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    高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案:8.1 直线的倾斜角与斜率、直线方程 word版含答案
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    高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案:8.1 直线的倾斜角与斜率、直线方程 word版含答案

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    这是一份高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案:8.1 直线的倾斜角与斜率、直线方程 word版含答案,共12页。

    (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.
    (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
    (3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
    知识点一 直线的倾斜角与斜率
    1.直线的倾斜角
    (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.
    (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.
    (3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0,π).
    2.直线的斜率
    (1)定义:当直线l的倾斜角α≠eq \f(π,2)时,其倾斜角α的正切值tan α叫作这条斜线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k=tan_α.
    (2)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=eq \f(y2-y1,x2-x1).
    易误提醒 任意一条直线都有倾斜角,但只有与x轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x轴垂直,即倾斜角为eq \f(π,2)时,斜率不存在)
    [自测练习]
    1.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为eq \f(3π,4),则y等于( )
    A.-1 B.-3
    C.0 D.2
    解析:由k=eq \f(-3-2y-1,2-4)=tan eq \f(3π,4)=-1.得-4-2y=2.∴y=-3.
    答案:B
    2.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
    A.k1B.k3C.k3D.k1解析:由题图可知k1<0,k2>0,k3>0,且k2>k3,∴k1答案:D
    知识点二 直线方程
    易误提醒 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x1=x2时斜率k不存在的情况.
    (2)用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误.
    (3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.
    (4)由一般式Ax+By+C=0确定斜率k时易忽视判断B是否为0,当B=0时,k不存在;当B≠0时,k=-eq \f(A,B).
    [自测练习]
    3.过点(-1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( )
    A.eq \r(3)x-3y-6+eq \r(3)=0
    B.eq \r(3)x-3y+6+eq \r(3)=0
    C.eq \r(3)x+3y+6+eq \r(3)=0
    D.eq \r(3)x+3y-6+eq \r(3)=0
    解析:直线斜率k=tan 30°=eq \f(\r(3),3),
    直线的点斜式方程为y-2=eq \f(\r(3),3)(x+1),
    整理得eq \r(3)x-3y+eq \r(3)+6=0,故选B.
    答案:B
    4.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )
    A.1 B.-1
    C.-2或-1 D.-2或1
    解析:由题意可知a≠0.当x=0时,y=a+2.
    当y=0时,x=eq \f(a+2,a).
    ∴eq \f(a+2,a)=a+2,解得a=-2或a=1.
    答案:D
    考点一 直线的倾斜角与斜率|
    1.直线x+eq \r(3)y+m=0(m∈R)的倾斜角为( )
    A.30° B.60°
    C.150° D.120°
    解析:∵直线的斜率k=-eq \f(\r(3),3),∴tan α=-eq \f(\r(3),3).
    又0≤α<180°,∴α=150°.故选C.
    答案:C
    2.直线l:ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的取值范围是________.
    解析:当a=-1时,直线l的倾斜角为90°,符合要求:当a≠-1时,直线l的斜率为-eq \f(a,a+1),
    则有-eq \f(a,a+1)>1或-eq \f(a,a+1)<0,
    解得-10.
    综上可知,实数a的取值范围是
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(1,2)))∪(0,+∞).
    答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(1,2)))∪(0,+∞)
    3.(2016·太原模拟)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围为________.
    解析:如图,kPA=eq \f(1+3,1-2)=-4,kPB=eq \f(1+2,1+3)=eq \f(3,4).
    要使直线l与线段AB有交点,则有k≥eq \f(3,4)或k≤-4.
    答案:(-∞,-4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4),+∞))
    求倾斜角α的取值范围的一般步骤
    (1)求出tan α的取值范围;
    (2)利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.
    注意已知倾斜角θ的范围,求斜率k的范围时注意下列图象的应用:
    当k=tan α,α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))时的图象如图:

    考点二 直线的方程|
    根据所给条件求直线的方程:
    (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为eq \f(\r(10),10);
    (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.
    [解] (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为α,则sin α=eq \f(\r(10),10)(0<α<π),
    从而cs α=±eq \f(3\r(10),10),则k=tan α=±eq \f(1,3).
    故所求直线方程为y=±eq \f(1,3)(x+4),
    即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
    (2)由题设知截距不为0,设直线方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,12-a)=1,又直线过点(-3,4),
    从而eq \f(-3,a)+eq \f(4,12-a)=1,解得a=-4或a=9.
    故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
    (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
    (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用.

