2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练9：与圆相关的综合题（附答案）

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2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练9：与圆相关的综合题（附答案）
1．我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）求抛物线的解析式；
（3）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．

2．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M和坐标原点O，一次函数y＝mx﹣4m与x轴交于点M．
（1）求出抛物线的对称轴；
（2）如图1，以线段OM为直径作⊙C，在第一象限内的圆上存在一点B，使得△OBC为等边三角形，求⊙C过点B的切线l的函数解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，当a＞0时，若抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，过点B的切线与抛物线交于P、Q两点，试问：在直线PQ下方的抛物线上是否存在一点N，使得△PNQ的面积最大？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．


3．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）分别求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、F重合），连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相交于点B（4，0），D（﹣2，0），与y轴相交于点A（0，m），C（0，n）．
（1）求mn的值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点B，C，点E在抛物线上．当△AED的重心恰好是原点O时，求该抛物线的解析式．
（3）在（2）条件下，P是抛物线上的动点．问：直角平面坐标系中是否存在一点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的平行四边形的面积取最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）经过点B作直线BD⊥AB，与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，连接AE，请判断△ADE的形状，并说明理由；
（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请直接写出k的值．

6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．



7．如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），∠ACB＝90°，过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．
（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；
（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时，
①求过点A，B，C三点的抛物线解析式；
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的？若存在，直接写出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．



9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．

（1）若OB＝3OC，求抛物线的解析式．
（2）如图1，设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若，求a的值．
（3）如图2，a＝﹣1，若P点是半径为2的OB上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，的值最大，请求出这个最大值，并说明理由．
10．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD∥y轴交BC于点D，以PD为直径的圆交BC于另一点E，求DE的最大值及此时点P的坐标；
（3）当（2）中的DE取最大值时，将△PDE绕点D旋转，当点P落在坐标轴上时，求点E的坐标．


11．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，连接DM并延长交x轴于点C．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为（﹣2，4），试求经过D、O、C三点的抛物线的解析式．
（3）若坐标平面内的点P，使得以点P和三点D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．





12．已知二次函数y＝+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，﹣1）和点A（4，1）．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点C（10，m）在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于x轴的直线l平分∠AMC，求点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P是抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点，若△PEF的面积为2，请直接写出点P的坐标．




13．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D．
（1）试判断点C与⊙D的位置关系；
（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．

14．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，﹣）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，8）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）连接AC，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．






15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y＝kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．
∵与y轴相切于点D（0，4），
∴CD⊥OD，
∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，
∴四边形ODCM是矩形，
∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，
∵B（8，0），
∴OB＝8，
∴BM＝8﹣r，
在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，
∴r2＝42+（8﹣r）2，
解得r＝5，
∴C（5，4），
∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．
（2）点C的坐标为（5，4），则抛物线的对称轴为x＝5，
点B（8，0），根据函数的对称性，点A（2，0），
则抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），
将点D的坐标代入上式得：4＝a（﹣2）（﹣8），解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣x+4．
（3）结论：AE是⊙C的切线．
理由：连接AC，CE．

由抛物线的表达式知，顶点E（5，﹣），
∵AE＝＝，CE＝4+＝，AC＝5，
∴EC2＝AC2+AE2，
∴∠CAE＝90°，
∴CA⊥AE，
∴AE是⊙C的切线．
2．解：（1）令y＝mx﹣4m＝0，解得x＝4，故点M（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c过原点O，则c＝0，
故抛物线的表达式为y＝ax2+bx，
将点M的坐标代入上式得：16a+4b＝0，即b＝﹣4a，
故抛物线的表达式为y＝ax2﹣4ax①，
则抛物线的对称轴为x＝2；
（2）由（1）知，OC＝2，则△OBC为边长为2的等边三角形，
则该三角形的高为2×sin60°＝，故点B的坐标为（1，），
在Rt△EBC中，∠EBC＝90°﹣∠ECB＝90°﹣60°＝30°，
故OE＝2BC＝4，则点E的坐标为（﹣2，0），
设切线l的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线l的表达式为y＝x+②，

（3）存在，理由：
∵抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，
则有一个点D为抛物线的顶点，如下图，

