2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第七章 平面解析几何 50 word版含答案

考点测试50　抛物线

一、基础小题

1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)

A.   B．4 

C.   D．5

答案　D

解析　由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.

2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)

A．18   B．24 

C．36   D．48

答案　C

解析　如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．

∵当x＝时，|y|＝p，

∴p＝＝＝6.

又P到AB的距离始终为p，

∴S△ABP＝×12×6＝36.

3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是(　　)

A.或   B.或 

C.或   D.

答案　B

解析　焦点坐标为，当斜率不存在时，弦长为2p＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k，所以方程为y＝k，代入y2＝6x得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0，设弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＋p＝12，即＋3＝12，k2＝1.∴k＝tanα＝±1，结合α∈抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)

A．(0,2)   B．(0,1) 

C．(2,0)   D．(1,0)

答案　D

解析　∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故选D.

10．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)

A.   B．1 

C.   D．2

答案　D

解析　由题意得点P的坐标为(1,2)．把点P的坐标代入y＝(k>0)，得k＝1×2＝2，故选D.

11．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)

A．－   B．－1 

C．－   D．－

答案　C

解析　由点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2,0)，∴kAF＝＝－，故选C.

12．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

A．2   B．3 

C.   D.

答案　B

解析　如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m>0，n<0，则＝(m2，m)，＝(n2，n)，·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∵lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，

∴C(2,0)．

S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2 ＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.

13．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．

答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析　设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.

过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．

由得ky2－4y＋4k＝0.

当k＝0时，显然不符合题意；

当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

三、模拟小题

14．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)

A．(0，a)   B．(a,0) 

C.   D.

答案　C

解析　将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝y(a≠0)，所以焦点坐标为，所以选C.

15．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　　)

A．7   B．8 

C．9   D．10

答案　C

解析　抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.

∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.

当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.

16．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(　　)

A．n＋10   B．n＋20 

C．2n＋10   D．2n＋20

答案　A

解析　由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.

17．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝(　　)

A.   B. 

C．3   D．2

答案　A

解析　设l与x轴的交点为M，如图所示，过Q作QN⊥l，垂足为N，则△PQN∽△PFM，所以＝＝，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝，故|QF|＝|QN|＝，故选A.

18．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y、圆x2＋(y－1)2＝1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为________．

答案　16

解析　如图所示，抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，直线3x－4y＋4＝0过点(0,1)，由得4y2－17y＋4＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝1，解得y1＝，y2＝4，则＝＝＝16.

一、高考大题

1．在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.

(1)求；

(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．

解　(1)由已知得M(0，t)，P.

又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.因此H.

所以N为OH的中点，即＝2.

(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．

理由如下：直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．

代入y2＝2px，得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．

2. 如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.

(1)求p的值；

(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．

解　(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义，得＝1，即p＝2.

(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，

可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.

因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由消去x，得y2－4sy－4＝0，

故y1y2＝－4，所以B.

又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－.

从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，

所以N.

设M(m,0)，由A，M，N三点共线，得＝，

于是m＝.

所以m<0或m>2.

经检验，m<0或m>2满足题意．

综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．

二、模拟大题

3．已知点F及直线l：x＝－.P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)设圆M过点A(1,0)且圆心M在P的轨迹C上，E1E2是圆M在y轴上截得的弦，证明弦长|E1E2|是一个常数．

解　(1)设点P的坐标为(x，y)，

则点Q的坐标为，

∴＝，＝(1，－y)，＝，

＝(－1，y)．

由·＝·，

得·(1，－y)＝·(－1，y)，

即x＋＝－x＋y2，得y2＝2x.

经检验，曲线y2＝2x上的点均满足·＝·.

∴动点P的轨迹C的方程为y2＝2x.

(2)证明：设M(a，b)为圆M的圆心，则b2＝2a.

∵圆M过点A(1,0)，

∴圆M上的点(x，y)满足(x－a)2＋(y－b)2＝(a－1)2＋b2.

令x＝0，得y2－2by＋2a－1＝0.

设圆M与y轴的交点为E1(0，y1)和E2(0，y2)，

则Δ＝(－2b)2－4×(2a－1)＝4>0，y1＋y2＝2b，y1y2＝2a－1.

故|E1E2|＝|y1－y2|＝＝2是一个常数．

4．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点，且以AB为直径的圆M与直线y＝－1相切于点N.

(1)求C的方程；

(2)若圆M与直线x＝－相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．

解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p.

又∵以AB为直径的圆M与直线y＝－1相切，

∴|AB|＝y1＋y2＋2，故p＝2，

∴抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y中并整理，得x2－4kx－4＝0.

∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，

∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，

∴圆心M的坐标为M(2k,2k2＋1)．

∵圆M与直线x＝－相切于点Q，∴|MQ|＝|MN|，

∴＝|2k2＋2|，解得k＝.

此时直线l的方程为y＝x＋1，即x－2y＋2＝0，

圆心M，半径r＝，

即圆M的方程为(x－1)2＋2＝.

5．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，倾斜角为且过点M(0,1)的直线l与C相交于A，B两点，且＝2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)抛物线C上一动点N，记以MN为直径的圆的面积为S，求S的最小值．

解　(1)解法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则(*)

∵＝2，＝(－x1,1－y1)，＝(x2，y2－1)，

∴即

将上式代入(*)，得

∴或

∵直线l的倾斜角为，即kAB＝＝＝＝1，

∴＝1(舍去)或＝1，解得p＝，

∴抛物线C：x2＝y.

解法二：由题意，得直线l的方程为y＝x＋1.

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得x2－2px－2p＝0，∴

又∵＝2，＝(－x1,1－y1)，＝(x2，y2－1)，

∴－x1＝2x2，即解得

∴抛物线C：x2＝y.

(2)设抛物线C上任意一点N(x0，y0)，且x＝y0，

∴|MN|＝＝

＝ ＝ (y0≥0)，

∴当y0＝时，|MN|min＝，

∴以MN为直径的圆的面积S＝π·2≥π，即Smin＝π.

6．已知点F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点P(3，y0)(y0>1)是抛物线C上一点，且|PF|＝，⊙Q的方程为x2＋(y－3)2＝6，过点F作直线l，与抛物线C和⊙Q依次交于点M，A，B，N(如图所示)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)求(|MB|＋|NA|)·|AB|的最小值．

解　(1)由P(3，y0)在抛物线C上，得2py0＝9.

又|PF|＝，得y0＋＝.

上述两个等式联立，解得或

又y0>1，∴

所以抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)由题意，知直线l的斜率一定存在．

设直线l的方程为y＝kx＋1，

则圆心Q(0,3)到直线l的距离为d＝，

∴|AB|＝2＝2 .

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由

得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，则y1＋y2＝4k2＋2.

由抛物线定义知，|MN|＝y1＋y2＋2＝4(1＋k2)，

∴(|MB|＋|NA|)·|AB|＝(|MN|＋|AB|)·|AB|

＝|MN|·|AB|＋|AB|2

＝8(k2＋1) ＋4·

＝8－＋24.

设t＝k2＋1(t≥1)，

则(|MB|＋|NA|)·|AB|＝8－＋24

＝8 －＋24(t≥1)．

∵函数y＝ 和y＝－在[1，＋∞)上都是单调递增函数，

∴当t＝1，即k＝0时，(|MB|＋|NA|)·|AB|有最小值8＋8.