    求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程.
    解:当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0,适合题意,当斜率存在时,设斜率为k,
    则所求直线方程为y-10=k(x-5),
    即kx-y+(10-5k)=0.
    由点到直线的距离公式,得eq \f(|10-5k|,\r(k2+1))=5,解得k=eq \f(3,4).
    故所求直线方程为3x-4y+25=0.
    综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
    考点三 直线方程的综合应用|
    直线方程的综合应用是高考常考内容之一,它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇,考查学生综合运用直线知识解决问题的能力.
    归纳起来常见的命题探究角度有:
    1.与最值相结合问题.
    2.与导数的几何意义相结合问题.
    3.与平面向量相结合问题.
    4.与数列相结合问题.
    探究一 与最值相结合问题
    1.(2015·高考福建卷)若直线eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )
    A.2 B.3
    C.4 D.5
    解析:法一:因为直线eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=1,所以1=eq \f(1,a)+eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(1,b))=eq \f(2,\r(ab))(当且仅当a=b=2时取等号),所以eq \r(ab)≥2.又a+b≥2eq \r(ab)(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.
    法二:因为直线eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=1,所以a+b=(a+b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+\f(1,b)))=2+eq \f(a,b)+eq \f(b,a)≥2+2eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.
    答案:C
    探究二 与导数的几何意义相结合问题
    2.已知函数f(x)=x-4ln x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为________.
    解析:由f ′(x)=1-eq \f(4,x),则k=f ′(1)=-3,又f(1)=1,故切线方程为y-1=-3(x-1),即3x+y-4=0.
    答案:3x+y-4=0
    探究三 与平面向量相结合问题
    3.在平面直角坐标平面上,eq \(OA,\s\up6(→))=(1,4),eq \(OB,\s\up6(→))=(-3,1),且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))在直线的方向向量上的投影的长度相等,则直线l的斜率为( )
    A.-eq \f(1,4) B.eq \f(2,5)
    C.eq \f(2,5)或-eq \f(4,3) D.eq \f(5,2)
    解析:直线l的一个方向向量可设为h=(1,k),由题eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(OA,\s\up6(→))·h,|h|)))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(OB,\s\up6(→))·h,|h|)))⇒|1+4k|=|-3+k|,解得k=eq \f(2,5)或k=-eq \f(4,3),故选C.
    答案:C
    探究四 与数列相结合问题
    4.已知数列{an}的通项公式为an=eq \f(1,nn+1)(n∈N*),其前n项和Sn=eq \f(9,10),则直线eq \f(x,n+1)+eq \f(y,n)=1与坐标轴所围成三角形的面积为( )
    A.36 B.45
    C.50 D.55
    解析:由an=eq \f(1,nn+1)可知an=eq \f(1,n)-eq \f(1,n+1),
    ∴Sn=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,2)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(1,3)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)-\f(1,4)))+…+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)-\f(1,n+1)))=1-eq \f(1,n+1),
    又知Sn=eq \f(9,10),
    ∴1-eq \f(1,n+1)=eq \f(9,10),∴n=9.
    ∴直线方程为eq \f(x,10)+eq \f(y,9)=1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),
    ∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×10×9=45,故选B.
    答案:B
    (1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方程中的x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的某函数,借助函数的性质解决.
    (2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决.

