2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练2：与角的度数相关的综合题（附答案）

这是一份2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练2：与角的度数相关的综合题（附答案），共40页。试卷主要包含了求ct∠DCB的值；等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练2：与角的度数相关的综合题（附答案）
1．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；
②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．
①求P点坐标；
②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．


3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）直接写出点B、C的坐标，并求直线BC的解析式；
（2）若点P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q．试问线段PQ的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线PQ上是否存在点M，满足∠OMB＝45°，若存在，请求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP．
①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值．
5．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠PAC＝45°时，求m的值．




6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点（0，﹣3）．
（1）求a的值；
（2）若P为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点，求证：∠ACO＝∠PCB；
（3）若Q为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上一点，且∠ACO＝∠QCB，求Q点的坐标．



7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣8，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是AB中点，连接CD．点P是抛物线上一点．
（1）求a、b的值；
（2）若S△CDP＝S△CDO，求点P的横坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为E，若∠CPE＝∠CDO，求点P的横坐标．


8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE＝OC，DM＝．
（1）求抛物线的对称轴方程；
（2）若DA＝DC，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使∠PQC＝45°，求点P的坐标．



9．如图，抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的右边），顶点为C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△ABC为等边三角形，点M（x0，y0）为抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）上任意一点，总有n﹣≥my02+40y0﹣298成立，求n的最小值；
（3）若m＝﹣，点P为x轴上一动点，若α＝∠CAB+∠CPB，当tanα＝4时，求P点的坐标．

10．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP．
①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值．



11．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值．



12．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于A点，与x轴正半轴交于B点，与y轴正半轴交于C点，CO＝BO，AB＝14．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点M、N在第一象限内抛物线上，M在N点下方，连CM、CN，∠OCN+∠OCM＝180°，设M点横坐标为m，N点横坐标为n，求m与n的函数关系式（n是自变量）；
（3）如图3，在（2）条件下，连AN交CO于E，过M作MF⊥AB于F，连BM、EF，若∠AFE＝2∠FMB＝2β，求N点坐标．

13．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
（3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．
（1）当m＜0，且y1＝﹣时，连接AQ，BD，求证：四边形ABDQ是平行四边形；
（2）当m＞0时，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3分别交x轴正半轴于点B，交x轴负半轴于点A，与y轴负半轴交于点C，且AB＝4．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，D是第一象限抛物线上的点，连AD，过点D作DM∥y轴，交CB的延长线于点M，连接AM交BD于点N，若S△ABN＝S△DMN，求点D的坐标以及tan∠DAB的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD，P是第一象限抛物线上的点（点P与点D不重合），过点P作AD的垂线，交x轴于点F，点E在x轴上（点E在点F的左侧），EF＝13，点G在直线FP上，连接EP、OG．若EP＝OG，∠PEF+∠G＝45°，求点P的坐标．

16．如图，边长为3的正方形的边AB在x轴负半轴上，点C，D在第三象限内，点A的坐标为（﹣5，0），经过点A，C的抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点N，其顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若y轴左侧抛物线上一点P关于y轴的对称点P'恰好落在直线MC上，求点P的坐标；
（3）连接AC，AM，AN，请你探究在y轴左侧的抛物线上，是否存在点Q，使∠ANQ＝∠MAC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．


参考答案
1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①如图1，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），当x＝2时，y＝﹣×4+×2+2＝4，
∴D（2，4），
∵B（6，0），
∴CD2＝（2﹣0）2+（4﹣2）2＝8，BC2＝（6﹣0）2+（0﹣2）2＝40，
DB2＝（6﹣2）2+（0﹣4）2＝32，
∴CD2+BC2＝DB2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，CD＝2，BD＝4，
∴cot∠DCB＝＝＝；
②如图2，
过点C作CE∥x轴，则∠BCE＝∠CBO，
∵∠DCB＝2∠CBO，
∴∠DCE＝∠BCE，过点B作BE⊥CE，并延长交CD的延长线于F，
∵C（0，2），B（6，0），
∴F（6，4），设直线CF的解析式为y＝kx+2，
∴6k+2＝4，
∴k＝，
∴直线CF的解析式为y＝x+2①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，
联立①②，解得或，
∴D（4，）．

