2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第七章 平面解析几何 47 word版含答案

考点测试47　圆与方程

一、基础小题

1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)

A．x2＋(y－2)2＝1   B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1   D．x2＋(y－3)2＝1

答案　A

解析　设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－2)   B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)   D．(2，＋∞)

答案　D

解析　曲线C的方程可以化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a>2.

3．已知直线l：y＝x与圆C：(x－a)2＋y2＝1，则“a＝－”是“直线l与圆C相切”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　直线l：y＝x与圆C：(x－a)2＋y2＝1相切的充要条件是圆心C到直线l的距离等于半径，即＝1，解得a＝±.故由a＝－可推得直线l与圆C相切；反之，若直线l与圆C相切，不能推得a＝－，即“a＝－”是“直线l与圆C相切”的充分而不必要条件．

4．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是(　　)

A．相离   B．相切

C．相交   D．以上三个选项均有可能

答案　C

解析　直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，02＋(－1)2－2×0－2＝－1<0，∴点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交，故选C.

5．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与该圆的位置关系是(　　)

A．原点在圆上   B．原点在圆外

C．原点在圆内   D．不确定

答案　B

解析　将圆的方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即>，所以原点在圆外．

6．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2，则a的值为(　　)

A．2   B．±2 

C．1   D．±1

答案　B

解析　设圆x2＋y2＝a2的圆心为O，半径r＝|a|，将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0联立，可得a2＋ay－6＝0，即公共弦所在的直线方程为a2＋ay－6＝0，原点O到直线a2＋ay－6＝0的距离为，根据勾股定理可得a2＝3＋2，解得a＝±2.

7．一束光线从圆C的圆心C(－1,1)出发，经x轴反射到圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程刚好是圆C的直径，则圆C的方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4   B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5

C．(x＋1)2＋(y－1)2＝16   D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25

答案　A

解析　圆C1的圆心C1的坐标为(2,3)，半径为r1＝1.点C(－1,1)关于x轴的对称点C′的坐标为(－1，－1)．因为C′在反射线上，所以最短路程为|C′C1|－r1，即－1＝4.故圆C的半径为r＝×4＝2，所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，故选A.

8．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________．

答案　相交

解析　由已知得O1(1,0)，r1＝1，O2(0,2)，r2＝2，

∴|O1O2|＝<r1＋r2＝3，

且|O1O2|＝>r2－r1＝1，故两圆相交．

二、高考小题

9．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

答案　(－2，－4)　5

解析　方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即2＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.

10. 如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.

(1)圆C的标准方程为________；

(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．

答案　(1)(x－1)2＋(y－)2＝2

(2)－－1

解析　(1)过点C作CM⊥AB于M，连接AC，则|CM|＝|OT|＝1，|AM|＝|AB|＝1，所以圆的半径r＝|AC|＝＝，从而圆心C(1，)，即圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.

(2)令x＝0，得y＝±1，则B(0，＋1)，

所以直线BC的斜率为k＝＝－1，

由直线与圆相切的性质知，圆C在点B处的切线的斜率为1，

则圆C在点B处的切线方程为y－(＋1)＝1×(x－0)，即y＝x＋＋1，令y＝0，得x＝－－1，故所求切线在x轴上的截距为－－1.

11．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．

答案　4π

解析　把圆C的方程化为x2＋(y－a)2＝2＋a2，则圆心为(0，a)，半径r＝.圆心到直线x－y＋2a＝0的距离d＝.由r2＝d2＋2，得a2＋2＝＋3，解得a2＝2，则r2＝4，所以圆的面积S＝πr2＝4π.

12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．

答案　(x－2)2＋y2＝9

解析　设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，

由题意可得 解得

所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

13．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.

答案　4

解析　由题意可知直线l过定点(－3，)，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，)，由于|AB|＝2，r＝2，所以圆心到直线AB的距离为d＝＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝＝3，解得m＝－，

所以直线l的斜率k＝－m＝，即直线l的倾斜角为30°.如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝2，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝4.