    17.忽视零截距致误
    【典例】 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
    (1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;
    (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
    [解] (1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零.∴a=2,方程即为3x+y=0.
    当直线不经过原点时,截距存在且均不为0,
    ∴eq \f(a-2,a+1)=a-2,即a+1=1,
    ∴a=0,方程即为x+y+2=0.
    综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
    (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-a+1>0,,a-2≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-a+1=0,,a-2≤0.))∴a≤-1.
    综上可知a的取值范围是a≤-1.
    [易误点评] 本题易错点求直线方程时,漏掉直线过原点的情况.
    [防范措施] (1)在求与截距有关的直线方程时,注意对直线的截距是否为零进行分类讨论,防止忽视截距为零的情形,导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有:“截距互为相反数”;“一截距是另一截距的几倍”等,解决此类问题时,要先考虑零截距情形,注意分类讨论思想的运用.
    [跟踪练习] 若直线过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距相等,则这样的直线的条数为( )
    A.1 B.2
    C.3 D.以上都有可能
    解析:当截距均为零时,显然有一条;当截距不为零时,设直线方程为x+y=a,则a=2+1=3,有一条.综上知,直线过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条,故选B.
    答案:B
    A组 考点能力演练
    1.直线l:xsin 30°+ycs 150°+1=0的斜率是( )
    A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3)
    C.-eq \r(3) D.-eq \f(\r(3),3)
    解析:设直线l的斜率为k,则k=-eq \f(sin 30°,cs 150°)=eq \f(\r(3),3).
    答案:A
    2.在等腰三角形AOB中,AO=AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为( )
    A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)
    C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)
    解析:因为AO=AB,所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数,所以kAB=-kOA=-3,所以直线AB的点斜式方程为:y-3=-3(x-1).
    答案:D
    3.直线2x-my+1-3m=0,当m变动时,所有直线都通过定点( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),3))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),-3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),-3))
    解析:∵(2x+1)-m(y+3)=0恒成立,
    ∴2x+1=0,y+3=0,∴x=-eq \f(1,2),y=-3.
    ∴定点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),-3)).
    答案:D
    4.(2016·海淀一模)已知点A(-1,0),B(cs α,sin α),且|AB|=eq \r(3),则直线AB的方程为( )
    A.y=eq \r(3)x+eq \r(3)或y=-eq \r(3)x-eq \r(3)
    B.y=eq \f(\r(3),3)x+eq \f(\r(3),3)或y=-eq \f(\r(3),3)x-eq \f(\r(3),3)
    C.y=x+1或y=-x-1
    D.y=eq \r(2)x+eq \r(2)或y=-eq \r(2)x-eq \r(2)
    解析:|AB|= eq \r(cs α+12+sin2α)
    =eq \r(2+2cs α)=eq \r(3),所以cs α=eq \f(1,2),sin α=±eq \f(\r(3),2),
    所以kAB=±eq \f(\r(3),3),即直线AB的方程为y=±eq \f(\r(3),3)(x+1),所以直线AB的方程为y=eq \f(\r(3),3)x+eq \f(\r(3),3)或y=-eq \f(\r(3),3)x-eq \f(\r(3),3),选B.
    答案:B
    5.(2016·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )
    A.-11或kC.k>eq \f(1,5)或k<1 D.k>eq \f(1,2)或k<-1
    解析:设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),直线在x轴上的截距为1-eq \f(2,k),令-3<1-eq \f(2,k)<3,解不等式可得.也可以利用数形结合.选D.
    答案:D
    6.(2016·温州模拟)直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k=________.
    解析:令x=0,得y=eq \f(k,4);令y=0,得x=-eq \f(k,3).
    则有eq \f(k,4)-eq \f(k,3)=2,所以k=-24.
    答案:-24
    7.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.
    解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.
    ∴b的取值范围是[-2,2].
    答案:[-2,2]
    8.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为________________________________________________________________________.
    解析:设直线的斜率为k(k≠0),
    则直线方程为y-2=k(x+2),
    由x=0知y=2k+2.
    由y=0知x=eq \f(-2k-2,k).
    由eq \f(1,2)|2k+2|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(-2k-2,k)))=1.
    得k=-eq \f(1,2)或k=-2.
    故直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.
    答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0
    9.已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
    解:法一:设直线方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1(a>0,b>0),
    点P(3,2)代入得eq \f(3,a)+eq \f(2,b)=1≥2eq \r(\f(6,ab)),
    得ab≥24,
    从而S△ABO=eq \f(1,2)ab≥12,当且仅当eq \f(3,a)=eq \f(2,b)时等号成立,
    这时k=-eq \f(b,a)=-eq \f(2,3),
    从而所求直线方程为2x+3y-12=0.
    法二:依题意知,直线l的斜率k存在且k<0.
    则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
    且有Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3-\f(2,k),0)),B(0,2-3k),
    ∴S△ABO=eq \f(1,2)(2-3k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3-\f(2,k)))
    =eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12+-9k+\f(4,-k)))
    ≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12+2\r(-9k·\f(4,-k))))=eq \f(1,2)×(12+12)=12.
    当且仅当-9k=eq \f(4,-k),即k=-eq \f(2,3)时,等号成立,
    即△ABO的面积的最小值为12.
    故所求直线的方程为2x+3y-12=0.
    10.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:
    (1)BC边所在直线的方程;
    (2)BC边上中线AD所在直线的方程;
    (3)BC边的垂直平分线DE的方程.
    解:(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,
    由两点式得BC的方程为eq \f(y-1,3-1)=eq \f(x-2,-2-2),
    即x+2y-4=0.
    (2)设BC边的中点D的坐标为(x,y),
    则x=eq \f(2-2,2)=0,y=eq \f(1+3,2)=2.
    BC边的中线AD过点A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方程为eq \f(x,-3)+eq \f(y,2)=1,即2x-3y+6=0.
    (3)由(1)知,直线BC的斜率k1=-eq \f(1,2),
    则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2=2.
    由(2)知,点D的坐标为(0,2).
    由点斜式得直线DE的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
    B组 高考题型专练
    1.(2014·高考安徽卷)过点P(-eq \r(3),-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
    A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,6))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,3)))
    C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,3)))
    解析:法一:如图,过点P作圆的切线PA,PB,切点为A,B.由题意知OP=2,OA=1,则sin α=eq \f(1,2),所以α=30°,∠BPA=60°.故直线l的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,3))).选D.
    法二:设过点P的直线方程为y=k(x+eq \r(3))-1,则由直线和圆有公共点知eq \f(|\r(3)k-1|,\r(1+k2))≤1.
    解得0≤k≤eq \r(3).故直线l的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,3))).
    答案:D
    2.(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+eq \f(b,x)(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.
    解析:∵y=ax2+eq \f(b,x),∴y′=2ax-eq \f(b,x2),
    由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a+\f(b,2)=-5,,4a-\f(b,4)=-\f(7,2)))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-1,,b=-2.))
    ∴a+b=-3.
    答案:-3
    3.(2014·高考四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.
    解析:易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2+|PB|2,2)=5(当且仅当|PA|=|PB|时取“=”).
    答案:5
    名称
    几何条件
    方程
    适用条件
    斜截式
    纵截距、斜率
    y=kx+b
    与x轴不垂直的直线
    点斜式
    过一点、斜率
    y-y0=k(x-x0)
    两点式
    过两点
    eq \f(y-y1,y2-y1)=eq \f(x-x1,x2-x1)
    与两坐标轴均不垂直的直线续表
    截距式
    纵、横截距
    eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1
    不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
    一般式
    Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
    所有直线
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