2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十九）　抛物线 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十九）　抛物线 word版含答案，共7页。试卷主要包含了已知点A在抛物线C，过点P的直线与抛物线C等内容，欢迎下载使用。

1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选D 由准线x＝1知，抛物线方程为：
y2＝－2px(p>0)且eq \f(p,2)＝1，p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D．
2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．eq \f(3,2) D．eq \f(5,2)
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(3,2)．
3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－eq \f(4,3) B．－1
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,2)
解析：选C 由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝eq \f(3－0,－2－2)＝－eq \f(3,4)．
4．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为eq \f(1,2)，则点P到x轴的距离为________．
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故eq \f(xP,xP－－1)＝eq \f(1,2)，
解得xP＝1，
所以yeq \\al(2,P)＝4，所以|yP|＝2．
答案：2
5．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．
解析：如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故∠AOx＝30°．
直线OA的方程y＝eq \f(\r(3),3)x，
代入y2＝2x，
得x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝6．
即得A的坐标为(6,2eq \r(3))．
∴|AB|＝4eq \r(3)，正三角形OAB的面积为eq \f(1,2)×4eq \r(3)×6＝12eq \r(3)．
答案：12eq \r(3)
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1．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A．(0，a) B．(a,0)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16a))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16a)，0))
解析：选C 将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝eq \f(1,4a)y(a≠0)，所以焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16a)))，所以选C．
2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是( )
A．x2＝2y B．x2＝eq \r(2)y
C．x2＝y D．x2＝eq \f(\r(2),2)y
解析：选A 由题意得，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，不妨设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，－\f(p,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－p，－\f(p,2)))，
∴S△FAB＝eq \f(1,2)·2p·p＝1，则p＝1，
即抛物线C1的方程是x2＝2y，故选A．
3．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则eq \f(|AF|,|BF|)的值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知AB所在的直线方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2))).))
得：x2－eq \f(5p,3)x＋eq \f(p2,4)＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(5p,3)，x1x2＝eq \f(p2,4)，
所以x1＝eq \f(3p,2)，x2＝eq \f(p,6)，
所以eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(\f(3,2)p＋\f(p,2),\f(p,2)＋\f(p,6))＝3．
4．已知P为抛物线y＝eq \f(1,2)x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(17,2)))，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A．8 B．eq \f(19,2)
C．10 D．eq \f(21,2)
解析：选B 依题意可知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，准线方程为y＝－eq \f(1,2)，延长PM交准线于点H(图略)．
则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－eq \f(1,2)，
|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－eq \f(1,2)，
即求|PF|＋|PA|的最小值．
因为|PF|＋|PA|≥|FA|，
又|FA|＝ eq \r(62＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,2)－\f(1,2)))2)＝10．
所以|PM|＋|PA|≥10－eq \f(1,2)＝eq \f(19,2)，故选B．
5．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝eq \f(3,2)x B．y2＝3x
C．y2＝eq \f(9,2)x D．y2＝9x
解析：选B 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，因为|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
所以2|AE|＝|AC|，
所以3＋3a＝6，从而得a＝1，
因为BD∥FG，所以eq \f(1,p)＝eq \f(2,3)，求得p＝eq \f(3,2)，
因此抛物线方程为y2＝3x．
6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，eq \f(AB,2)＝eq \f(\r(3),3)p，
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),3)p，－\f(p,2)))．
又因为点B在双曲线上，
故eq \f(\f(p2,3),3)－eq \f(\f(p2,4),3)＝1，解得p＝6．
答案：6
7．(2017·广西质检)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝eq \f(1,2)|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，∵|PA|＝eq \f(1,2)|AB|，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x1＋2＝x2＋2，,3y1＝y2，))又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))得x1＝eq \f(2,3)，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋eq \f(2,3)＝eq \f(5,3)．
答案：eq \f(5,3)
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．
解析：由题意，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵点(2，－2)在抛物线上，
∴p＝1，即抛物线方程为x2＝－2y．
当y＝－3时，x＝±eq \r(6)．
∴水位下降1米后，水面宽为2eq \r(6)米．
答案：2eq \r(6)
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2)，
于是4＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝2．
∴抛物线方程为y2＝4x．
(2)∵点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝eq \f(4,3)，
∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq \f(3,4)．
又FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－eq \f(3,4)x，②
联立①②，解得x＝eq \f(8,5)，y＝eq \f(4,5)，
∴N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5)))．
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋λeq \(OB,\s\up7(―→))，求λ的值．
解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
与y2＝2px联立，
消去y有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(5p,4)．
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(5p,4)＋p＝9，
所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x．
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，
即x2－5x＋4＝0，
则x1＝1，x2＝4，
于是y1＝－2eq \r(2)，y2＝4eq \r(2)，
从而A(1，－2eq \r(2))，B(4,4eq \r(2))．
设C(x3，y3)，
则eq \(OC,\s\up7(―→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq \r(2))＋λ(4，4eq \r(2))＝(4λ＋1,4eq \r(2)λ－2eq \r(2))．
又yeq \\al(2,3)＝8x3，所以2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2．
故λ的值为0或2．
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1．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))·eq \(FD,\s\up7(―→))的最大值等于( )
A．－4 B．－16
C．4 D．－8
解析：选B 依题意可得，eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝－(|eq \(FA,\s\up7(―→))|·|eq \(FB,\s\up7(―→))|)．
又因为|eq \(FA,\s\up7(―→))|＝yA＋1，|eq \(FB,\s\up7(―→))|＝yB＋1，
所以eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．
设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，
所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4．
所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k2＋2．
所以eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝－(4k2＋4)．
同理eq \(FC,\s\up7(―→))·eq \(FD,\s\up7(―→))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k2)＋4))．
所以eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))·eq \(FD,\s\up7(―→))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k2＋\f(4,k2)＋8))≤－16．
当且仅当k＝±1时等号成立．
2．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
因为点P(1,2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，
解得p＝2．
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB．
则kPA＝eq \f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq \f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB．
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1， ①,y\\al(2,2)＝4x2， ②))
所以eq \f(y1－2,\f(1,4)y\\al(2,1)－1)＝－eq \f(y2－2,\f(1,4)y\\al(2,2)－1)，
所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4．
由①－②得，yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，
所以kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠x2)．