2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于E，

∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵PE∥OC，
∴＝，
∴PE＝，
∴＝x2﹣x﹣2，
∴x＝﹣2或x＝（不合题意舍去），
∴点P（﹣2，）；
②如图2，过点B作BH⊥CO于H，

由①可知DO＝＝，
∵B（﹣1，﹣1），点C（0，﹣2），A（2，0）
∴OA＝OC＝2，BH＝CH＝1，
∴∠BCH＝45°＝∠OCA，
∴∠BCA＝90°，
当点Q在线段AO上时，
∵∠QCA＝∠PCB，
∴∠DCO＝∠QCO，
又∵CO＝CO，∠DOC＝∠QOC＝90°，
∴△DOC≌△QOC（ASA），
∴DO＝QO＝，
∴点Q坐标为（，0），
当点Q'在射线OA上时，
∵∠Q'CA＝∠PCB，
∴∠DCQ'＝90°，
∴∠CDO+∠DQ'C＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠DQ'C＝∠DCO，
又∵∠DOC＝∠Q'OC＝90°，
∴△DOC∽△COQ'，
∴，
∴4＝×Q'O，
∴Q'O＝，
∴点Q'（，0），
综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．
3．解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣4x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
∴x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）存在，如图1，
由（1）知，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（m，﹣m+3），则Q（m，m2﹣4m+3），
∴PQ＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，PQ最大，最大值为；
（3）①当点M在x轴上方时，如图2，
由（2）知，点P的横坐标为，
∵PQ∥y轴，
∴PQ是OB的中垂线，
∵点M在PQ上，
∴OM＝OB，
∵∠OMB＝45°，
∴∠BMQ＝∠OMB＝22.5°，
由（1）知，B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠PBM＝∠BPQ﹣∠OBC＝22.5°＝∠BMQ，
∴BP＝MP，
由（2）知，P（，），
∴BP＝＝，
∴PM＝，
∴HM＝HP+PM＝+，
∴M（，+）；
②当点M在x轴下方时，由对称性得，M（，﹣﹣），
即满足条件的点M（，+）或（，﹣﹣）．

4．解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（4，0），
∴0＝﹣4+n，
∴n＝4，
∴直线解析式为：y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点B（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，则，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4①；
（2）①∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，0），点P（m，﹣m2+3m+4），则点D（m，﹣m+4），
∴PD2＝（﹣m2+4m）2，BP2＝m2+（﹣m2+3m）2，BD2＝m2+（﹣m+4﹣4）2＝2m2，
当∠PBD＝90°时，BP2+BD2＝PD2，
∴m2+（﹣m2+3m）2+2m2＝（﹣m2+4m）2，
∴m＝2，m＝0（舍去）
∴点E的坐标为（2，0），
当∠BPD＝90°时，BP2+PD2＝BD2，
同理可得：m＝0（舍去）或3或4（舍去），
∴点E的坐标为（3，0），
综上所述：点E的坐标为（2，0）或（3，0）；
②当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，

∵点A（4，0），点B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于点A，点C，
∴0＝﹣x2+3x+4，
∴x1＝4，x2＝﹣1，
∴点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD+∠BNO＝45°，
∴∠CBO＝∠BNO，
又∵∠BOC＝∠BON＝90°，
∴△BCO∽△NBO，
∴，
∴＝，
∴ON＝16，
∴点N（16，0），
∴直线BN解析式为：y＝﹣x+4②，
联立①②并解得：x＝0（舍去）或，
∴m＝；
当点P在x轴下方时，如图2，连接BC，设BP与x轴交于点H，

∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠OBH+∠PBD＝45°，
∴∠CBO＝∠OBH，
又∵OB＝OB，∠COB＝∠BOH，
∴△BOH≌△BOC（ASA），
∴OC＝OH＝1，
∴点H（1，0），
∴直线BH解析式为：y＝﹣4x+4③，
联立①③并解得：x＝0（舍去）或7，
∴点P的横坐标为7，
∴m＝7，
综上所述：m＝7或．
5．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+x﹣3①；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，
而直线l⊥AC，AO⊥y轴，

∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠OCA＝90°，
∴∠CDE＝∠OCA，
∵∠AOC＝∠CED＝90°，
∴△CED∽△AOC，则，
而点A、C的坐标分别为（﹣6，0）、（0，﹣3），则AO＝6，OC＝3，设点D（x，x2+x﹣3），
则DE＝﹣x，CE＝﹣x2﹣x，
则＝，解得x＝0（舍去）或﹣1，
当x＝﹣1时，y＝x2+x﹣3＝﹣5，
故点D的坐标为（﹣1，﹣5）；

（3）①当点P在x轴的上方时，
由点C、D的坐标得，直线l的表达式为y＝2x﹣3，

延长AP交直线l于点M，设点M（t，2t﹣3），
∵∠PAC＝45°，直线l⊥AC，
∴△ACM为等腰直角三角形，则AC＝CM，
则62+32＝（t﹣0）2+（2t﹣3+3）2，解得t＝3，
故点M的坐标为（3，3），
由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为y＝x+2②，
联立①②并解得x＝﹣6（舍去）或，
故点P的横坐标m＝；
②当点P在x轴的下方时，
同理可得x＝﹣6（舍去）或x＝﹣5，
故m＝﹣5，
综上，m＝﹣5或．
6．解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）得到3a＝﹣3，
∴a＝﹣1，
∴a的值为﹣1；
（2）如图1中，连接AC、PC、BC、PB．

∵a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1①，
∴P（2，1），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴CP＝2，BP＝，CB＝3，
∴BP2+BC2＝20，CP2＝（2）2＝20，
∴BP2+BC2＝CP2，
∴∠CBP＝90°，
∴tan∠PCB＝＝＝，
∵tan∠ACO＝＝，
∴tan∠PCB＝tan∠ACO，
∴∠ACO＝∠PCB；
（3）（ⅰ）如图2中，当点Q在BC左侧的抛物线上时，

由（2）可知：Q（2，1）；

（ⅱ）如图3中，当点Q在BC右侧的抛物线上时，延长CQ交x轴于点E，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F．

∵∠ACO＝∠QCB，
∴tan∠ACO＝tan∠QCB，
∴，
设EF长为x，
∴＝，
解得：x＝，
∴BE＝3，
∴E（6，0），
∴CE的解析式为：y＝x+3②，
联立①②并解得或（舍去），
∴点Q（，﹣），
故点Q的坐标为：（2，1）或（，﹣）．
7．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），
即﹣16a＝4，解得a＝﹣，则b＝﹣；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+4①，
∵点D是AB中点，故点D（﹣3，0），
当点P在DC的下方时，

过点O作直线m∥CO，
∵S△CDP＝S△CDO，则点P为直线m与抛物线的交点，
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为y＝x+4，
则直线m的表达式为y＝x②，
联立①②并解得x＝；
当点P在CD上方时，
则作CD的平行线n，该平行线与CD距离与点O到CD的距离一样，即为，
同理可得x＝，
故点P的横坐标为、；
（3）当点P在CD的左侧时，如图2，
过点D作DQ⊥CD交CP的延长线于点Q，过点Q作QG⊥x轴于点G，连接AC，

