2021高考模拟卷(理科数学)5 含答案

这是一份2021高考模拟卷(理科数学)5 含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考模拟卷·理科数学(五)
(考试时间:120分钟　试卷满分:150分)

一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U=R,集合A={-1,0,1,2},B={x|y=x2-1},则图中阴影部分所表示的集合为(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{-1} B.{0} C.{-1,0} D.{-1,0,1}
2.设复数z满足z(1-i)=4i(i是虚数单位),则z的共轭复数z是(　　)
A.-2-2i B.-2+2i C.2+2i D.2-2i

3.如图,正方形ABCD的内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点的连线对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A.π8 B.12 C.8-π8 D.π4
4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8


根据上表可得回归直线方程y^=b^x+a^,其中b^=0.76,a^=y−b^x,据此估计,该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为(　　)
A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元

5.右面程序框图的算法源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,21,则输出的a=(　　)
A.2 B.3
C.7 D.14
6.已知f(x)=f(x+1),x<1,3x,x≥1,则f(-5+log35)=(　　)
A.15 B.53
C.5 D.15
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S8=(　　)
A.127 B.192 C.255 D.511
8.(2-x)n的展开式中所有二项式系数和为64,则x3的系数为(　　)
A.-160 B.-20 C.20 D.160
9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f-13π24的值为(　　)
A.-62 B.-32 C.-22 D.-1
10.已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为(　　)
A.23+π B.12+π C.2+π6 D.2+π3

(第9题图)

(第10题图)


11.过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别作它的两条渐近线的平行线,若这4条直线所围成的四边形的周长为8a,则C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±2x C.y=±3x D.y=±2x
12.已知偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)(x∈R),且当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则方程|cos πx|-f(x)=0在[-1,3]上的所有根之和为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知|a|=1,|b|=2,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角大小为　　　　　. 
14.设x,y满足约束条件x-y+3≥0,x+y≥0,x≤2,则z=3x+y的最小值为　　　　　. 
15.在数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N*,则数列{an}的通项公式是an=　　　　　. 
16.如图,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,直线l过点F且与该抛物线及其准线交于A,B,C三点,若|BC|=3|BF|,|AF|=3,则C的标准方程是　　　　　. 

三、解答题(共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)
(一)必考题:共60分
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足23absin C=a2+b2-c2.
(1)求C;
(2)若asin B=bcos A,且a=2,求△ABC的面积.






18.(12分)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪80元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成6元,超出40单的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如表频数表:
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5

乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5

(1)现从甲公司记录的50天中随机抽取3天,求这3天送餐单数都不小于40的概率;
(2)若将频率视为概率,回答下列问题:
①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;
②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.









19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AB=2AD.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)若AP⊥PC,设平面PAD与平面PBC的交线为l,求二面角B-l-D的大小.








20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴为26,离心率为22.
(1)求C的方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且OA·OB=0,求证:直线l与圆E:x2+y2=2相切.
21.(12分)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.










(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4—4:坐标系与参数方程(10分)
在直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程是x=2-3t,y=-1+32t(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=22cosθ-π4.
(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|AB|.









23.选修4—5:不等式选讲(10分)
已知函数f(x)=|x-1|+2|x+1|的最大值为a.
(1)求a的值;
(2)若1m+12n=a(m>0,n>0),试比较2m+n与2的大小.






















高考模拟卷·理科数学(五)参考答案
1.B　2.A　3.A　4.B　5.C　6.C　7.C　8.A　9.D　10.A
11.A　12.D　13.π4　14.-3　15.4n-2　16.y2=4x
17.解 (1)因为23absin C=a2+b2-c2,
即a2+b2-c22ab=3sin C,
由余弦定理得a2+b2-c22ab=cos C,
所以3sin C=cos C,即tan C=33,
又因为0 (2)因为asin B=bcos A,由正弦定理得sin Asin B=sin Bcos A,
∵sin B>0,∴sin A=cos A,即tan A=1,
又因为0 由正弦定理可得2sin π4=csinπ6,解得c=2,
所以S△ABC=12acsin B=12×2×2sin(A+C)
=2sinπ4+π6=3+12.
18.解 (1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M,
则P(M)=C253C503=23196.
(2)①X的可能取值为228,234,240,247,254.
P(X=228)=110;P(X=234)=15;P(X=240)=15;P(X=247)=25;P(X=254)=110.
所以X的分布列为:
X
228
234
240
247
254
P
110
15
15
25
110

所以E(X)=228×110+234×15+240×15+247×25+254×110=241.8.
②依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7.所以甲公司送餐员日平均工资为80+4×39.7=238.8(元).由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为238.8<241.8,故推荐小王去乙公司应聘.
19.(1)证明 取BC的中点E,连接DE.
∵BC=2AB=2AD,∴AD=BE,
又∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形,
∴DE=AB=12BC,
∵E为BC的中点,∴△BCD是直角三角形,即BD⊥CD.
又PD,CD⊂平面PCD,且PD∩CD=D.
∴BD⊥平面PCD,又PC⊂平面PCD,∴BD⊥PC.
(2)解法一 因为AD∥BC,AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
因为平面PAD和平面PBC的交线为l,
所以BC∥l.
因为DE⊥BC,连接PE.

