2021高考数学（理）大一轮复习习题：第七章 不等式 课时达标检测（三十五） 基本不等式 word版含答案

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1．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2eq \r(ab) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞eq \f(1,\r(ab))
C.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 D．a2＋b2＞2ab
解析：选C 因为ab＞0，所以eq \f(b,a)＞0，eq \f(a,b)＞0，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时取等号．
2．下列不等式一定成立的是( )
A．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))>lg x(x>0)
B．sin x＋eq \f(1,sin x)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.eq \f(1,x2＋1)>1(x∈R)
解析：选C 对选项A，当x>0时，x2＋eq \f(1,4)－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0，∴lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))≥lg x，故不成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x2＋1≥1，∴03．当x>0时，函数f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)有( )
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
解析：选B f(x)＝eq \f(2,x＋\f(1,x))≤eq \f(2,2 \r(x·\f(1,x)))＝1.当且仅当x＝eq \f(1,x)，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.
4．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b＝1，∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝eq \f(4,3)＋eq \f(a,3b)＋eq \f(4b,3a)≥eq \f(4,3)＋2 eq \r(\f(a,3b)·\f(4b,3a))＝eq \f(8,3).当且仅当a＝2b＝eq \f(3,2)时取等号．
答案：eq \f(8,3)
5．已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析：f(x)＝4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.
答案：36
一、选择题
1.eq \r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.eq \f(9,2) C．3 D.eq \f(3\r(2),2)
解析：选B 因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，eq \r(3－aa＋6)≤eq \f(3－a＋a＋6,2)＝eq \f(9,2)，当且仅当a＝－eq \f(3,2)时等号成立．
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A． B．
C．
解析：选D ∵1＝2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)＝2eq \r(2x＋y)当且仅当2x＝2y＝eq \f(1,2)，即x＝y＝－1时等号成立，∴eq \r(2x＋y)≤eq \f(1,2)，∴2x＋y≤eq \f(1,4)，得x＋y≤－2.
3．若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选C 将(1,1)代入直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋b的最小值为4.
4．(2016·铜陵二模)已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选B 因为a>－1，b>－2，所以a＋1>0，b＋2>0，又(a＋1)(b＋2)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1＋b＋2,2)))2，即16≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b＋3,2)))2，整理得a＋b≥5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，故选B.
5．若两个正实数x，y满足eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，且不等式x＋eq \f(y,4)A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B ∵不等式x＋eq \f(y,4)6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为( )
A．0 B．1
C.eq \f(9,4) D．3
解析：选B eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq \f(1,4－3)＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)＝－eq \f(1,y2)＋eq \f(2,y)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
二、填空题
7．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋eq \f(1,a)，n＝a＋eq \f(1,b)，则m＋n的最小值是________．
解析：由题意知：ab＝1，∴m＝b＋eq \f(1,a)＝2b，n＝a＋eq \f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq \r(ab)＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号．
答案：4
8．若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为________．
解析：由eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，知a＞0，b＞0，所以eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(2,ab))，即ab≥2eq \r(2)，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)，))即a＝eq \r(4,2)，b＝2eq \r(4,2)时取等号，所以ab的最小值为2eq \r(2).
答案：2eq \r(2)
9．(2017·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则lg2x＋lg2y的最大值为________．
解析：因为lg2x＋lg2y＝lg22xy－1≤lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))2－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，所以lg2x＋lg2y的最大值为1.
答案：1
10．已知不等式2x＋m＋eq \f(8,x－1)>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式2x＋m＋eq \f(8,x－1)>0可化为2(x－1)＋eq \f(8,x－1)>－m－2，
∵x>1，∴2(x－1)＋eq \f(8,x－1)≥2eq \r(2x－1·\f(8,x－1))＝8，
当且仅当x＝3时取等号．
∵不等式2x＋m＋eq \f(8,x－1)>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，
∴－m－2<8，
解得m>－10.
答案：(－10，＋∞)
三、解答题
11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)≥2 eq \r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq \f(8,\r(xy))，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由(1)知eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
则x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)
≥10＋2 eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
12．(2017·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，得S＝(x－8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(900,x)－2))＝－2x－eq \f(7 200,x)＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8所以2x＋eq \f(7 200,x)≥2 eq \r(2x×\f(7 200,x))＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m2.