2021高考模拟卷(理科数学)6 含答案

高考模拟卷·理科数学(六)

(考试时间:120分钟　试卷满分:150分)

一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知z=(m-1)-(m+3)i(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是(　　)

A.(-1,3) B.(-3,1) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)

2.已知集合A={x|x2-x-2>0,x∈R},B={x|lg(x+1)<1,x∈Z},则(∁RA)∩B=(　　)

A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2}

3.已知向量a=(2,1),b=(λ,-2).若a⊥b,则|a+λb|=(　　)

A. B. C.2 D.2

4.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线l:x=ty-与圆C:x2+y2=1相交于A,B两点,则||的最小值为(　　)

A.1 B. C. D.

5.学校某项比赛准备从含甲、乙的6名同学中选取3人参加,要求甲、乙两人至少一人参加,则不同的选取方法有(　　)

A.12种 B.16种 C.20种 D.24种

6.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布,则该女子第30天织布(　　)

A.20尺 B.21尺 C.22尺 D.23尺

7.已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y+ax(-1<a<0)的最大值为8,则a=(　　)

A.- B.- C.- D.-

8.执行如图所示的程序框图,输出的s的值为(　　)

A. B. C. D.

9.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=x上,则sin 2θ+cos2θ=(　　)

A. B. C. D.

10.设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M是双曲线右支上一点,|MF2|=|F1F2|,并且sin∠F1MF2=,则双曲线C的离心率为(　　)

A. B.

C. D.

11.

某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成的,正方形边长为2,俯视图由边长为2的正方形及其一条对角线组成,则该几何体的表面积为(　　)

A.26+ B.

C.28+2 D.26+2

12.函数f(x)在定义域R上可导,并且f'(x)+f(x)=2ex(e为自然对数的底数),若f(0)=5,f(x)≥-e2x+4ex+a对任意实数x都成立,则a的最大值为(　　)

A.-1 B.0

C. D.e

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若sin A=3sin(A+B),c=1,cos B=,则b=　　　　　. 

14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,E,F分别为B1C1和C1D1的中点,则异面直线DF与BE所成角的余弦值是　　　　　. 

15.将正整数对作如下分组,第1组为{(1,2),(2,1)},第2组为{(1,3),(3,1)},第3组为{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4组为{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)}……则第30组的第16个数对为　　　　　. 

16.已知函数f(x)=2xex-1-3x2(e是自然对数的底数),直线y=kx+b是f(x)在x=x0处的切线,并且在区间(-∞,x0)上,f(x)<kx+b,在区间(x0,+∞)上,f(x)>kx+b,则k=　　　　　. 

三、解答题(共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)

(一)必考题:共60分

17.(12分)已知f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}满足:a1=2,an≠1,且(an-an+1)·g(an)=f(an)(n∈N*).

(1)证明:数列{an-1}是等比数列;

(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

18.

(12分)某企业为了了解职工的工作状况,随机抽取了一个车间对职工工作时间的情况进行暗访,工作时间在8.0小时及以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图(如图所示),但由于工作疏忽,没有画出最后一组,只知道最后一组的频数是7.

(1)求这次暗访中工作时间不合格的人数;

(2)用这个车间职工工作时间的情况估计本企业职工的工作时间情况,若从本企业中随机抽取2名职工,记X表示抽取的两人中工作时间不合格的人数,求X的分布列及数学期望.

19.

(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,△PAD为等边三角形,E为AD的中点,PB=2.

(1)求证:PE⊥平面ABCD;

(2)已知M为棱PD上的点,若二面角P-AC-M的余弦值为,求的值.

20.(12分)过椭圆C:=1(0<b<3)的上顶点A作相互垂直的两条直线,分别交椭圆于不同的两点M,N(点M,N与点A不重合).

(1)设椭圆的下顶点为B(0,-b),当直线AM的斜率为时,若S△ANB=2S△AMB,求b的值;

(2)若存在点M,N,使得|AM|=|AN|,且直线AM,AN斜率的绝对值都不为1,求b的取值范围.

21.(12分)函数f(x)=xex+-x-1(e是自然对数的底数).

(1)若a<0<b,a+b=0,求证:f(a)<f(b);

(2)若f(a)=f(b),a≠b,求证:a+b<0.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修4—4:坐标系与参数方程(10分)

在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数);在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,与x轴交于点P,求|PA|+|PB|的值.

23.选修4—5:不等式选讲(10分)

已知函数f(x)=|x-t|+(t>0)的最小值为2.

(1)求实数t的值;

(2)若a,b∈R,且|a+b|≤,|a-2b|≤,求证:|a+7b|≤4.

高考模拟卷·理科数学(六)参考答案

1.B　2.D　3.A　4.C　5.B　6.B　7.D　8.C　9.A　10.B　11.D

12.B　13.2　14　15.(17,15)　16.-2

17.(1)证明 由(an-an+1)g(an)=f(an)(n∈N*),得4(an-an+1)(an-1)=(an-1)2(n∈N*).

