2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十六）　直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十六）　直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案，共6页。

1．直线kx＋y－2＝0(k∈R)与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．与k值有关
解析：选D 圆心为(－1,1)，
所以圆心到直线的距离为eq \f(|－k＋1－2|,\r(1＋k2))＝eq \f(|k＋1|,\r(1＋k2))，
所以直线与圆的位置关系和k值有关，故选D．
2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：选B 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a(a<2)，圆心C(－1,1)，半径r满足r2＝2－a，则圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq \r(2)，所以r2＝22＋(eq \r(2))2＝2－a⇒a＝－4．
3．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )
A．eq \f(9,5) B．1
C．eq \f(4,5) D．eq \f(13,5)
解析：选C 圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝eq \f(|－3－4－2|,5)＝eq \f(9,5)，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝eq \f(4,5)．
4．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，
故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，
令x＝0，得y＝eq \f(5,2)．
令y＝0，得x＝5，故所求三角形的面积
S＝eq \f(1,2)×eq \f(5,2)×5＝eq \f(25,4)．
答案：eq \f(25,4)
5．若圆x2＋y2＋mx－eq \f(1,4)＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________．
解析：圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(m,2)))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(m2＋1),2)))2，圆心到直线y＝－1的距离eq \f(\r(m2＋1),2)＝|0－(－1)|，解得m＝±eq \r(3)，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝eq \r(3)．
答案：eq \r(3)
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1．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，
所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为eq \r(2)，
因为直线l与圆C相切．
所以eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝±1，
因为k＜0，所以k＝－1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0．
圆心D(2,0)到直线l的距离
d＝eq \f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)＜eq \r(3)，
所以直线l与圆D相交．
2．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )
A．eq \f(1,2)，－4 B．－eq \f(1,2)，4
C．eq \f(1,2)，4 D．－eq \f(1,2)，－4
解析：选A 因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所以直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,2×2＋0＋b＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,b＝－4.))
3．(2017·大连模拟)圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k＝( )
A．eq \r(2)－1或－eq \r(2)－1 B．1或－3
C．1或－eq \r(2) D．eq \r(2)
解析：选B 由题意知，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4．较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为eq \f(\r(2),2)r＝eq \r(2)．即eq \f(|1＋k|,\r(2))＝eq \r(2)，解得k＝1或－3．
4．(2015·重庆高考)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4eq \r(2)
C．6 D．2eq \r(10)
解析：选C 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，
∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，
∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，
∴A(－4，－1)．
∴|AC|2＝36＋4＝40．
又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36．
∴|AB|＝6．
5．已知直线3x＋4y－15＝0与圆O：x2＋y2＝25交于A，B两点，点C在圆O上，且S△ABC＝8，则满足条件的点C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 圆心O到已知直线的距离为d＝eq \f(|－15|,\r(32＋42))＝3，
因此|AB|＝2eq \r(52－32)＝8，
设点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝eq \f(1,2)×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圆的半径)，
因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个．
6．若直线y＝－eq \f(1,2)x－2与圆x2＋y2－2x＝15相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线方程的斜截式为________．
解析：圆的方程可整理为(x－1)2＋y2＝16，所以圆心坐标为(1,0)，半径r＝4，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而kAB＝－eq \f(1,2)，所以kl＝2．
由点斜式方程可得直线l的方程为y－0＝2(x－1)，
即y＝2x－2．
答案：y＝2x－2
7．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，
所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，
由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，
故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为eq \f(3\r(2),2)，
由点到直线的距离公式可得eq \f(|－1－2＋a|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
解得a＝0或a＝6．
答案：0或6
8．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，则切线的方程为________．
解析：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y＝2x－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2.))所以圆心C(3,2)．设切线方程为y＝kx＋3，可得圆心到切线的距离d＝r，即eq \f(|3k＋3－2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0或k＝－eq \f(3,4)．则所求的切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0．
答案：y＝3或3x＋4y－12＝0
9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则eq \r(a－22＋－2a＋12)＝eq \f(|a－2a－1|,\r(2))．
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．
∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝eq \r(1－22＋－2＋12)＝eq \r(2)．
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，
∴直线l的方程为y＝－eq \f(3,4)x．
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0．
10．如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2eq \r(19)时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为r．
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝eq \f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq \r(5)．
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20．
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
即kx－y＋2k＝0．
连接AQ，则AQ⊥MN．
∵|MN|＝2eq \r(19)，
∴|AQ|＝eq \r(20－19)＝1，
则由|AQ|＝eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，
得k＝eq \f(3,4)，∴直线l：3x－4y＋6＝0．
故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0．
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1．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，eq \r(2))，则四边形ABCD面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选A 如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，
则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20．
又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，
则|AC|·|BD|≤10，
∴S四边形ABCD＝eq \f(1,2)|AC|·|BD|≤eq \f(1,2)×10＝5，
当且仅当|AC|＝|BD|＝eq \r(10)时等号成立，
∴四边形ABCD面积的最大值为5．故选A．
2．(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＞－\f(5,2)))，
则eq \f(|4a＋10|,5)＝2，
解得a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C：x2＋y2＝4．
(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝4，,y＝kx－1))得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq \f(k2－4,k2＋1)．
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN⇒eq \f(y1,x1－t)＋eq \f(y2,x2－t)＝0⇒eq \f(kx1－1,x1－t)＋eq \f(kx2－1,x2－t)＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒eq \f(2k2－4,k2＋1)－eq \f(2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4,0)时，
能使得∠ANM＝∠BNM总成立．