∵QD⊥CD，PE⊥CD，故∠CPE＝∠CQD，
在Rt△OCD中，OD＝3，CO＝4，则CD＝5，
而AD＝AO﹣OD＝8﹣3＝5＝CD，
∴∠CAD＝∠ACD＝∠CDO，
而∠CPE＝∠CDO，故∠CAD＝∠ACD＝∠CPE＝∠CQD，
设∠CAD＝∠ACD＝∠CPE＝α，
在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝＝tanα＝tan∠CQD，
∵∠CDO+∠QDG＝90°，∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠QDG＝∠DCO，
∴△COD∽△DGQ，
∵tan∠CQD＝，即上述两个三角形的相似比为，
则，即＝2，
故QG＝6，DG＝8，
故点Q（﹣11，6），
由点Q、C的坐标得，直线QC的表达式为y＝﹣x+4③，
联立①③并解得x＝﹣；
当点P在CD的右侧时，
同理可得x＝2，
故点P的横坐标为或2．
8．解：（1）∵OC＝c，故DE＝OC＝c，
∵y＝x2+bx+c＝（x+2b）2+c﹣b2，故点M的坐标为（﹣2b，c﹣b2），
则DM＝c﹣（c﹣b2）＝，解得b＝（舍去）或﹣，
则抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝5；
（2）由（1）知函数的对称轴为x＝5，则抛物线的表达式为y＝x2﹣x+c，
令y＝x2﹣x+c＝0，则xA+xB＝10，xAxB＝4c，
则AB＝＝＝，
在Rt△ADE中，AE＝AB，DE＝c，AD＝DC＝5，
由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，即25＝c2+25﹣4c，解得c＝4，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；
（3）如图，连接PQ、PC、QC，作△PCQ的外接圆K，连接KP、KC，
过点K作y轴的垂线，交y轴于点R，交抛物线的对称轴于点N，

设点K的坐标为（m，n），点P（5，t），
∵∠PQC＝45°，故∠PKC＝90°，且PK＝CK＝QK，
∵∠RKC+∠NKP＝90°，∠NKP+∠NPK＝90°，
∴∠RKC＝∠NPK，
∴Rt△KRC≌Rt△PNK（AAS），
∴RK＝PN，PN＝RK，
即4﹣n＝5﹣m，t﹣n＝m，
即n＝m﹣1，t＝2m﹣1，
故点K的坐标为（m，m﹣1），点P的坐标为（5，2m﹣1）．
由抛物线的表达式知，顶点M的坐标为（5，﹣），点B的坐标为（8，0），
由点B、M的坐标得，直线MB的表达式为y＝x﹣6，
设点Q的坐标为（n，n﹣6），
由KC＝KQ得，m2+（m﹣1﹣4）2＝（m﹣n）2+（m﹣1﹣n+6）2，整理得：n2﹣（m+）n+20m＝0，
∵直线BM上只存在一个点Q，故△＝（m+）2﹣4××20m＝0，
解得m＝5或，
故点P的坐标为（5，9）或（5，）．
9．解：（1）令y＝mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或﹣6，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；
（2）由点AB的坐标知，AB＝8，函数的对称轴为x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝mx2+4mx﹣12m＝﹣16m，
∵△ABC为等边三角形，则yC＝ACsin∠CAB＝ABsin60°＝8×＝4，
故点C的坐标为（﹣2，4），
则﹣16m＝4，解得m＝﹣，
则抛物线的最大值为4，即y0≤4，
设t＝my02+40y0﹣298，
则t＝﹣4y02+40y0﹣298＝﹣4（y0﹣5）2+2≥﹣4（4﹣5）2+2＝﹣10，
故有n﹣≥﹣10，解得n≥，
故n的最小值为；
（3）连接BC并延长交y轴于点M，设直线CP与y轴交于点H，

