2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第七章 平面解析几何 45 word版含答案

考点测试45　直线的方程

一、基础小题

1．已知两点A(－3，)，B(，－1)，则直线AB的斜率是(　　)

A.   B．－ 

C.   D．－

答案　D

解析　斜率k＝＝－，故选D.

2．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为(　　)

A.x－3y＋6＋＝0   B.x－3y－6＋＝0

C.x＋3y＋6＋＝0   D.x＋3y－6＋＝0

答案　A

解析　∵k＝tan30°＝，∴直线方程为y－2＝(x＋1)．即x－3y＋6＋＝0.

3．已知直线l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值为(　　)

A．1或3   B．1或5 

C．1或4   D．1或2

答案　C

解析　由题意可得，(k－3)×2(k－3)＋(5－k)×(－2)＝0，整理得k2－5k＋4＝0，解得k＝1或k＝4.

4．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(　　)

A．k1<k2<k3

B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1

D．k1<k3<k2

答案　D

解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.

5．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)

A．第一象限   B．第二象限 

C．第三象限   D．第四象限

答案　C

解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．

6．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)

答案　A

解析　化为截距式＋＝1，＋＝1.

假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．

7．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－，y＝－3，定点为.

8．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为(　　)

A．x＋2y－6＝0   B．2x＋y－6＝0

C．x－2y＋7＝0   D．x－2y－7＝0

答案　B

解析　解法一：直线过点P(1,4)，代入选项，排除A、D，又在两坐标轴上的截距均为正，排除C.

解法二：设所求直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，

将(1,4)代入得＋＝1，

a＋b＝(a＋b)＝5＋≥9，

当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小，

∴直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.

9．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)

A.∪

B.

C.

D.∪

答案　B

解析　直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，

∵kMA＝＝－，kMB＝＝，

画图可知－a>－且－a<，∴a∈.

10．若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．

答案　(－2,1)

解析　∵kPQ＝tanθ＝＝<0，

∴－2<a<1.

11．已知经过点P(3,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________．

答案　2x－3y＝0或x＋y－5＝0

解析　设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

∵l过点(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，

∴l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

12．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．

答案　3

解析　解法一：直线AB的方程为＋＝1，P(x，y)，则x＝3－y，

∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)

＝≤3.

解法二：由于动点P(x，y)在直线AB：＋＝1上，则x、y值不同时为负数．若xy取最大值，则x、y同时为正数，则xy＝12··≤12·2＝3.

二、高考小题

13．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(0,2) 

C．(0，＋∞)   D．(1，＋∞)

答案　A

解析　设l1是y＝－ln x(0<x<1)的切线，切点P1(x1，y1)，l2是y＝ln x(x>1)的切线，切点P2(x2，y2)，

l1：y－y1＝－(x－x1)，①

l2：y－y2＝(x－x2)，②

①－②得xP＝，

易知A(0，y1＋1)，B(0，y2－1)，

∵l1⊥l2，∴－·＝－1，∴x1x2＝1，

∴S△PAB＝|AB|·|xP|＝|y1－y2＋2|·＝·

＝·

＝·

＝·＝，

又∵0<x1<1，x2>1，x1x2＝1，

∴x1＋x2>2＝2，

∴0<S△PAB<1.故选A.

14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

答案　5

解析　易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|时取“＝”)．

三、模拟小题

15．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0表示的圆取得最大面积时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　r＝≤1，当半径r最大时，圆取得最大面积，此时k＝0，r＝1，∴直线方程为y＝－x＋2.由tanα＝－1且α∈一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　)

A．m>1，且n<1   B．mn<0

C．m>0，且n<0   D．m<0，且n<0

答案　B

解析　因为y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.

17．已知直线l的斜率为k(k≠0)，它在x轴，y轴上的截距分别为k,2k，则直线l的方程为(　　)

A．2x－y－4＝0   B．2x－y＋4＝0

C．2x＋y－4＝0   D．2x＋y＋4＝0

答案　D

解析　依题意得直线l过点(k,0)和(0,2k)，所以其斜率k＝＝－2，由点斜式得直线l的方程为y＝－2(x＋2)，化为一般式是2x＋y＋4＝0.

18．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1   B．－1 

C．－2或－1   D．－2或1

答案　D

解析　①当a＝0时，y＝2不合题意．

②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝，则＝a＋2，得a＝1或a＝－2.

19．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，若l1∥l2，则m的值为(　　)

A．－1   B．－6 

C．－7   D．－1或－7

答案　C

解析　①当3＋m＝0或5＋m＝0时，不满足l1∥l2，②l1∥l2等价于＝≠，得m＝－7，选C.

20．坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　直线x－2y＋2＝0的斜率k＝，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得

即所求点的坐标是.选A.

21．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(　　)

A．x－2y＋1＝0   B．x－2y－1＝0

C．x＋y－1＝0   D．x＋2y－1＝0

答案　B

解析　因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0，故选B.

22．若过点P(1－a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tanα＝＝，又α为钝角，所以<0，即(a－1)·(a＋3)<0，故－3<a<1.关于a的函数m＝3a2－4a的图象的对称轴为a＝－＝，所以3×2－4×≤m<3×(－3)2－4×(－3)，所以实数m的取值范围是.

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线MN的方程．

解　(1)设点C的坐标为(x，y)，则有

＝0，＝0.

∴x＝－5，y＝－3，

即点C的坐标为(－5，－3)．

(2)由题意知，M，N(1,0)，

∴直线MN的方程为x－＝1，

即5x－2y－5＝0.

2．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点．

(1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．

解　依题意，l的斜率存在，且斜率为负．

设l：y－4＝k(x－1)(k<0)．

令y＝0，可得A；

令x＝0，可得B(0,4－k)．

(1)|PA|·|PB|＝·

＝－(1＋k2)＝－4≥8.(注意k<0)

∴当且仅当＝k且k<0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．这时l的方程为x＋y－5＝0.

(2)|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－≥9.

∴当且仅当k＝且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.

3．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．

(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．

解　(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.

(2)由直线方程可得M，N(0,2＋a)，

因为a>－1，

所以S△OMN＝××(2＋a)＝×＝≥×＝2，

当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．

此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

4．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于多少？

解　以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0，4)，A(0,0)，则直线BC方程为x＋y－4＝0，

设P(t,0)(0<t<4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1、P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝·(x＋t)，设△ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以有＝·，即3t2－4t＝0，所以t＝0或t＝，因为0<t<4，所以t＝，即AP＝.