高中数学高考2018高考数学(文)大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 (四十六) 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含答案
展开课时跟踪检测 (四十六) 直线与圆、圆与圆的位置关系
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1.直线kx+y-2=0(k∈R)与圆x2+y2+2x-2y+1=0的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.与k值有关
解析:选D 圆心为(-1,1),
所以圆心到直线的距离为=,
所以直线与圆的位置关系和k值有关,故选D.
2.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )
A.-2 B.-4
C.-6 D.-8
解析:选B 圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a(a<2),圆心C(-1,1),半径r满足r2=2-a,则圆心C到直线x+y+2=0的距离d=,所以r2=22+()2=2-a⇒a=-4.
3.已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( )
A. B.1
C. D.
解析:选C 圆心(-1,-1)到点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d==,故点N到点M的距离的最小值为d-1=.
4.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.
解析:因为点A(1,2)在圆x2+y2=5上,
故过点A的圆的切线方程为x+2y=5,
令x=0,得y=.
令y=0,得x=5,故所求三角形的面积
S=××5=.
答案:
5.若圆x2+y2+mx-=0与直线y=-1相切,其圆心在y轴的左侧,则m=________.
解析:圆的标准方程为2+y2=2,圆心到直线y=-1的距离=|0-(-1)|,解得m=±,因为圆心在y轴的左侧,所以m=.
答 案:
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1.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:x2+4x+y2-2y+3=0相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
解析:选A 因为圆C的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2,
所以其圆心坐标为(-2,1),半径为,
因为直线l与圆C相切.
所以=,解得k=±1,
因为k<0,所以k=-1,
所以直线l的方程为x+y-1=0.
圆心D(2,0)到直线l的距离
d==<,
所以直线l与圆D相交.
2.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )
A.,-4 B.-,4
C.,4 D.-,-4
解析:选A 因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且直线2x+y+b=0过圆心,所以所以
3.(2017·大连模拟)圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k=( )
A.-1或--1 B.1或-3
C.1或- D.
解析:选B 由题意知,圆的标准方程为x2+(y+1)2=4.较短弧所对圆周角是90°,所以圆心(0,-1)到直线x+y-k=0的距离为r=.即=,解得k=1或-3.
4.(2015·重庆高考)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2 B.4
C.6 D.2
解析:选C 由于直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,
∴圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,
∴2+a-1=0,∴a=-1,
∴A(-4,-1).
∴|AC|2=36+4=40.
又r=2,∴|AB|2=40-4=36.
∴|AB|=6.
5.已知直线3x+4y-15=0与圆O:x2+y2=25交于A,B两点,点C在圆O上,且S△ABC=8,则满足条件的点C的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选C 圆心O到已知直线的距离为d==3,
因此|AB|=2=8,
设点C到直线AB的距离为h,则S△ABC=×8×h=8,h=2,由于d+h=3+2=5=r(圆的半径),
因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切,一条与圆相交,故符合条件的点C有三个.
6.若直线y=-x-2与圆x2+y2-2x=15相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线方程的斜截式为________.
解析:圆的方程可整理为(x-1)2+y2=16,所以圆心坐标为(1,0),半径r=4,易知弦AB的垂直平分线l过圆心,且与直线AB垂直,而kAB=-,所以kl=2.
由点斜式方程可得直线l的方程为y-0=2(x-1),
即y=2x-2.
答案:y=2x-2
7.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为________.
解析:由x2+y2+2x-4y-4=0得(x+1)2+(y-2)2=9,
所以圆C的圆心坐标为C(-1,2),半径为3,
由AC⊥BC,可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形,
故可得圆心C到直线x-y+a=0的距离为,
由点到直线的距离公式可得=,
解得a=0或a=6.
答案:0或6
8.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,则切线的方程为________.
解析:联立解得所以圆心C(3,2).设切线方程为y=kx+3,可得圆心到切线的距离d=r,即=1,解得k=0或k=-.则所求的切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
答案:y=3或3x+4y-12=0
9.已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
解:(1)设圆心的坐标为C(a,-2a),
则=.
化简,得a2-2a+1=0,解得a=1.
∴C(1,-2),半径r=|AC|==.
∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,由题意得=1,解得k=-,
∴直线l的方程为y=-x.
综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.
10.如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
解:(1)设圆A的半径为r.
由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,
∴r==2.
∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2).
即kx-y+2k=0.
连接AQ,则AQ⊥MN.
∵|MN|=2,
∴|AQ|==1,
则由|AQ|==1,
得k=,∴直线l:3x-4y+6=0.
故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
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1.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为( )
A.5 B.10
C.15 D.20
解析:选A 如图,作OP⊥AC于P,OQ⊥BD于Q,
则|OP|2+|OQ|2=|OM|2=3,∴|AC|2+|BD|2=4(4-|OP|2)+4(4-|OQ|2)=20.
又|AC|2+|BD|2≥2|AC|·|BD|,
则|AC|·|BD|≤10,
∴S四边形ABCD=|AC|·|BD|≤×10=5,
当且仅当|AC|=|BD|=时等号成立,
∴四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.
2.(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设圆心C(a,0),
则=2,
解得a=0或a=-5(舍).
所以圆C:x2+y2=4.
(2)如图,当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得,(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
若x轴平分∠ANB,
则kAN=-kBN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0⇒-+2t=0⇒t=4,
所以当点N为(4,0)时,
能使得∠ANM=∠BNM总成立.
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