2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第七章 平面解析几何 48 word版含答案

考点测试48　椭圆

一、基础小题

1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　A

解析　依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.

2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　2x2＋3y2＝m(m>0)⇒＋＝1，

∴c2＝－＝.

∴e2＝，∴e＝.故选B.

3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于(　　)

A.   B．2 

C．4   D.

答案　D

解析　由x2＋＝1及题意知，2＝2×2×1，m＝，故选D.

4．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　设M(x，y)，由·＝0，得x2＋y2＝c2＝3，

又＋y2＝1，解得x＝±.

5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)

A．圆   B．椭圆 

C．双曲线   D．抛物线

答案　B

解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，

∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．

6．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　令c＝.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，

∴∠PF2x＝60°，

∴|F2P|＝2＝3a－2c.

∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，

∴3a＝4c，∴＝，即椭圆的离心率为.故选C.

7．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．2

答案　C

解析　设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，

＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，

∴|＋|＝ ＝2＝2.

∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，

∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.

8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．

答案　

解析　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝4.

又r＋r－2r1r2cos60°＝|F1F2|2，(r1＋r2)2－3r1r2＝12，∴r1r2＝，S＝r1r2sin60°＝.

二、高考小题

9．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)

A．2   B．3 

C．4   D．9

答案　B

解析　依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.

10．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.故选B.

11．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)

A．3   B．6 

C．9   D．12

答案　B

解析　抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.故选B.

12．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　直线l：3x－4y＝0过原点，从而A，B两点关于原点对称，于是|AF|＋|BF|＝2a＝4，所以a＝2.不妨令M(0，b)，则由点M(0，b)到直线l的距离不小于，得≥，即b≥1.所以e2＝＝＝≤，又0<e<1，所以e∈，故选A.

13．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点. P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　解法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝，从而直线AM的方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝.

同理，OE的中点N的纵坐标yN＝.

因为2yN＝yE，所以＝，即2a－2c＝a＋c，所以e＝＝.故选A.

解法二：如图，设OE的中点为N，由题意知|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a，∵PF∥y轴，

∴＝＝，＝＝，

又∵＝，即＝，

∴a＝3c，故e＝＝.

三、模拟小题

14．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　)

A．(±，0)   B．(0，±)

C．(±，0)或(±，0)   D．(0，±)或(±，0)

答案　B

解析　因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B.

15．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴＝×＝，故选B.

16．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)

A．3   B．2 

C．2   D.

答案　C

解析　根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8·b2y－b4＋12b2＝0.

∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2.

17．已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,2)，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝，c＝＝2，在Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2，则|AF|＝4.设椭圆的左焦点为F1，则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当A，P，F1三点共线，P在线段AF1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF1的方程为＋＝1，与椭圆的方程5x2＋9y2－45＝0联立并整理得32y2－20y－75＝0，解得yP＝－(正值舍去)，则△APF的周长最大时，S△APF＝|F1F|·|yA－yP|＝×4×＝.故选B.

18．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．

答案　

解析　由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，所以底角小于等于30°，则≥，即e≥，又e<1，所以椭圆的离心率的取值范围是.

一、高考大题

1．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为( a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.

(1)求E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明MN⊥AB.

解　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.

进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.

又＝(－a，b)，从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．

由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以·＝0，故MN⊥AB.

2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.

解　(1)由已知，a＝2b.

又椭圆＋＝1(a>b>0)过点P，

故＋＝1，解得b2＝1.

所以椭圆E的方程是＋y2＝1.

(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①

方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，

由Δ>0，即2－m2>0，解得－<m<.

由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.

所以M点坐标为，

直线OM的方程为y＝－x，

由方程组得C，D.

所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)

＝(2－m2)．

又|MA|·|MB|＝|AB|2

＝＝

＝＝(2－m2)，

所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.

二、模拟大题

3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且离心率e＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G，求k的取值范围．

解　(1)由题意知，椭圆的离心率e＝，所以＝，

所以a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，

所以椭圆的方程为＋＝1.

又点在椭圆上，所以＋＝1，得c2＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由消去y，并整理得

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

因为直线y＝kx＋m与椭圆有两个不同的交点，

所以Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，

即m2<4k2＋3，①

又x1＋x2＝－，

则y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m＝k(x1＋x2)＋2m＝，

所以线段MN的中点P的坐标为，

设MN的垂直平分线l′的方程为y＝－，

因为P在l′上，所以＝－，

即4k2＋8km＋3＝0，所以m＝－，

将上式代入①，得<4k2＋3，

所以k2>，即k>或k<－，

所以k的取值范围为∪.

4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，并且经过定点P.

(1)求椭圆E的方程；

(2)问是否存在直线y＝－x＋m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足·＝.若存在，求m值；若不存在，说明理由．

解　(1)由题意：e＝＝且＋＝1，

又c2＝a2－b2，解得a2＝4，b2＝1，

即椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

⇒x2＋4(m－x)2－4＝0

⇒5x2－8mx＋4m2－4＝0，(*)

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2

＝m2－m2＋＝.

由·＝，x1x2＋y1y2＝，＋＝，m＝±2.

又方程(*)要有两个不等实根，

Δ＝(－8m)2－4×5(4m2－4)>0，－<m<，

所以m＝±2.

5．已知圆E：(x＋1)2＋y2＝16，点F(1,0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.

(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；

(2)若直线y＝k(x－1)与(1)中轨迹Γ交于R，S两点，在x轴上是否存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS＝∠OTR？说明理由．

解　(1)连接QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4>|EF|＝2，

故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．

设其方程为＋＝1(a>b>0)，可知a＝2，c＝1，

所以b＝＝，

所以点Q的轨迹Γ的方程是＋＝1.

(2)假设存在T(t,0)满足∠OTS＝∠OTR.

设R(x1，y1)，S(x2，y2)，

联立得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

由根与系数的关系得①

其中Δ>0恒成立．

由∠OTS＝∠OTR(显然TS，TR的斜率存在)，得kTS＋kTR＝0，即＋＝0，②

由R、S两点在直线y＝k(x－1)上，故

y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②，得

＝＝0，即

2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0.③

将①代入③，得＝＝0.④

要使得④与k的取值无关，当且仅当“t＝4”时成立．

综上所述，存在T(4,0)，使得当k变化时，总有∠OTS＝∠OTR.

6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l经过点P(1,0)，且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线l0：x＝x0(其中x0>2)，使得A，B到l0的距离dA，dB满足：＝恒成立？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．

解　(1)由题意得解得所以C的方程为＋y2＝1.

(2)存在x0＝4符合题意．理由如下：

当直线l斜率不存在时，x0(x0>2)可以为任意值．

当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，点A，B满足

所以xA，xB满足x2＋4k2(x－1)2＝4，即(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.

所以

不妨设xA>1>xB.因为dA|PB|－dB|PA|＝·(|x0－xA|·|xB－1|－|x0－xB|·|xA－1|)＝·＝0，

所以2x0－＋＝0.整理得2x0－8＝0，

即x0＝4.

综上，x0＝4时符合题意．