根据函数的对称轴，则△OMD为边长为4的等边三角形，
同理可得，点D（2，﹣2），即抛物线的顶点为D，
将点D的坐标代入①得：﹣2＝4ax﹣8a，解得a＝，
则抛物线的表达式为y＝x2﹣2x③，
联立②③并整理得：3x2﹣14x﹣4＝0，
解得x＝，则xQ﹣xP＝，
过点N作NH∥y轴交PQ于点H，
设点N（x，x2﹣2x），则点H（x，x+），
则S△PQN＝S△HNP+S△HNQ＝•HN•（xQ﹣xP）＝（x+﹣x2+2x）＝（﹣x2+x+），
∵a＜0，
故抛物线开口向下，△PNQ的面积存在最大值，
此时x＝，则点N的坐标为（，﹣）．
3．解：（1）如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，

∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是（5，4），
∴CM⊥y轴，即C（0，4），⊙M的半径为5，
∴AM＝5，DM＝4，
∴AD＝DB＝＝＝3，
∴OA＝5﹣3＝2，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：将A（2，0）代入中，可得，
∴E（5，），
∴DE＝，
∴ME＝DE+MD＝＝，
则，，，
∴MA2+AE2＝AE2，
∴MA⊥AE，
又∵MA为半径，
∴直线EA与⊙M相切；
（3）为定值，
理由如下：
连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，

∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，
∴∠FPN＝∠FAB，
又∵MF⊥AB，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA＝∠FPA，
∴∠FPN＝∠FPA，
∵FQ⊥AP，FN⊥PN，
∴FQ＝FN，
又∵FP＝FP，
∴Rt△FPQ≌Rt△FPN（HL），
∴PQ＝PN，
又∵AF＝BF，FQ＝FN，
∴Rt△AFQ≌Rt△BFN（HL），
∴AQ＝BN，
∴．
4．解：（1）如图1，连接BC，AD，

∵点B（4，0），D（﹣2，0），点A（0，m），C（0，n），
∴OB＝4，OD＝2，AO＝﹣m，OC＝n，
∵∠CBO＝∠DAO，∠COB＝∠DOA，
∴△ADO∽△BCO，
∴，
∴﹣m•n＝4×2，
∴mn＝﹣8；
（2）∵△AED的重心恰好是原点O，点D（﹣2，0），点A（0，m），
∴点E（2，﹣m），
又∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点B，C，
∴，
解得：m＝﹣1，n＝8＝c，b＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+8；
（3）∵D（﹣2，0），点A（0，﹣1），
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
如图2，

设与直线AD平行的直线L为y＝﹣x+k与抛物线y＝x2﹣5x+8只有一个交点P时，
此时△ADP的面积最小，对应的平行四边形的面积＝2S△ADP，也最小，
∴x2﹣5x+8＝﹣x+k，
∵△＝﹣4××（8﹣k）＝0，
∴k＝，
∴直线L解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组可得：，
解得：，
∴点P（3，﹣），
设点Q（x，y），
当AD与PQ为对角线时，则，，
∴x＝﹣5，y＝﹣，
∴点Q（﹣5，﹣）；
当AP与DQ为对角线时，则，，
∴x＝5，y＝﹣，
∴点Q（5，﹣）；
当AQ与PD为对角线时，则，，
∴x＝1，y＝，
∴点Q（1，）；
综上所述：点Q坐标为（﹣5，﹣）或（5，﹣）或（1，）．
5．解：（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N，
∴∠ANC＝∠BMA＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵⊙A过点B，C，
∴AC＝AB，
∴△ACN≌△BAM（AAS），
∴CN＝AM＝﹣2﹣（﹣3）＝1，BM＝AN＝﹣3﹣（﹣5）＝2，
∴B（﹣2，﹣2），C（﹣5，﹣1），
∵点B，C在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x﹣11，
（2）△ADE是等腰三角形，
理由如下：如图1，∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABM+∠DBM＝90°，
过点B作BM⊥x轴于M，
∴∠BMD＝∠AMB＝90°，
∴∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠ABM＝∠BDM，
∴△ABM∽△BDM，
∴，
∴，
∴DM＝4，
∴D（2，0），
∴AD＝5，
∵B（﹣2，﹣2），
∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，
联立，，
∴（舍）或，
∴E（﹣6，﹣4），
∴AE＝＝5，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（3）如图2，
∵点B（﹣2，﹣2）在⊙A上，
∴AB＝，
记直线y＝kx+1与y轴相交于F，
令x＝0，则y＝1，
∴F（0，1），
∴OF＝1，
Ⅰ、当直线y＝kx+1与⊙A的切点在x轴上方时，记切点为G，
则AG＝AB＝，∠AGF＝90°，
连接AF，在Rt△AOF中，OA＝3，OF＝1，
∴AF＝，
在Rt△AGF中，根据勾股定理得，FG＝＝＝AG，
过点G作GP⊥y轴于P，过点G作GQ⊥x轴于Q，
∴∠AQG＝∠FPG＝90°＝∠POQ，
∴四边形POQG是矩形，
∴∠PGQ＝90°，
∵FG是⊙A的切线，
∴∠AGQ＝∠FGP，
∴△AQG≌△FPG（AAS），
∴AQ＝PF，GQ＝PG，
设点G（m，km+1），
∴AQ＝m+3，PF＝km，PG＝﹣m，GQ＝km+1，
∴m+3＝km①，km+1＝﹣m②，
联立①②解得，，
Ⅱ、当切点在x轴下方时，同Ⅰ的方法得，k＝2，
即：直线y＝kx+1与圆A相切，k的值为﹣或2．