过点H作HK⊥CM于点K，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝2x+12，则点M（0，12），
则tan∠CBA＝2，则tan∠CMH＝，
由点C、M的坐标得，CM＝＝，
根据函数的对称性，BC＝CA，则∠ABC＝CAB，
则α＝∠CAB+∠CPB＝∠CBA+∠CPB＝∠MCH，
在△CHM中，tan∠CMH＝，tan∠MCH＝tanα＝4，
则设HK＝4x，则CK＝x，MK＝8x，
则CM＝CK+KM＝x+8x＝9x＝，解得x＝，
HM＝＝x＝，
则OH＝12﹣＝，故点H（0，），
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣x+，
令y＝0，则x＝34，
当点P在y轴左侧时，
同理可得，点P（﹣38，0），
故点P的坐标为（34，0）或（﹣38，0）．
10．解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴0＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，0），点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，﹣m+3），
∴PD2＝（﹣m2+3m）2，BP2＝m2+（﹣m2+2m）2，BD2＝m2+（﹣m+3﹣3）2＝2m2，
当∠PBD＝90°时，BP2+BD2＝PD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+2m2＝（﹣m2+3m）2，
∴m＝1，m＝0（舍去）
∴点E的坐标为（1，0），
当∠BPD＝90°时，BP2+PD2＝BD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+（﹣m2+3m）2＝2m2，
∴m＝0（舍去），m＝3（舍去），m＝2，
∴点E的坐标为（2，0），
综上所述：点E的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，

∵点A（3，0），点B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD+∠BNO＝45°，
∴∠CBO＝∠BNO，
又∵∠BOC＝∠BON＝90°，
∴△BCO∽△NBO，
∴，
∴，
∴ON＝9，
∴点N（9，0），
∴直线BN解析式为：y＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝，
∴点P的横坐标为，
∴m＝；
当点P在x轴下方时，如图2，连接BC，设BP与x轴交于点H，

∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠OBH+∠PBD＝45°，
∴∠CBO＝∠OBH，
又∵OB＝OB，∠COB＝∠BOH，
∴△BOH≌△BOC（ASA），
∴OC＝OH＝1，
∴点H（1，0），
∴直线BH解析式为：y＝﹣3x+3，
∴﹣3x+3＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝5，
∴点P的横坐标为5，
∴m＝5，
综上所述：m＝5或．
11．解：（1）∵OA＝1，tan∠OAC＝3，
则OC＝OAtan∠OAC＝3，故点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3），
（2）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
①若点P在x轴下方，如图1，

延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I，
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（﹣3，0），
∵A（1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，AC＝＝，AB＝4，
∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝＝，cos∠ACO＝，
∵AB＝AH，G为BH中点，
∴AG⊥BH，BG＝GH，
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠BAG＝∠ACO，
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝＝，
∴BG＝AB＝，
∴BH＝2BG＝，
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO，
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝＝，cos∠HBI＝＝，
∴HI＝BH＝，BI＝BH＝，
∴xH＝﹣3+＝﹣，yH＝﹣，即H（﹣，﹣），
由点A、H的坐标的，直线AH的表达式为：y＝x﹣，
故直线PA在与y轴交点的坐标为（0，﹣）；
②若点P在x轴上方，如图2，

在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称，
∴H'（﹣，），
同理可得，直线AH'：y＝﹣x+，
故直线PA在与y轴交点的坐标（0，）；
综上，直线PA在与y轴交点的坐标为（0，﹣）或（0，）；
（3）DM+DN为定值，
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1，
设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1），
由点A、Q的坐标得，直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3，
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6，
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6，
同理可得，直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3，
当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2，
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2，
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
12．解：（1）设点C（0，c），则点B（c，0），
而AB＝14，故点A（c﹣14，0），
则抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝﹣（x﹣c）（x﹣c+14），
将点C的坐标代入上式得：c＝﹣（0﹣c）（0﹣c+14），
解得c＝0（舍）或c＝10，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+10；
（2）过点C作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点K，故点N作NH⊥CK于点H，

