高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十七）　椭圆 Word版含答案

课时跟踪检测  (四十七)　椭　圆

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1．(2017·四川遂宁模拟)椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值是(　　)

A．6或2　　　　　　　　　 B．5

C．1或9  D．3或5

解析：选D　由题意，得c＝1，当椭圆的焦点在x轴上时，由m－4＝1，解得m＝5；当椭圆的焦点在y轴上时，由4－m＝1，解得m＝3，所以m的值是3或5，故选D．

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋＝1  B．＋＝1

C．＋＝1  D．＋＝1

解析：选C　由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝b2．以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2，由题意可知b＝＝，所以a2＝4，b2＝3．故椭圆C的方程为＋＝1，故选C．

3．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(　　)

A．3  B．3或

C．  D．6或3

解析：选C　由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝．故选C．

4．(2017·湖北优质高中联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________．

解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝＝；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝＝．

答案：或

5．(2017·北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是____________________．

解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由题意知解得a2＝16，b2＝12．

所以椭圆C的方程为＋＝1．

答案：＋＝1

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1．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的(　　)

A．长轴长相等　　　　　　 B．短轴长相等

C．离心率相等  D．焦距相等

解析：选D　c2＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两个曲线的焦距相等．

2．若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D　不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝2b×3，即a＝3b．

∴a2＝9b2＝9(a2－c2)．

即＝，

∴e＝＝，故选D．

3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选B　由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2．联立解得交点(0，－2)，，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B．

4．(2017·西宁模拟)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|＝2，则∠F1PF2＝(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D　因为＋＝2，O为坐标原点，|＋|＝2，所以|PO|＝，又|OF1|＝|OF2|＝，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝．

5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋＝1　　　 B．＋＝1

C．＋＝1  D．＋＝1

解析：选B　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2．由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8．由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1．

6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．

解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，

∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3．又b＝4，

∴a＝＝5．

∵椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的左顶点为(－5,0)．

答案：(－5,0)

7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．

解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

∵AB过F1且A，B在椭圆C上，

∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|

＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|

＝4a＝16，

∴a＝4．

又离心率e＝＝，

∴c＝2，

∴b2＝a2－c2＝8，

∴椭圆C的方程为＋＝1．

答案：＋＝1

8．已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝，则椭圆的离心率为________．

解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝＝＝＝＝，

从而e＝ ＝．

答案：

9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率．

(2)若AF2―→＝2F2B―→，AF1―→·＝，求椭圆的方程．

解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c．

所以a＝c，e＝＝．

(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，设B(x，y)．

由AF2―→＝2F2B―→，得(c，－b)＝2(x－c，y)，

解得x＝，y＝－，

即B．

将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，

即＋＝1，解得a2＝3c2①．

又由AF1―→·＝(－c，－b)·＝，

得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②．

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2．

所以椭圆的方程为＋＝1．

10．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．

解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，

设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则A，B两点的坐标满足方程组

消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝．

因为直线AB的斜率为1，

所以|AB|＝|x2－x1|＝，

即a＝，故a2＝2b2，

所以E的离心率e＝＝＝ ＝．

(2)设AB的中点为N(x0，y0)，

由(1)知x0＝＝＝－，

y0＝x0＋c＝．

由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，

即＝－1，得c＝3，

从而a＝3，b＝3．

故椭圆E的方程为＋＝1．

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1．(2017·石家庄质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：选B　设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，

则有解得x1＝－3，y1＝1，

易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝，

因此椭圆C的离心率e＝＝的最大值为．

2．(2017·云南统测)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4．直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)若＝3，求m2的取值范围．

解：(1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，

由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝．

∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，

∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1．

∴椭圆E的方程为x2＋＝1．

(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，

由得，(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0．

由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，

即k2－m2＋4>0，

且x1＋x2＝，x1x2＝．

由＝3得x1＝－3x2．

∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0．

∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0．

当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，

∴k2＝．

∵k2－m2＋4>0，

∴－m2＋4>0，即>0．

∴1<m2<4．

∴m2的取值范围为(1,4)．