6．解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；

（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），
当点P在x轴下方时，
如图1，∵tan∠MBC＝2，
故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，
故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，
联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；
当点P在x轴上方时，
同理可得：m＝4±2（舍去4﹣2）；
故m＝2或4+2；
（3）存在，理由：
连接BN、BD、EM，

则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，
在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，
即﹣0.5≤ND≤+0.5，
故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣0.5和+0.5．
7．解：（1）y＝mx2﹣8mx﹣9m，令y＝0，解得：x＝﹣1或9，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（9，0），
∵过A，B，C三点作⊙O′，故O′为AB的中点，
∴点O′的坐标为（4，0）；
（2）∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∵∠BCE的平分线为CD，
∴∠BCD＝45°，
∴∠DO′B＝90°，即O′D⊥AB，
圆的半径为AB＝5，
故点D的坐标为（4，﹣5），
设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
同理可得直线BD的表达式为：y＝x﹣9；
（3）由点A、B、C的坐标得，抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①，
①当点P（P′）在直线BD下方时，

∵∠PDB＝∠CBD，
∴DP′∥BC，则设直线DP′的表达式为：y＝x+t，
将点D的坐标代入上式并解得：t＝﹣，
故直线DP′的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：x＝（舍去负值），
故点P的坐标为（，）；
②当点P在BD的上方时，
由BD的表达式知，直线BD的倾斜角为45°，以BD为对角线作正方形DMBN，
边MB交直线DP′于点H′，直线DP交NB边于点H，
对于直线DP′：y＝x﹣，当x＝9时，y＝﹣，即BH′＝，
根据点的对称性知：BH＝BH′＝，故点H（，0），
由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：y＝3x﹣17③，
联立①③并解得：x＝3或14（舍去3），
故点P的坐标为（14，25）；
故点P的坐标为：（，）或（14，25）．
8．解：（1）四边形OKPA是正方形，证明如下：
∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO＝∠OKP＝90°，
又∵∠AOK＝90°，
∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°，
∴四边形OKPA是矩形，
又∵AP＝KP，
∴四边形OKPA是正方形；
（2）①连接PB，过点P作PG⊥BC于G，

∵四边形ABCP为菱形，
∴BC＝PA＝PB＝PC（半径），
∴△PBC为等边三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，PB＝PA＝x，PG＝x，
∴P（x，y）代入 y＝，解之得：x＝±2（负值舍去）．
∴PG＝，PA＝BC＝2，则P（2，），
则四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，
∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3．
∴A（0，），B（1，0），C（3，0）；
设二次函数解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），过点A（0， ），
∴a＝，
∴二次函数解析式为：y＝x2﹣x+；
②设直线BP的解析式为：y＝ux+v，
据题意得：，解之得：．

∴直线BP的解析式为：y＝x﹣，
过点A作直线AM∥BP，则可得直线AM的解析式为：y＝x+．
解方程组：，解得．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：y＝x+t，
∴0＝3+t，解得t＝﹣3，
∴直线CM的解析式为：y＝x﹣3．
解方程组：，解得．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，8）．
9．解：（1）∵B（3，0），
∴OB＝3，
OB＝3OC，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴设抛物线的解析式y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，1）代入，
1＝a×（0+1）×（0﹣3），
∴a＝﹣，
∴y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝；
（2）设y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a
∴C（0，﹣3a），CO＝﹣3a．
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∴
设OD交BC于点M，
由轴对称性，BC⊥OD，OD＝2OM，