设直线CN与y轴的夹角为γ，则∠OCN+∠γ＝180°，
∵∠OCN+∠OCM＝180°，
∴∠γ＝∠OCM，
则CM、CN与水平线的夹角也相等，如图1，即∠NCH＝∠MCK，
设M点横坐标为m，N点横坐标为n，点M、N的坐标分别为（m，﹣m2+m+10）、（n，﹣n2+n+10），
则tan∠NCH＝＝＝﹣n+，同理tan∠MCK＝m﹣，
故﹣n+＝m﹣，
解得m＝12﹣n；
（3）过点N作NL⊥x轴于点L，

则tan∠NAL＝＝（10﹣n），
则EO＝AO•tan∠NAL＝4×（10﹣n）＝10﹣n，FO＝m＝12﹣n，
则tan∠BMF＝＝，
以OA为边作正方形AJWO，连接FJ、JE、OJ，过点J作JR⊥EF于点R，
∴AJ＝4，AF＝12﹣n﹣（﹣4）＝16﹣n，则tan∠AFJ＝，
∴∠AFJ＝∠BMF＝β，
∴FJ平分∠AFE，则FR＝FA＝16﹣n，
∵JO平分∠AOE，
∴AJ＝JW＝JR，
而JE＝JE，
∴Rt△JER≌Rt△JEW（HL），
∴RE＝EW＝10﹣n﹣4＝6﹣n，
∴EF＝RF﹣RE＝AF﹣ER＝16﹣n﹣（6﹣n）＝10，
在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，即102＝（10﹣n）2+（12﹣n）2，
解得：n＝4或18（舍去18），
故点N（4，12）．
13．解：（1）直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），
∴0＝×4+c，
∴c＝﹣2，
∴点C（0，﹣2），
∵抛物线y＝+bx+c经过点B，C，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x﹣2；
（2）如图1，过点P作PE⊥AB交BC于点E，

∵抛物线y＝﹣x﹣2与x轴的交点为A、B，
∴0＝﹣x﹣2，
∴x1＝4，x2＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），
设点P（a，a2﹣a﹣2），则点E（a，a﹣2），
∴PE＝a﹣2﹣（a2﹣a﹣2）＝﹣a2+2a，
∵四边形ACPB面积＝（4+1）×2+×（﹣a2+2a）×4＝﹣（a﹣2）2+9，
∴当a＝2时，四边形ACPB面积有最大值，
此时点P（2，﹣3）；
（3）如图2，当点M在BC上方时，设CM交AB于点H，

∵∠MCB＝∠ABC，
∴CH＝BH，
∵CH2＝AC2+OH2，
∴BH2＝4+（4﹣BH）2，
∴BH＝，
∴OH＝，
∴点H（，0），
∵点C（0，﹣2），点H（，0），
∴直线CH解析式为：y＝x﹣2，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点M（，），
当点M'在BC下方时，
∵∠M'CB＝∠ABC，
∴M'C∥AB，
∴点M'的纵坐标为﹣2，
∴点M'的坐标为（3，﹣2）；
综上所述：点M（，）或（3，﹣2）．
14．解：（1）证明：当y＝0时，x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5．
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∵直线l∥x轴，
∴直线l的解析式为y＝﹣3．
∴x﹣3＝﹣3，
解得x3＝0，x4＝3，
∴D（3，﹣3），
∴CD＝3．
∵点Q（m，y2）在直线l上，
∴y2＝﹣3．
∵y1＝﹣，
∴y1＝，
∵m＜0，点P（m，y1）在该抛物线上，
∴，
解得m＝﹣2或m＝5（舍去）．
∵直线l∥x轴，
∴CQ＝2，
∴DQ＝5，
∴AB＝DQ，AB∥DQ，
∴四边形ABDQ是平行四边形．
（2）∵P，Q两点的横坐标都是m，
∴直线l∥x轴，
∴|，
设OE＝n，则EC＝3﹣n，
∴n（3﹣n）＝2，
解得n＝1或n＝2．
∵OE＜EC，
∴OE＝1，EC＝2．
∵直线l∥x轴，
∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE，
∴△AOE∽△QCE，
∴，
∴QC＝2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴PQ＝；
（3）假设存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．

