高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：3.8 正弦定理和余弦定理的应用 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：3.8 正弦定理和余弦定理的应用 word版含答案，共13页。

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
知识点 实际应用中的常用术语
易误提醒 易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
[自测练习]
1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
答案：B
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝eq \f(\r(3),3)×30＝10eq \r(3)(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝eq \r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))
＝eq \r(300)＝10eq \r(3)(m)．
答案：10eq \r(3)
3．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8eq \r(2)n mile.此船的航速是________n mile/h.
解析：设航速为v n mile/h，
在△ABS中AB＝eq \f(1,2)v，BS＝8eq \r(2)，∠BSA＝45°，
由正弦定理得eq \f(8\r(2),sin 30°)＝eq \f(\f(1,2)v,sin 45°)，则v＝32.
答案：32
考点一 测量距离问题|
(2014·济南调研)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq \r(3))海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq \r(3) 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
[解] 由题意知AB＝5(3＋eq \r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理，
得eq \f(DB,sin∠DAB)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，
∴DB＝eq \f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq \f(53＋\r(3)·sin 45°,sin 105°)
＝eq \f(53＋\r(3)·sin 45°,sin 45°cs 60°＋cs 45°sin 60°)＝eq \f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))
＝10eq \r(3)(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20eq \r(3)(海里)．
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cs∠DBC
＝300＋1 200－2×10eq \r(3)×20eq \r(3)×eq \f(1,2)＝900.
∴CD＝30(海里)．
则需要的时间t＝eq \f(30,30)＝1(小时)．
求距离问题的两个注意点
(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

1．如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．
(1)求A、C两岛之间的距离；
(2)求∠BAC的正弦值．
解：(1)在△ABC中，由已知，得
AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
由余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30cs 120°＝4 900，
所以AC＝70(海里)．
故A、C两岛之间的距离是70海里．
(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
所以sin∠BAC＝eq \f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq \f(30sin 120°,70)＝eq \f(3\r(3),14).
故∠BAC的正弦值是eq \f(3\r(3),14).
考点二 测量高度问题|
如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________________m.
[解析] 在Rt△ABC中，AC＝100eq \r(2) m，
在△MAC中，由正弦定理得eq \f(MA,sin 60°)＝eq \f(AC,sin 45°)，
解得MA＝100eq \r(3) m，
在Rt△MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150 m.
即山高MN为150 m.
[答案] 150
求解高度问题应注意
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．


2.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )
A．10eq \r(2) m B．20 m
C．20eq \r(3) m D．40 m
解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝eq \r(3)x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cs 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.
答案：D
考点三 测量角度问题|
在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10eq \r(3)海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
[解] 如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t.
在△ABC中，AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°.
利用余弦定理可得BC＝eq \r(6).
由正弦定理，得sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直．
于是∠CBD＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝eq \f(BDsin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
得∠BCD＝30°，
又eq \f(CD,sin 120°)＝eq \f(BC,sin 30°)，即eq \f(10\r(3)t,\r(3))＝eq \r(6)，得t＝eq \f(\r(6),10).
所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花eq \f(\r(6),10)小时．
解决测量角度问题的三个注意点
(1)明确方位角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．


3.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cs θ的值．
解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800⇒BC＝20eq \r(7).
由正弦定理，得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7).
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cs∠ACB＝eq \f(2\r(7),7).
由θ＝∠ACB＋30°，得cs θ＝cs(∠ACB＋30°)＝cs∠ACBcs 30°－sin∠ACBsin 30°＝eq \f(\r(21),14).
12.函数思想在解三角形中的应用
【典例】 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
[思路点拨] (1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题．(2)注意t的取值范围．
[规范解答] (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝eq \r(900t2＋400－2·30t·20·cs90°－30°)
＝eq \r(900t2－600t＋400)＝eq \r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,3)))2＋300).
故当t＝eq \f(1,3)时，Smin＝10eq \r(3)，v＝eq \f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq \r(3).
即小艇以30eq \r(3)海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇．
则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cs(90°－30°)，
故v2＝900－eq \f(600,t)＋eq \f(400,t2).
∵0∴900－eq \f(600,t)＋eq \f(400,t2)≤900，即eq \f(2,t2)－eq \f(3,t)≤0，解得t≥eq \f(2,3).
又t＝eq \f(2,3)时，v＝30，
故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于eq \f(2,3).
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.
故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．
[思想点评] (1)三角形中的最值问题，可利用正、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题．
(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.
A组 考点能力演练
1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )

A．50eq \r(2) m B．50eq \r(3) m
C．25eq \r(2) m D.eq \f(25\r(2),2) m
解析：本题考查正弦定理．依题意与正弦定理得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)，AB＝eq \f(AC·sin C,sin B)＝eq \f(50×sin 45°,sin180°－45°－105°)＝50eq \r(2) m，故选A.
答案：A
2．在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上．为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上；在B处测得该塔底部C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ.已知AB＝a,0<γ<β<αA.eq \f(asinα－β,sin α)tan γ B.eq \f(asin α,sinα－β)tan γ
C.eq \f(asinα－βsin β,sin α)tan γ D.eq \f(asin αsin β,sinα－β)tan γ
解析：本题考查正弦定理．依题意得，在△ABC中，∠CAB＝π－α，∠ACB＝α－β，由正弦定理得eq \f(AB,sinα－β)＝eq \f(BC,sinπ－α)，BC＝eq \f(asin α,sinα－β)；在△BCD中，∠CBD＝γ，CD＝BCtan γ＝eq \f(asin α,sinα－β)tan γ，故选B.
答案：B
3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1) m B．180(eq \r(2)－1) m
C．120(eq \r(3)－1) m D．30(eq \r(3)＋1) m
解析：∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝eq \f(tan 60°－tan 45°,1＋tan 60°tan 45°)＝2－eq \r(3)，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(eq \r(3)－1)(m)，故选C.
答案：C
4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h B．6eq \r(2) km/h
C．2eq \r(34) km/h D．10 km/h
解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝eq \f(0.6,1)＝eq \f(3,5)，从而cs θ＝eq \f(4,5)，所以由余弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)v))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq \f(1,10)×2×1×eq \f(4,5)，解得v＝6eq \r(2).选B.
答案：B
5.(2015·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，sin θ的值为( )
A.eq \f(\r(21),7) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(5\r(7),14)
解析：连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cs 120°＝700，
∴BC＝10eq \r(7)，再由正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AB,sin θ)，
∴sin θ＝eq \f(\r(21),7).
答案：A
6．(2016·潍坊调研)为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
解析：在△BCD中，由正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BDC)＝eq \f(CD,sin∠DBC)，解得BC＝10eq \r(2)米，∴在Rt△ABC中，塔AB的高是10eq \r(6)米．
答案：10eq \r(6)
7．如图，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20eq \r(2)海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cs θ＝eq \f(4,5).已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．
解析：本题考查解三角形知识在实际问题中的应用．利用余弦定理求解．在△ABC中，AB＝20eq \r(2)，AC＝10，∠BAC＝45°－θ，又cs(45°－θ)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(3,5)＝eq \f(7\r(2),10)，由余弦定理可得BC2＝(20eq \r(2))2＋102－2×20eq \r(2)×10×eq \f(7\r(2),10)＝340，所以BC＝2eq \r(85).又行驶时间是eq \f(1,2)小时，所以该货船的速度为eq \f(2\r(85),\f(1,2))＝4eq \r(85)海里/小时．
答案：4eq \r(85)
8．如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A、B；找到一个点D，从点D可以观察到点A、C；找到一个点E，从点E可以观察到点B、C.并测量得到一些数据：CD＝2，CE＝2eq \r(3)，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A、B两点之间的距离为________.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中cs 48.19°取近似值\f(2,3)))
解析：依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝eq \f(CDsin 45°,sin 30°)＝2eq \r(2).在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝eq \f(CEsin 60°,sin 45°)＝3eq \r(2).
在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcs∠ACB＝10，所以AB＝eq \r(10).
答案：eq \r(10)
9.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚eq \f(2,17)秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)
解：由题意，设AC＝x，
则BC＝x－eq \f(2,17)×340＝x－40，
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，
所以CH＝AC·tan∠CAH＝140eq \r(3)(米)．
故该仪器的垂直弹射高度CH为140eq \r(3)米．
10.某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号)