三、模拟小题

14．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P、Q关于直线l对称，则m的值为(　　)

A．2   B．－2 

C．1   D．－1

答案　D

解析　因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P、Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1，故选D.

15．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是(　　)

A．2   B．3 

C．4   D．6

答案　C

解析　圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为.因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离d＝＝＝＝.所以当a＝2时，d取最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4，所以选C.

16．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　　)

A．(－3，3)

B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

C．(－2，2)

D．

答案　A

解析　由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，即d＝＝<3，解得a∈(－3，3)，故选A.

17．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R 且ab≠0，则＋的最小值为(　　)

A．1   B．3 

C.   D.

答案　A

解析　由题意知两圆的标准方程为(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，圆心分别为(－a,0)和(0,2b)，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥×(1＋4＋4)＝1.当且仅当＝，即|a|＝|b|时取等号，故选A.

一、高考大题

1．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

解　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.

因为直线l与圆C交于两点，所以<1.

解得<k<.

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

将y＝kx＋1代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

·＝x1x2＋y1y2

＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝＋8.

由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.

故圆C的圆心(2,3)在l上，所以|MN|＝2.

2．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

解　(1)圆C1的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，M(x0，y0)，则x0＝，y0＝.

由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝tx.

将上述方程代入圆C1的方程，化简得(1＋t2)x2－6x＋5＝0.

由题意，可得Δ＝36－20(1＋t2)>0(*)，x1＋x2＝，所以x0＝，代入直线l的方程，得y0＝.

因为x＋y＝＋＝＝＝3x0，所以2＋y＝.

由(*)解得t2<，又t2≥0，所以<x0≤3.

所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为2＋y2＝.

(3)由(2)知，曲线C是在区间上的一段圆弧．

如图，D，E，F(3，0)，直线L过定点G(4,0)．

联立直线L的方程与曲线C的方程，消去y整理得(1＋k2)x2－(3＋8k2)x＋16k2＝0.

令判别式Δ＝0，解得k＝±，由求根公式解得交点的横坐标为xH，I＝∈，由图可知：要使直线L与曲线C只有一个交点，则k∈∪{kGH，kGI}，kDG＝＝－，kEG＝＝，即k∈∪.

二、模拟大题

3．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－y＋－2＝0相切．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．

解　(1)将圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m，

∵圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－y＋－2＝0相切，

∴圆心(－2,1)到直线x－y＋－2＝0的距离d＝＝2＝r，

∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.

(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，则可设直线MN的方程为2x－y＋c＝0，

∵|MN|＝2，半径r＝2，

∴圆心(－2,1)到直线MN的距离为＝1，即＝1，

∴c＝5±，

∴直线MN的方程为2x－y＋5±＝0.

4．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.

(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；

(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

解　(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，PC＝2，设P(a,2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2,4)或.

(2)证明：设P(a,2a)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－a)＋(y－4)(y－2a)＝0，整理得x2＋y2－ax－4y－2ay＋8a＝0，即(x2＋y2－4y)－a(x＋2y－8)＝0.

由得或

∴该圆必经过定点(0,4)和.

5．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标．

解　(1)将圆C配方，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.

①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，由＝，得k＝2±，∴切线方程为y＝(2±)x.

②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0(a≠0)，由＝，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3.

∴切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

综上，圆的切线方程为y＝(2＋)x或y＝(2－)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

(2)由|PO|＝|PM|，得x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．

当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，此时直线PO⊥l，

∴直线PO的方程为2x＋y＝0.

解方程组得点P的坐标为.

6．如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M相切，且与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为C，D.

(1)求圆M与圆N的方程；

(2)过点B作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦长．

解　(1)由于圆M与∠BOA的两边相切，故M到OA，OB的距离相等，则点M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且直线ON为∠BOA的平分线，因为M(，1)，所以M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1.

设圆N的半径为r，连接AM，CN，则Rt△OAM∽Rt△OCN，得＝，即＝，解得r＝3，OC＝3，所以圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.

(2)由对称性可知，所求弦长为过点A的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线的方程为y＝(x－)，即x－y－＝0，圆心N到该直线的距离d＝

＝，故弦长为2＝.