在Rt△COB中，

由面积法：
∴
∴
又，
∴a2+1＝9．
∴．
∵a＜0
∴．
（3）在x轴上取点D（2，0），连接PD，CD，BP

∴BD＝3﹣2＝1，
∵AB＝4，BP＝2，
∴，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD～△ABP，
∴，
∴，
∴PC﹣PA＝PC﹣PD，
∴当点C，P，D在同一直线上时，
最大，
∵，
∴最大值为．
10．解：（1）由题可知，B（4，0），C（0，﹣2），
∵抛物线经过点C，
∴c＝﹣2，
又∵抛物线经过点B，
∴8+4b﹣2＝0，
解得b＝﹣，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）设P（m，m2﹣m﹣2），
∵P是线段BC下方，
∴0＜m＜4，
直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∵PD⊥x轴与BC交于点D，
∴D（m，m﹣2），
∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m，
∵PE⊥BC，
∴PE的解析式为y＝﹣2x+m2+m﹣2，
∴E（，），
∴PE＝（4m﹣m2），
在Rt△PED中，DE2＝PD2﹣PE2＝（4m﹣m2）2，
∴DE＝﹣（m﹣2）2+，
当m＝2时，DE有最大值，此时P（2，﹣3）；
（3）由（2）可知，D（2，﹣1），PD＝2，ED＝，EP＝；
①如图1：延长PD与x轴交于点M，
∴M（2，0），
∴MD＝1，
∵DP'＝2，
∴∠MP'D＝30°，
∴P'M＝，
∴P'（2+，0），
过点E'作GE'⊥DP，过点P'作P'H⊥GE'交GE'的延长线于点H；
∵∠DE'P'＝90°，
∴∠DE'G+∠E'DG＝∠DE'G+∠PE'H＝90°，
∴∠DE'G＝∠E'P'H，
∴△DGE'≌△E'HP'，
∴＝＝，
∵＝，
设E'（x，y），
∴＝＝
∴y＝2x﹣4，2y＝﹣x+4，
∴x＝，y＝﹣，
∴E'（，﹣）；
②如图2：P'与（2+，0）关于x＝2对称，
P'（2﹣，0），
过点E'作x轴垂线E'N，
设E'（x，y），
∴NE'＝y，P'N＝x﹣2+，
∵P'E'＝PE＝，
在Rt△P'NE'中，＝y2+（x﹣2﹣）2，
DE'2＝＝（x﹣2）2+（y+1）2，
∴y＝，x＝，
∴E'（，）；
③如图3：∵D（2，﹣1），
∴P'D＝2，
∴P'（0，﹣2），
过点E'作E'K⊥P'D，
设E'（x，y），
在Rt△P'E'D中，tan∠E'P'D＝＝＝
∴x＝2+2y，
∵S△P'E'D＝××＝×2×KE'，
∴KE'＝，
∴y＝﹣，
∴x＝，
∴E'（，﹣）；
综上所述：E（，﹣）或E（，）或E（，﹣）；

11．解：（1）直线DC与⊙O相切．
理由如下：连接OM，

∴OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM．
∵DO∥MB，
∴∠AOD＝∠OBM，∠MOD＝∠OMB，
∴∠AOD＝∠MOD，且OA＝OM，OD＝OD，
∴△AOD≌△MOD（SAS），
∴∠OMD＝∠OAD．
∵DA⊥OA，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OMD＝90°，即OM⊥CD，
∴直线DC与⊙O相切．
（2）设MC＝x．
∵∠OMC＝∠DAC＝90°，∠OCM＝∠DCA，
∴△OMC∽△DAC，
∴＝．
∵OM＝OA＝2，DA＝4，AC＝OA+OC＝2+OC，
∴＝，
∴OC＝2x﹣2．
在Rt△OMC中，
∵OM2+MC2＝OC2，
∴22+x2＝（2x﹣2）2，
解得x1＝，x2＝0（舍去），
∴OC＝2×﹣2＝，
∴C（，0）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，且过点O（0，0）
∴c＝0
∴抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将（﹣2，4），（，0）代入，
得
解得：．
∴y＝x2﹣x．
（3）如图，

若OCDP'是平行四边形，
∴P'D∥OC，P'D＝OC＝，且点D（﹣2，4）
∴点P'（﹣，4），
若OCPD是平行四边形，
∴PD∥OC，PD＝OC＝，且点D（﹣2，4）
∴点P（，4），
若OP''CD是平行四边形，
∴OC与DP''互相平分，
∴点P''（，﹣4）
综上所述：点P（﹣，4）或（，4）或（，﹣4）．
12．解：（1）把A（4，1）和（0，﹣1）代入得，
b＝0，c＝﹣1；
（2），设M（0，n）．过点C作CD⊥l，过点A作AE⊥l．