解：在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，
∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80eq \r(2).
在△ABC中，eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 45°)，
∴BC＝eq \f(ABsin 30°,sin 45°)＝eq \f(80×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝40eq \r(2).
在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcs 60°
＝(80eq \r(2))2＋(40eq \r(2))2－2×80eq \r(2)×40eq \r(2)×eq \f(1,2)＝9 600.
∴DC＝40eq \r(6)，航模的速度v＝eq \f(40\r(6),20)＝2eq \r(6)米/秒．
B组 高考题型专练
1.(2015·高考福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq \f(2\r(2),3)，AB＝3eq \r(2)，AD＝3，则BD的长为________．
解析：因为sin∠BAC＝eq \f(2\r(2),3)，且AD⊥AC，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋∠BAD))＝eq \f(2\r(2),3)，
所以cs∠BAD＝eq \f(2\r(2),3)，在△BAD中，由余弦定理得，
BD＝eq \r(AB2＋AD2－2AB·ADcs∠BAD)
＝eq \r(3\r(2)2＋32－2×3\r(2)×3×\f(2\r(2),3))＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
2．(2014·高考重庆卷)在△ABC中，B＝120°，AB＝eq \r(2)，A的角平分线AD＝eq \r(3)，则AC＝________.
解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，得sin∠ADB＝eq \f(ABsin∠B,AD)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2).由题意知0°<∠ADB<60°，所以∠ADB＝45°，则∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝15°，所以∠BAC＝2∠BAD＝30°，所以∠C＝180°－∠BAC－∠B＝30°，所以BC＝AB＝eq \r(2)，于是由余弦定理，得AC＝
eq \r(AB2＋BC2－2AB×BCcs 120°)
＝eq \r(\r(2)2＋\r(2)2－2\r(2)×\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \r(6).
答案：eq \r(6)
3．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________________m.
解析：依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°.在△ABC中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为AB＝600 m．由正弦定理可得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，即BC＝300eq \r(2) m．在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝300eq \r(2) m，所以tan 30°＝eq \f(CD,BC)＝eq \f(CD,300\r(2))，所以CD＝100eq \r(6) m.
答案：100eq \r(6)
4.(2015·高考四川卷)如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．
(1)证明：taneq \f(A,2)＝eq \f(1－cs A,sin A)；
(2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求taneq \f(A,2)＋taneq \f(B,2)＋taneq \f(C,2)＋taneq \f(D,2)的值．
解：(1)证明：taneq \f(A,2)＝eq \f(sin\f(A,2),cs\f(A,2))＝eq \f(2sin2\f(A,2),2sin\f(A,2)cs\f(A,2))＝eq \f(1－cs A,sin A).
(2)由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B.
由(1)，有taneq \f(A,2)＋taneq \f(B,2)＋taneq \f(C,2)＋taneq \f(D,2)
＝eq \f(1－cs A,sin A)＋eq \f(1－cs B,sin B)＋eq \f(1－cs180°－A,sin180°－A)
＋eq \f(1－cs180°－B,sin180°－B)＝eq \f(2,sin A)＋eq \f(2,sin B).
连接BD(图略)．
在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcs A，
在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcs C，
所以AB2＋AD2－2AB·ADcs A＝BC2＋CD2＋2BC·CDcs A.
则cs A＝eq \f(AB2＋AD2－BC2－CD2,2AB·AD＋BC·CD)＝eq \f(62＋52－32－42,26×5＋3×4)＝eq \f(3,7).
于是sin A＝eq \r(1－cs2A)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7)))2)＝eq \f(2\r(10),7).
连接AC.同理可得
cs B＝eq \f(AB2＋BC2－AD2－CD2,2AB·BC＋AD·CD)＝eq \f(62＋32－52－42,26×3＋5×4)＝eq \f(1,19)，
于是sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,19)))2)＝eq \f(6\r(10),19).
所以taneq \f(A,2)＋taneq \f(B,2)＋taneq \f(C,2)＋taneq \f(D,2)
＝eq \f(2,sin A)＋eq \f(2,sin B)＝eq \f(2×7,2\r(10))＋eq \f(2×19,6\r(10))＝eq \f(4\r(10),3).
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．方位角的范围是(0°，360°)
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度
例：
(1)北偏东m°： (2)南偏西n°：
坡角
坡面与水平面的夹角
设坡角为α，坡度为i，则i＝eq \f(h,l)＝tan_α
坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比