2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第七章 平面解析几何 49 word版含答案

考点测试49　双曲线

一、基础小题

1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)

A.－＝1   B.－＝1(x≥4)

C.－＝1   D.－＝1(x≥3)

答案　D

解析　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A、C；又c＝5，a＝3，∴b＝＝4.

∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D.

2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)

A.   B．5 

C.   D．2

答案　A

解析　焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝2a，解得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.

3．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

答案　A

解析　根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．

∵－＝1的焦距为10，

∴c＝5＝.①

又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，

∴＝1，即a＝2b.②

由①②解得a＝2，b＝，

则C的方程为－＝1，故应选A.

4．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝(　　)

A．2   B．3 

C．4   D．2＋1

答案　C

解析　设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4，选C.

5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设＋＝m，＋＝n，则下列各式成立的是(　　)

A．|m|>|n|   B．|m|<|n|

C．|m－n|＝0   D．|m－n|>0

答案　C

解析　取过点F2且垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则＋＝m＝2，＋＝n＝2，故|m－n|＝0，选C.

6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

答案　D

解析　依题意得a2＋b2＝c2＝7，

由此设双曲线方程为－＝1，

另设直线与双曲线的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x，y)．

则－＝1，①

－＝1，②

①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，

又由x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，x＝－，y＝x－1，k＝＝1，得a2＝2.

∴双曲线方程为－＝1，故选D.

7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．

答案　x2－＝1

解析　由题意得解得则b＝，故所求方程为x2－＝1.

8．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．

答案　17

解析　解法一：∵实轴长2a＝8，半焦距c＝6，

∴||PF1|－|PF2||＝8.

∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.

又∵|PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，

∴|PF2|＝17.

解法二：由题知，若P在右支上，

则|PF1|≥2＋8＝10>9，∴P在左支上．

∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17.

二、高考小题

9．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则(　　)

A．对任意的a，b，e1<e2

B．当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2

C．对任意的a，b，e1>e2

D．当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2

答案　B

解析　因为e＝，所以越大，e就越大，令λ＝＝.当a>b时，λ>1，e2>e1；当a<b时，λ<1，e2<e1.故选B.

10．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)

A．±   B．± 

C．±1   D．±

答案　C

解析　不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c,0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，，又A1，A2的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，所以＝，＝，因为A1B⊥A2C，所以·＝0，即(c＋a)(c－a)－·＝0，即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，故＝1，即＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.

11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝______；b＝________.

答案　1　2

解析　由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±x，又一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，

∴＝2，即b＝2a.

又∵该双曲线的一个焦点为(，0)，∴c＝.

由a2＋b2＝c2，可得a2＋(2a)2＝5，解得a＝1，b＝2.

12．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

答案　(2，8)

解析　△PF1F2为锐角三角形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动(如图)．

当P在P1点处时，∠F1P1F2＝90°，

S△P1F1F2＝|F1F2|·|yP1|＝|P1F1|·|P1F2|.

由|P1F1|2＋|P1F2|2＝|F1F2|2，|P1F1|－|P1F2|＝2，

得|P1F1|·|P1F2|＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝2.

当P在P2点处时，∠P2F2F1＝90°，

∴xP2＝2，易知yP2＝3，

此时|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋2＝8，

∴当△PF1F2为锐角三角形时，|PF1|＋|PF2|∈(2，8)．

13．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．

答案　12

解析　由已知得双曲线的右焦点F(3,0)．设双曲线的左焦点为F′，则F′(－3,0)．由双曲线的定义及已知，得|PF|＝2a＋|PF′|＝2＋|PF′|.△APF的周长最小，即|PA|＋|PF|最小．|PA|＋|PF|＝|PA|＋2＋|PF′|≥|AF′|＋2＝17，即当A、P、F′三点共线时，△APF的周长最小．设P点坐标为(x0，y0)，y0>0，由得y＋6y0－96＝0，所以y0＝2或y0＝－8(舍去)．所以当△APF的周长最小时，该三角形的面积S＝×6×6－×6×2＝12.

三、模拟小题

14．设P为双曲线C：x2－y2＝1上一点，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，若cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的外接圆半径为(　　)

A.   B．9 

C.   D．3

答案　C

解析　由题意知双曲线中a＝1，b＝1，c＝，所以|F1F2|＝2.因为cos∠F1PF2＝，所以sin∠F1PF2＝.在△PF1F2中，＝2R(R为△PF1F2的外接圆半径)，即＝2R，解得R＝，即△PF1F2的外接圆半径为，故选C.

15．已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(　　)

A.－x2＝1   B.－y2＝1

C.－＝1   D.－＝1

答案　D

解析　设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，而抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)，∴4＝a2＋b2.又圆F：(x－2)2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为＝，∴a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为－＝1.

16．若双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝(　　)

A．m2－a2   B.－

C.(m－a)   D．m－a

答案　D

解析　不妨设点P是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线的定义可令|PF1|－|PF2|＝2，两式联立得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，所以|PF1|·|PF2|＝m－a.

17．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)

A.   B．1 

C．2   D．4

答案　C

解析　由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，则OA⊥OB，AB的中点为，又因为AB的中点在双曲线上，所以2－2＝2，化简得x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝2，故选C.

18．已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B. 

C．2   D.＋1

答案　D

解析　∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.∴|MF1|＝|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|·sin60°＝c，由双曲线的定义有：|MF2|－|MF1|＝c－c＝2a，∴离心率e＝＝＝＋1，故选D.

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，求顶点C的轨迹方程．

解　如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.

|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝(|CE|＋|AE|)－(|CF|＋|BF|)＝|AE|－|BF|＝8－2＝6.

根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．

2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1,0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

解　(1)依题意有＝，c－＝，

∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，

∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，

∴双曲线C的方程为x2－＝1.

(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，

由得2x2－2mx－m2－3＝0，

∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，

又∵·＝1，

即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，

∴m＝0(舍)或m＝2，

∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，

∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)

＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，

∴AD⊥AB，

∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，

∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，∵|MA|＝|BD|，

∴过A、B、D三点的圆与x轴相切．

3．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．

解　(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.

由题意有·＝，

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.

(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则①

设＝(x3，y3)，＝λ＋，即

又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有

(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.

化简得

λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，

所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，

②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.

4．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

解　(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，

故

解得k的取值范围是－2<k<－.

(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，

则由①式得②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．

则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，

即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.

整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③

把②式及c＝代入③式，化简得5k2＋2k－6＝0.

解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)，

可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．