专题2 平面向量与复数-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

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1．若复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.
【详解】
，所以，
故选：B
2．已知复数 （其中是虚数单位），则在复平面内对应点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】
先由复数的运算化简复数z，再运用复数的几何表示可得选项.
【详解】
由已知得，
所以复数z在复平面上所对应的点为，在第四象限，
故选：D.
3．若复数，则复数的虚部为（ ）
A．－1B．1C．－iD．i
【答案】B
【分析】
，然后算出即可.
【详解】
由题意，则复数的虚部为1
故选：B
4．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.
【详解】
，.
故选：.
5．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.
【详解】
由题，得，所以.
故选：B.
6．复数的共轭复数记为，则下列运算：①；②；③④，其结果一定是实数的是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．①③
【答案】D
【分析】
设，则，利用复数的运算判断.
【详解】
设，则，
故，，
，.
故选：D.
7．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
【点睛】
平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
8．若点，点在轴上.且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设出D点坐标，求得的坐标，根据，可求得m值，代入求模公式，即可得答案.
【详解】
因为点在轴上，所以设，
则，
因为，所以，解得，
所以，
所以，
故选：C
9．在中，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据，，求得，，，再利用 ，求得，，代入三角形面积公式求解.
【详解】
因为，，
所以，，，.
所以，
所以，.
所以的面积为.
故选：C
10．已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先利用平面向量数量积公式求出，再分别求出， ， ， 的值，进而可得答案.
【详解】
由已知可得：.
A：因为，与不垂直；
B：因为，与不垂直；
C：因为，与不垂直；
D：因为，与垂直.
故选：D.
【点睛】
向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
11．已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用向量投影的定义直接求解即可
【详解】
解：向量在向量方向上的投影为.
故选：C.
12．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解.
【详解】
.
故选：A
13．设是两个平面向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义及向量的概念判断即可.
【详解】
因为，则一定有，
而推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
二、填空题
14．设复数满足，在复平面内对应的点为则，满足的关系式为______.
【答案】
【分析】
设复数，根据，结合复数模的运算公式，即可求解.
【详解】
由题意，设复数，
因为，可得，整理得，
即复数在复平面内对应的点为则满足的关系式为.
故答案为：.
15．设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_________．
【答案】
【分析】
根据复数的分类，列出方程组，即可求解.
【详解】
由题意，复数是纯虚数，
则满足，解得.
故答案为：.
16．设向量满足，，若，，则的最小值为_______ .
【答案】
【分析】
先由向量的数量积判断出为等边三角形，再计算出的表达式，由，得出，进行代换，最后转化为点与点之间的距离，即可求得.
【详解】
解：，
，
解得：，
即，
为等边三角形，
，
又，即，
，
即，

，
上式可转化为求点与点之间的距离，
令，，，
即，
又的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是将转化为求点与点之间的距离，再根据距离公式进行求解.
17．已知平面向量，，则与的夹角为______.
【答案】
【分析】
由，的坐标形式，得到，，利用向量的数量积公式得到，再根据向量的夹角公式计算可得.
【详解】
，，，
设与的夹角为，则，
又，所以，则与的夹角为.
故答案为：
18．已知的重心为，，，其中，，且，，共线， 则______．
【答案】3
【分析】
由题可得，存在实数，使得，由此可得，消去即可求出.
【详解】
的重心为，，
，，共线，则存在实数，使得,
，
，解得，
.
故答案为：3.
【点睛】
关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是根据为中心和，，共线，得出，进而求解.
三、解答题
19．在中，角的对边分别是，且向量和向量互相垂直.
（1）求角的大小；
（2）若外接圆的半径是1，面积是，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由向量垂直的坐标表示知，结合余弦定理即可求角；
（2）由三角形面积公式知，结合求，进而可得的周长.
【详解】
（1）因为互相垂直，所以，
即，
由余弦定理得，，
因为，所以；
（2）因为，所以.
，就是，即，
因此，，
故的周长是.
【点睛】
关键点点睛：由已知向量垂直，利用坐标表示整理得到关于三角形三边的关系式，再结合余弦定理求角；应用三角形面积公式、正弦定理以及完全平方公式等求三角形周长.
20．如图，方程为的抛物线，其上一点到焦点的距离为，直线与交于、两点（点在轴左侧，点在轴右侧），与轴交于点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求证直线过定点，并求出定点坐标；
（3）若，，求直线的斜率的值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，定点为；（3）.
【分析】
（1）本题首先可根据抛物线方程得出准线方程为，然后根据抛物线定义得出，解得的值，即可得出结果；
（2）本题首先可设直线的方程为，然后联立直线方程与抛物线方程，得出、，从而得出，最后根据即可求出的值以及直线经过的定点坐标；
（3）本题首先可以设直线的方程为，与抛物线方程联立得出，然后得出直线方程，与抛物线方程联立得出，最后根据即可求出斜率的值.
【详解】
（1）因为抛物线的方程为，
所以抛物线的准线方程为，
因为抛物线上一点到焦点的距离为，
所以结合抛物线定义易知，，解得，
故抛物线的方程为，.
（2）由题意易知直线的斜率定存在，
设直线的方程为，
联立，整理得，
设，，则，，
故，
因为，
所以，即，解得，
故直线的方程为，过定点.
（3）设直线的方程为，
联立，整理得，解得或，，
则，直线方程为，
联立，整理得，
解得或，，
则，，
因为，所以，解得，
结合图像易知，，即直线的斜率的值为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线相交的相关问题的求解，抛物线的定义为到定点和定直线的距离相等的点的轨迹，考查韦达定理的应用，考查向量数量积的坐标表示以及利用向量垂直求参数，考查计算能力，考查函数方程思想，是难题.
21．向量，，函数．
（1）求函数的最小值，并求出取最小值时x的值；
（2）先将函数的图像向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数 的图像，求的单减区间．
【答案】（1），此时，；（2），.
【分析】
（1）利用向量数量积公式，再利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再求函数的最小值及其的值；（2）利用图象变换规律，求函数的解析式，再求函数的单减区间.
【详解】
（1）

，
函数的最小值是-2，当，解得：，；
（2）函数向左平移个单位后得到，再将横坐标缩短为原来的后得到函数，
令，解得：，，
所以函数的单调递减区间是，.
【点睛】
方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.
22．已知，
（1）当为何值时，与共线；
（2）若，且、、三点共线，求的值
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；
（2）由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．
【详解】
解：（1），，
，，
又与共线，
，即；
（2），，
、、三点共线，
，即．