∵an≠1,∴4(an-an+1)=an-1(n∈N*).

即3(an-1)=4(an+1-1)(n∈N*).

又a1=2,∴a1-1=1.

∴数列{an-1}是以1为首项,为公比的等比数列.

(2)解 由(1)得an-1=,bn=

则Tn=+…+,①

Tn=+…+,②

①-②得,Tn=+…+=1+=2-=2-

∴Tn=3-

18.解 (1)∵第6组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)×1=0.14,

∴本车间总人数为=50.

∴工作时间不合格的人数为(0.04+0.10+0.14)×1×50=14;

(2)由题知,X所有可能的取值为0,1,2,职工的工作时间不合格的概率为

∴X~B

∴P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=

∴所求分布列为

E(X)=2

19.(1)证明 由题意知,△PAD为等边三角形且边长为2,

∵E为AD的中点,∴PE⊥AD,PE=

在正方形ABCD中,E为AD的中点,边长为2,则BE=

在△PBE中,BE2+PE2=8=PB2,∴PE⊥BE.

又BE∩AD=E,∴PE⊥平面ABCD.

(2)解 设BC中点为F.连接EF,则EF⊥ED,以E为坐标原点,EF,ED,EP分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

由题意知,P(0,0,),D(0,1,0),C(2,1,0),A(0,-1,0).

则=(2,2,0),=(2,1,-).

设M(x,y,z),=λ,

即=(0≤λ≤1),

则有(x,y,z-)=λ(0,1,-),

可得M(0,λ,(1-λ)),=(0,λ+1,(1-λ)).

设n1=(x1,y1,z1)是平面PAC的法向量,

则有

取n1=(,-,1).

设n2=(x2,y2,z2)是平面MAC的法向量,

则有

即

即n2=((1-λ),(λ-1),λ+1),

cos<n1,n2>=

,

解得λ=,即

20.解 (1)设M(x1,y1),N(x2,y2),记直线AM的斜率为k,

则由条件可知,直线AM的方程为y=kx+b,

于是消去y,得(9k2+b2)x2+18kbx=0,

∴x1=-

同理x2=

由S△ANB=2S△AMB,得x2=-2x1,于是=2,

即2b2k2+18=b2+9k2,

其中k=,代入得b=

(2)容易得|AM|=|x1|=,|AN|=|x2|=

由|AM|=|AN|,得,

即b2+9k2=b2k3+9k,

整理,得(k-1)[b2k2+(b2-9)k+b2]=0.

不妨设k>0,且k≠1,

则b2k2+(b2-9)k+b2=0有不为1的正根.

只要

解得0<b<

∴b的取值范围是(0,).

21.证明 (1)∵f(b)-f(a)=f(b)-f(-b)==beb+be-b-2b=b(eb+e-b-2)>b(2-2)=0,

∴f(a)<f(b).

(2)f'(x)=(x+1)ex+x-1,f'(x)的导函数记作f″(x),

则f″(x)=(x+2)ex+1.

记f″(x)的导函数为f‴(x),则f‴(x)=(x+3)ex.

在区间(-∞,-3)上,f‴(x)<0,f″(x)是减函数;

在区间(-3,+∞)上,f‴(x)>0,f″(x)是增函数.

∴f″(x)的最小值为f″(-3)=1-e-3>0.

∴f″(x)>0恒成立,f'(x)在R上是增函数.

又f'(0)=0,∴在(-∞,0)上,f'(x)<0,f(x)是减函数;

在(0,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数.

∵f(a)=f(b),a≠b,∴ab<0.

不妨设a<0<b.

欲证a+b<0,即证a<-b.

由于a<-b<0,∴只要证f(a)>f(-b),

即证f(b)>f(-b).

设g(x)=f(x)-f(-x),由(1)可知,g(x)在(0,+∞)上是增函数.

当x>0时,g(x)>g(0)=0.

∴g(b)>0,即f(b)>f(-b),f(a)>f(-b).

∴a<-b,a+b<0.

22.解 (1)∵ρ=,

∴ρsin2θ=2cos θ.

∴ρ2sin2θ=2ρcos θ.

∴y2=2x.

消参数t,可得y=x-4.

∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x,直线l的普通方程为y=x-4.

(2)把代入y2=2x,

得=2,

整理,得t2-2t-16=0.

∴t1+t2=2,t1t2=-16,

∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==6

23.(1)解 f(x)=

∵f(x)在(-∞,-2)上递减,在[-2,t]上递减,在(t,+∞)上递增,

∴f(x)min=f(t)=1+=2.

∴t=2.

(2)证明 由(1)得|a+b|,|a-2b|≤1.

又∵a+7b=3(a+b)-2(a-2b),

∴|a+7b|=|3(a+b)-2(a-2b)|≤|3(a+b)|+|2(a-2b)|=3|a+b|+2|a-2b|≤3+2×1=2+2=4.