则△CMD∽△AME，
∴∴，
解得：n＝4，
∴M（0，4）；
（3）设点P（m，n），n＝m2﹣1，则m2＝8n+8…①，
点E（a，0），则点F（2m﹣a，0）；
S＝×EF×n＝2，
解得：a＝m﹣…②；
PM＝PE，
即m2+（n﹣4）2＝（m﹣a）2+n2，
化简得：a（a﹣2m）＝16﹣8n，将②代入上式得：
﹣（m+）（m﹣）＝16﹣8n，
即m2﹣＝8n﹣16，将①代入上式并解得：
＝24，解得：n＝±1，
则m＝4或﹣4或0，
故：P（4，1）或（﹣4，1）或（0，﹣1）．
13．解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），
∴4＝9a+，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∴AB＝10，
∴AD＝5，
∴OD＝3
∵C（0，4），
∴CD＝＝＝5，
∴CD＝AD，
∴点C在圆上；
（2）如图，连接CM、CD、MD，

由抛物线y＝a（x﹣3）2+，可知：M（3，），
∵C（0，4），CD＝AD＝5，A（﹣2，0），
∴D（3，0）．
∴MC2＝（3﹣0）2+（﹣4）2＝，MD2＝．
∴CD2+MC2＝MD2＝．
∴MC⊥CD．
又∵CD是半径，
∴直线CM与⊙D相切；
（3）不存在，理由如下：
如图，过点C作CE∥AB，交抛物线于E，

∵C（0，4），
把y＝4代入y＝﹣（x﹣3）2+得：4＝﹣（x﹣3）2+，
解得：x＝0，或x＝6，
∴CE＝6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形．
14．解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣11）2﹣，
∵抛物线经过点A（0，8），
∴8＝a（0﹣11）2﹣，
解得a＝，
∴抛物线为y＝＝；

（2）设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC＝∠AOB＝90°．

∵y＝＝0时，x1＝16，x2＝6．
∴A（0，8）、B（6，0）、C（16，0），
∴OA＝8，OB＝6，OC＝16，BC＝10；
∴AB＝＝＝10，
∴AB＝BC．
∵AB⊥BD，
∴∠ABC＝∠EBC+90°＝∠OAB+90°，
∴∠EBC＝∠OAB，
∴，
∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴OB＝EC＝6．
设抛物线对称轴交x轴于F．
∵x＝11，
∴F（11，0），
∴CF＝16﹣11＝5＜6，
∴对称轴l与⊙C相交；
（3）由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣x+8，
①当∠ACP＝90°时，
则直线CP的表达式为：y＝2x﹣32，
联立直线和抛物线方程得，
解得：x＝30或16（舍去），
故点P（30，28）；
当∠CAP＝90°时，

同理可得：点P（46，100），
综上，点P（30，28）或（46，100）；
15．解：（1）当k＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣1，直线解析式为y＝x+1．
联立两个解析式，得：x2﹣1＝x+1，
解得：x＝﹣1或x＝2，
当x＝﹣1时，y＝x+1＝0；当x＝2时，y＝x+1＝3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）．

（2）设P（x，x2﹣1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF＝yF﹣yP＝（x+1）﹣（x2﹣1）＝﹣x2+x+2．
S△ABP＝S△PFA+S△PFB＝PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）＝PF（xB﹣xA）＝PF
∴S△ABP＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+
当x＝时，yP＝x2﹣1＝﹣．
∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．

（3）设直线AB：y＝kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（﹣，0），F（0，1），OE＝，OF＝1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝＝．
令y＝x2+（k﹣1）x﹣k＝0，即（x+k）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣k或x＝1．
∴C（﹣k，0），OC＝k．
Ⅰ、设直线y＝kx+1与以O、C为直径的圆相切的切点为Q，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°．

设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝．
∴EN＝OE﹣ON＝﹣．
∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴＝，即：＝，
解得：k＝±，
∵k＞0，
∴k＝．
∴存在实数k使得直线y＝kx+1与以OC为直径的圆相切，此时k＝．
Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与以OC为直径的圆要相切，必有AB⊥x轴，
而直线AB的解析式为y＝kx+1，
∴不可能相切，
综上所述，k＝时，使得直线y＝kx+1与以OC为直径的圆相切．