2021高考数学（理）大一轮复习习题：第七章 不等式 课时达标检测（三十四） 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 word版含答案

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1．下面给出的四个点中，位于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0))表示的平面区域内的点是( )
A．(0,2) B．(－2,0)
C．(0，－2) D．(2,0)
解析：选C 将四个点的坐标分别代入不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0))验证可知，满足条件的只有(0，－2)．
2．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4)
解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4))得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).∴S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(8,3)×1＝eq \f(4,3).
3．若x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≤0，,x＋y≤1，,x≥0，))则z＝x＋2y的最大值为( )
A．0 B．1 C.eq \f(3,2) D．2
解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x＋2y＝0并上下平移，易知当直线过点A(0,1)时，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2.
4．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,y＋2≥0，,x＋y＋2≥0，))则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为( )
A．1 B.eq \f(9,2) C．5 D．9
解析：选B 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P(－2，－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为eq \f(|－2－3＋2|,\r(2))＝eq \f(3,\r(2))，所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(2))))2＝eq \f(9,2)，故选B.
5．设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4.
答案：4
一、选择题
1．若x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≤0，,x－y＋3≥0，,y≥－1，))则z＝3x＋y的最大值为( )
A．11 B．－11 C．13 D．－13
解析：选A 将z＝3x＋y化为y＝－3x＋z，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y＝－3x＋z经过点D时，z取得最大值．联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,y＝－1，))得D(4，－1)，此时zmax＝4×3－1＝11，故选A.
2．(2017·河南八市高三质检)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2，,x＋y≤4，,－2x＋y＋c≥0，))目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，则z的最大值是( )
A．20 B．22 C．24 D．26
解析：选A 由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋eq \f(z,2)，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y＝－3x＋eq \f(z,2)经过点C时，直线的纵截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x＋2y＝10，,x＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))即C(2，－1)，将其代入直线方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直线方程为－2x＋y＋5＝0，平移直线3x＋y＝0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋y＋5＝0，,x＋y＝4，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20，故选A.
3．若x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
解析：选D 作出线性约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0))的可行域．当k≥0时，如图(1)所示，此时可行域为x轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．当k<－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．当－14．(2017·安徽江南十校联考)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥\f(1,2)x2，))则z＝y－x的取值范围为( )
A． B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
C． D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
解析：选B 作出可行域如图所示，设直线l：y＝x＋z，平移直线l，易知当l过直线3x－y＝0与x＋y－4＝0的交点(1,3)时，z取得最大值2；当l与抛物线y＝eq \f(1,2)x2相切时，z取得最小值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝y－x，,y＝\f(1,2)x2，))消去y得x2－2x－2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－eq \f(1,2)，故－eq \f(1,2)≤z≤2，故选B.
5．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－3y＋4≥0))中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2eq \r(2) B．4
C．3eq \r(2) D．6
解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,x＋y＝0))得C(2，－2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋4＝0，,x＋y＝0))得D(－1,1)．所以|AB|＝|CD|＝eq \r(2＋12＋－2－12)＝3eq \r(2).故选C.
6．(2017·山东济南三校联考)已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0，))若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a的取值范围为( )
A．(0,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
解析：选B 约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1,1)作l的平行线l′，要满足题意，则直线l′的斜率介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1的斜率之间，因此，－eq \f(1,2)<－a<0，即0二、填空题
7．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为________．
解析：约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m))表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值．解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,y＝2x))得A点坐标为(1,2)，∴m的最大值是1.
答案：1
8．已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1≥0，,x<2，,x＋y－1≥0，))则z＝2x－2y－1的取值范围是________．
解析：画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×eq \f(1,3)－2×eq \f(2,3)－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，5)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，5))
9．已知x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2≤0，,x＋3≥0，,x－y－1≤0，))则eq \f(x＋y－6,x－4)的取值范围是________．
解析：不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2≤0，,x＋3≥0，,x－y－1≤0))表示的平面区域如图所示，
因为eq \f(x＋y－6,x－4)＝eq \f(x－4＋y－2,x－4)＝1＋eq \f(y－2,x－4)，而eq \f(y－2,x－4)表示平面区域内的点与点A(4,2)连线的斜率，
由图知斜率的最小值为0，最大值为kAB＝eq \f(－4－2,－3－4)＝eq \f(6,7)，
所以1＋eq \f(y－2,x－4)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(13,7)))，
即eq \f(x＋y－6,x－4)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(13,7))).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(13,7)))
10．实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,2x－y－5≤0，,x＋y－4≥0，))则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
z＝|x＋2y－4|＝eq \f(|x＋2y－4|,\r(5))·eq \r(5)，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的eq \r(5)倍．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x－y－5＝0，))得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
答案：21
三、解答题
11．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))
(1)求目标函数z＝eq \f(1,2)x－y＋eq \f(1,2)的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线eq \f(1,2)x－y＋eq \f(1,2)＝0，可知z＝eq \f(1,2)x－y＋eq \f(1,2)过A(3,4)时取最小值－2，过C(1,0)时取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－eq \f(a,2)＜2，解得－4＜a＜2.故所求a的取值范围为(－4,2)．
12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x，y∈N.))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x，y∈N.))目标函数为w＝2x＋3y＋300.
作出可行域如图所示：
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线，易知直线经过点A时，w有最大值．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝50，,y＝50.))
所以最优解为A(50,50)，此时wmax＝550元．
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．