初中第一章 三角形的证明1 等腰三角形评优课课件ppt

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等边三角形的判定 含30°角的直角三角形的性质.（重点、难点）
等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别 为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度 相等．
知识点1 等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
定理　三个角都相等的三角形是等边三角形.定理　有一个角等于60°的等腰三角形是等 边三角形.
1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．2．应用注意事项：判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法．
如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形．
从题中条件看，利用三角形的外角性质易求∠OEF＝∠OFE＝60°，从而证明△OEF是等边三角形．
∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.∴∠OEF＝∠OFE＝60°.∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.∴△OEF是等边三角形．
等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)A．有一个内角是60° B．有一个外角是120°C．有两个角相等 D．腰与底边相等
2.如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
做一做用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
定理　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半.
已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°求证： BC＝　 AB.
如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.∴AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ).∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）.∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）∴ BC＝ BD＝ AB.
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半．要点精析：(1)适用条件——含30°角的直角三角形，(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系．
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求证：CD＝　 AB
在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15° ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝ 90°.∴CD＝ AC(在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).∴CD = AB.
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长．
(1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长.
因为CD是△ABC的高，所以∠BDC＝90°.又因为∠B＝60°，所以∠BCD＝30°. 所以BC＝2BD＝2.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°. 所以AB＝2BC＝4.所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.
等边三角形的判定方法：定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．(2) 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
1.如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2. 若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)A．1个 　B．2个 C．3个 D．3个以上
2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(　　)A．BD＝CD B．BD＝2CDC．BD＝3CD D．BD＝4CD
已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是(　　)A．直角三角形　 B．钝角三角形C．等腰直角三角形　　 D．等边三角形