又因为BC⊥PD,
所以BC⊥平面PDE,
所以BC⊥PE,
所以l⊥PD,l⊥PE,
所以∠EPD是平面PAD和平面PBC所成角的一个平面角.
设AD=1,PD=a,则AB=1,BC=2,AC=5,CD=2.
因为PD⊥底面ABCD,
所以PA2=a2+1,PC2=a2+2.
又因为AP⊥PC,
所以PA2+PC2=AC2,即a=1.
在△PDE中,∠PDE=90°,PD=DE=1,
所以∠EPD=45°,
所以二面角B-l-D的大小为45°.
解法二 由(1)知DE⊥DA,PD⊥DE,PD⊥DA,如图,以D为坐标原点,分别以DE,DA,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz.
设DA=1,DP=a,则A(0,1,0),C(1,-1,0),P(0,0,a),B(1,1,0).
所以AP=(0,-1,a),PC=(1,-1,-a).
又因为AP⊥PC,
所以AP·PC=0,即1-a2=0,所以a=1.
设平面PBC的法向量n1=(x,y,z).
又PC=(1,-1,-1),CB=(0,2,0),
所以n1⊥PC,n1⊥CB,即n1·PC=0,n1·CB=0,

所以x-y-z=0,y=0.
令x=1,得平面PBC的一个法向量n1=(1,0,1).
又平面PAD的一个法向量n2=(1,0,0),
所以cos=n1·n2|n1||n2|=22.
所以二面角B-l-D的大小为45°.
20.解 (1)由题意可得2a=26,e=ca=22,
所以a=6,c=3,b=a2-c2=3.
所以椭圆C的方程为x26+y23=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,设直线l为x=t,与椭圆C的交点为At,6-t22,Bt,-6-t22,因为OA·OB=0,所以t2-3+t22=0,即t=±2.
此时直线l为x=±2,与圆x2+y2=2相切.
当直线l的斜率存在时,设直线l为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与椭圆的方程x2+2y2=6,y=kx+m,消去y并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
因为直线与椭圆有两个不同的交点,所以Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,化简,得m2<6k2+3.①
由韦达定理得x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2.
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m2-6k21+2k2.
因为OA·OB=0,所以x1x2+y1y2=0,
即2m2-61+2k2+m2-6k21+2k2=0,
整理得m2=2k2+2满足①式,
所以|m|k2+1=2,即原点到直线l的距离是2,
所以直线l与圆x2+y2=2相切.
综上,直线l与圆E:x2+y2=2相切.
21.解 (1)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a).
(ⅰ)当a≥0时,ex+2a>0在R上恒成立,
故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(ⅱ)当a<0时,由f'(x)=0得,x=0或x=ln(-2a).
①若a<-12,则ln(-2a)>0,
故当x∈(-∞,0)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0;x∈(0,ln(-2a))时,f'(x)<0;
所以f(x)在(-∞,0),(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(0,ln(-2a))上单调递减;
②若a=-12,则ln(-2a)=0,则f'(x)=x(ex-1)≥0恒成立,
所以f(x)在R上单调递增;
③若-12 故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(0,+∞)时,f'(x)>0;x∈(ln(-2a),0)时,f'(x)<0;
所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(0,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),0)上单调递减.
综上所述,
当a≥0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
当-12 当a=-12时,f(x)在R上单调递增;
当a<-12时,f(x)在(-∞,0),(ln(-2a),+∞)上单调递增,
在(0,ln(-2a))上单调递减;
(2)(ⅰ)若a=0,则f(x)=(x-1)ex,故f(x)只有一个零点.
(ⅱ)当a>0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
因为f(0)=-1<0,f(1)=a>0,
取实数b满足b<-2且b 则f(b)>a(b-1)+ab2=a(b2+b-1)>a(4-2-1)>0,
所以f(x)有两个零点.
(ⅲ)若a<0,由(ⅰ)知,
当a≥-12时,则f(x)在(0,+∞)单调递增,又当x≤0时,f(x)<0,
故f(x)不存在两个零点;
当a<-12时,f(x)在(-∞,0),(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(0,ln(-2a))上单调递减,又f(0)<0,所以x≤ln(-2a)时,f(x)<0,故不存在两个零点.
综上所述,a的取值范围是(0,+∞).
22.解 (1)由x=2-3t,y=-1+32t可得直线l的普通方程为x+2y=0.
因为ρ2=22ρcosθ-π4=2ρ(cos θ+sin θ),
所以圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,
即(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)由(1)知圆C的圆心为(1,1),
圆心到直线l的距离d=1+2×15=355,
所以弦长|AB|=22-3552=2×55=255.
23.解 (1)由于f(x)=-x-3,x≥1,-3x-1,-1 f(x)的最大值为f(-1)=2,故a=2.
(2)因为1m+12n=2,且m>0,n>0,
所以2m+n=(2m+n)×121m+12n
=122+12+mn+nm≥1252+2mn×nm=94>2.
当且仅当mn=nm,即m=n=34时等号成立.
所以2m+n>2.