，⊙O的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)．
(2)设M(x，y)，P(2cs θ，2sin θ)，
∵Q(6,0)，∴M的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(6＋2cs θ,2)，,y＝\f(2sin θ,2)，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)．
9．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹．
解：设M(cs θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝cs θcs θ＋sin θ＝cs2θ＋cs θsin θ，,y1＝sin θcs θ＋sin θ＝sin θcs θ＋sin2θ，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋y1＝1＋sin 2θ，,x1y1＝\f(1,2)sin 2θ＋\f(1,2)sin22θ.))
将sin 2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，
整理，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1－\f(1,2)))2＝eq \f(1,2).
∴所求轨迹是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，以eq \f(\r(2),2)为半径的圆．
10．已知直线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，圆C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)．
(1)当α＝eq \f(π,3)时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝eq \f(π,3)时，C1的普通方程为y＝eq \r(3)(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,x2＋y2＝1，))解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).
(2)C1的普通方程为xsin α－ycs α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2α，－cs αsin α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)sin2α，,y＝－\f(1,2)sin αcs α))(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))2＋y2＝eq \f(1,16).
故P点轨迹是圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，半径为eq \f(1,4)的圆．