2021高考数学（文）大一轮复习习题 第六章 不等式、推理与证明 课时跟踪检测 （三十五）　基本不等式 word版含答案

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1．“a＞b＞0”是“ab＜eq \f(a2＋b2,2)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜eq \f(a2＋b2,2)”的充分不必要条件，故选A．
2．当x＞0时，f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值为( )
A．eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
解析：选B ∵x＞0，∴f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)＝eq \f(2,x＋\f(1,x))≤eq \f(2,2)＝1，
当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号．
3．(2017·合肥调研)若a，b都是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选C 因为a，b都是正数，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确．
4．当3＜x＜12时，函数y＝eq \f(x－312－x,x)的最大值为________．
解析：y＝eq \f(x－312－x,x)＝eq \f(－x2＋15x－36,x)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(36,x)))＋15≤－2 eq \r(x·\f(36,x))＋15＝3．
当且仅当x＝eq \f(36,x)，即x＝6时，ymax＝3．
答案：3
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2．
解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，
由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋10－x,2)))2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，
故当矩形的长与宽相等，都为5 m时面积取到最大值25 m2．
答案：25
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1．下列不等式一定成立的是( )
A．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))＞lg x(x＞0)
B．sin x＋eq \f(1,sin x)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．eq \f(1,x2＋1)＞1(x∈R)
解析：选C lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))＞lg x⇔x2＋eq \f(1,4)＞x(x＞0)⇔4x2－4x＋1＞0(x＞0)．当x＝eq \f(1,2)时，4×eq \f(1,22)－4×eq \f(1,2)＋1＝0，∴A错；当sin x＝－1时，sin x＋eq \f(1,sin x)＝－2＜2，∴B错；x2＋1≥2|x|⇔(|x|－1)2≥0，∴C正确；当x＝0时，eq \f(1,x2＋1)＝1，∴D错．
2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋eq \f(1,a)，n＝a＋eq \f(1,b)，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋eq \f(1,a)＝2b，n＝a＋eq \f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq \r(ab)＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A． B．
C．
解析：选D ∵2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)＝2eq \r(2x＋y)(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴eq \r(2x＋y)≤eq \f(1,2)，∴2x＋y≤eq \f(1,4)，得x＋y≤－2．
4．(2017·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2eq \r(5)，则ab的最大值是( )
A．9 B．eq \f(9,2)
C．4 D．eq \f(5,2)
解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r＝eq \r(5)，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2eq \r(a·2b)，可得ab≤eq \f(9,2)，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是eq \f(9,2)，故选B．
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
解析：选B 每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是eq \f(800,x)元，每件产品的仓储费用是eq \f(x,8)元，则eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2 eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)，即x＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．
6．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝2x图象上两个不同的点，若x1＋2x2＝4，则y1＋yeq \\al(2,2)的最小值为________．
解析：y1＋yeq \\al(2,2)＝2x1＋22x2≥2eq \r(2x1＋2x2)＝8(当且仅当x1＝2x2＝2时等号成立)．
答案：8
7．(2016·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则lg2x＋lg2y的最大值为________．
解析：因为lg2x＋lg2y＝lg22xy－1≤lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))2－1＝2－1＝1，
当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，
所以lg2x＋lg2y的最大值为1．
答案：1
8．已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解析：因为x2＋y2－xy＝1，
所以x2＋y2＝1＋xy．
所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2．
当且仅当x＝y＝1时右边等号成立．
所以x＋y的最大值为2．
答案：2
9．(1)当x(2)设0解：(1)y＝eq \f(1,2)(2x－3)＋eq \f(8,2x－3)＋eq \f(3,2)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq \f(3,2)．
当x0，
∴eq \f(3－2x,2)＋eq \f(8,3－2x)≥2 eq \r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，
当且仅当eq \f(3－2x,2)＝eq \f(8,3－2x)，即x＝－eq \f(1,2)时取等号．
于是y≤－4＋eq \f(3,2)＝－eq \f(5,2)，故函数的最大值为－eq \f(5,2)．
(2)∵00，
∴y＝eq \r(x4－2x)＝eq \r(2)·eq \r(x2－x)≤ eq \r(2)·eq \f(x＋2－x,2)＝eq \r(2)，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝eq \r(x4－2x)的最大值为eq \r(2)．
10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)≥2 eq \r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq \f(8,\r(xy))，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64．
(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
则x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))(x＋y)＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)
≥10＋2 eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18．
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18．
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1．正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
解析：选D 因为a＞0，b＞0，eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，
所以a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)≥10＋2eq \r(9)＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6．
2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq \f(1,3)x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq \f(10 000,x)－1 450(万元)．每件商品售价为0．05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式．
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解：(1)因为每件商品售价为0．05万元，
则x千件商品销售额为0．05×1 000x万元，依题意得：
当0＜x＜80时，L(x)＝(0．05×1 000x)－eq \f(1,3)x2－10x－250＝－eq \f(1,3)x2＋40x－250．
当x≥80时，L(x)＝(0．05×1 000x)－51x－eq \f(10 000,x)＋1 450－250＝1 200－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10 000,x)))．
所以L(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)x2＋40x－250，0＜x＜80，,1 200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10 000,x)))，x≥80.))
(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－eq \f(1,3)(x－60)2＋950．
此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1 200－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10 000,x)))
≤1 200－2 eq \r(x·\f(10 000,x))＝1 200－200＝1 000．
此时x＝eq \f(10 000,x)，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．