高考数学一轮复习总教案：10.6　空间向量及其运算

10.6　空间向量及其运算

典例精析

题型一　共线和共面向量[来源:www.shulihua.net]

【例1】 设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面.

【证明】因为＝，＝，所以＝2，＝2，

又＝(＋)，＝λ＝2λ，＝ω＝2ω，

所以＝(2λ＋2ω)＝λ＋ω，

所以、、共面，即M、N、P、Q四点共面.

【点拨】可以利用共面向量定理或其推论完成证明.用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.[来源:www.shulihua.net]

【变式训练1】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A、B、N、M四点共面.

【证明】设＝a，＝b，＝c，则＝b－a.

因为M是DD1的中点，所以＝c－a.

因为AN∶NC＝2，所以＝＝(b＋c)，所以＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋(c－a)＝＋，

所以A、B、M、N四点共面.

题型二　利用向量计算长度和证明垂直

【例2】已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.

(1)求AC1的长；

(2)求证：AC1⊥平面A1BD.

【解析】(1)设＝a，＝b，＝c，

则a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cos 60°＝，a2＝b2＝c2＝1.而＝a＋b＋c，

所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c

＝1＋1＋1＋2×＋2×＋2×＝6，即||＝.

(2)证明：因为＝a－c，

所以·＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－c2＋a·b－b·c＝1－1＋－＝0.

所以⊥.同理可得⊥.

所以AC1⊥平面A1BD.

【点拨】利用|a|2＝a2是计算长度的有效方法之一；而利用向量数量积为零是证明垂直问题的常用方法之一.

【变式训练2】已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120°.求AC1的长.[来源:www.shulihua.net]

【解析】||2＝2＝(＋＋)2

＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝a2＋a2＋b2＋0＋2abcos 120°＋2abcos 120°

＝2a2＋b2－2ab.[来源:数理化网]

所以|AC1|＝.

题型三　利用坐标求法向量和证明垂直问题

【例3】 正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别是BB1，CD的中点.

(1)求证：D1F⊥平面ADE；

(2)求平面ADE的一个法向量.

【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系D－xyz，则D1(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)， F(0，，0)，E(1,1， ).

所以＝(0，，－1)， ＝(－1,0,0)，＝(0,1，)，

因为·＝0，所以⊥，

又·＝0，所以⊥，

所以D1F⊥平面ADE.

(2)由(1)知D1F⊥平面ADE，故平面ADE的一个法向量为＝(0，，－1).

【点拨】空间向量坐标化，大大降低了立体几何试题的难度，同学们需要善于利用.

【变式训练3】 已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，

－3,6)，则下列各点中，在平面α内的是(　　)

A.A(2,3,3)       B.B(－2,0,1)

C.C(－4,4,0)       D.D(3，－3,4)

【解析】由于n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以它应该和平面α内任意一个向量垂直，只有在选项A中，＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，·n＝0.故选A.

题型四　利用坐标法求解线面及面面位置关系

【例4】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.

(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；

(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.

【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0，0,2).

设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则

所以2x1＝0,2x1＋2y1＋z1＝0. 令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).

同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1).

因为n1·n2＝0，所以平面AED⊥平面A1FD1.

(2)由于点M在直线AE上，所以可设＝λ＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M(2,2λ，λ)，于是＝(0,2λ，λ－2).A1M⊥平面DAE，则A1M⊥AE，所以·＝(0, 2λ，λ－[来源:www.shulihua.net]

2) (0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝.故当AM＝AE时，A1M⊥平面DAE.

【变式训练4】 已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，求平面ABC的单位法向量.

【解析】设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，且n·＝0，

即2x＋2y＋z＝0且4x＋5y＋3z＝0，解得

所以n＝z(，－1,1)，单位法向量n0＝＝±(，－，).

总结提高

1.利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题.

2.利用共面向量定理，可解决立体几何中直线在平面内，直线与平面平行以及四点共面等问题.

3.同时要重视空间向量基本定理的运用，要注意空间向量基底的选取，用基向量表示出已知条件和所需解决问题的所有向量，将几何问题转化为向量问题.

4.用空间向量处理某些立体几何问题时，除要有应用空间向量的意识外，关键是根据空间图形的特点建立恰当的空间直角坐标系.若坐标系选取不当，计算量就会增大.总之树立用数解形的观念，即用数形结合的思想解决问题.

5.用向量法解决空间问题，优先考虑建立坐标系(尤其当直角条件较充足时)，因为单位正交基底运用起来最方便.

6.建系用坐标法解决空间问题时，写出各点坐标要万分谨慎.