∵∠BAC+∠ACO＝90°，
∴∠PCQ＝∠ACO．
∵OA＝1，OC＝3，
∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，
连接PQ．
∵直线l∥x轴，直线PQ∥y轴，
∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°．
∴tan∠PCQ＝，
①当点P在直线l上方时，PQ＝y1﹣y2＝m，
（i）若点P在y轴左侧，则m＜0，
∴QC＝﹣m．
∴×（﹣m），
解得m1＝0（舍去），m2＝（舍去）．
（ii）若点P在y轴右侧，则m＞0，
∴QC＝m．
∴m，解得m3＝0（舍去），m4＝．
∴y1﹣y2＝，
∴y1＝﹣，
∴；
②当点P在直线l下方时，m＞0，
∴QC＝m，PQ＝y2﹣y1＝﹣m，
∴﹣m，
解得m5＝0（舍去），m6＝，
∴y2﹣y1＝，
∴y1＝﹣，
∴．
综上，存在点，使得∠PCQ与∠BAC互为余角．
15．解：（1）如图1中，

∵对称轴x＝﹣＝1，AB＝4，
∴点A坐标（﹣1，0），点B坐标（3，0），
把（﹣1，0）代入抛物线解析式，得到0＝a+2a﹣3，
∴a＝1．
（2）如图2中，

∵S△ABN＝S△DMN，
∴S△ABD＝S△ADM，
∴CM∥AD，
∵直线BC解析式为y＝x﹣3，设直线AD解析式为y＝x+b，
把点A（﹣1，0）代入得到b＝1，
∴直线AD解析式为y＝x+1，
由解得x1＝﹣1（舍去）或x2＝4，
∴点D坐标（4，5），
∴tan∠DAB＝＝1．
（3）如图3中，作GN⊥OA于N，PM⊥OF于M，PE与DN交于点K，DN与OG交于点H，OG与PE交于点J．

∵∠DAB＝∠AEK+∠EKA＝45°，∠AEK+∠FGO＝45°，
∴∠EKA＝∠HKJ＝∠FGO，
∵PG⊥AD，
∴∠FGO+∠GHD＝90°，
∵∠GHD＝∠KHJ，
∴∠HKJ+∠KHJ＝90°，
∴∠PEM+∠EOG＝90°，∠NGO+∠GOA＝90°，
∴∠PEM＝∠NGO，
∵PE＝GO，∠GNO＝∠PME＝90°，
∴△PEM≌△OGN（AAS），
∴ON＝PM＝FN，GN＝EM＝FN，
∴EN＝FM＝ON，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），
∵EF＝13，
∴3（m2﹣2m﹣3）+m＝13，
∴m＝或﹣2（舍去），
∴点P坐标（，）．
16．解：（1）由题意得：点A、C的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，﹣3），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+6x+5；
（2）由（1）知，点M（﹣3，﹣4），设直线MC的表达式为y＝kx+m，
则，解得，
故直线MC的表达式为y＝x﹣1，
设点P（x，x2+6x+5），则点P′（﹣x，x2+6x+5），
将点P′的坐标代入MC的表达式得，x2+6x+5＝﹣x﹣1，解得x＝﹣1或﹣6，
故点P的坐标为（﹣1，0）或（﹣6，5）；
（3）存在，理由：
设点Q（x，x2+6x+5），过点M作ME⊥y轴于点E，过点Q作QF⊥y轴于点F，

由题意得：OA＝ON＝5，ME＝4，AE＝2，QF＝x，NF＝﹣5﹣x2﹣6x﹣5＝﹣x2﹣6x，
①当点Q在点A的右侧时，如上图，
∵∠BAC＝45°，
∴∠CAM+∠AME＝45°，
∵∠ANQ+∠QNF＝45°，∠ANQ＝∠MAC，
∴∠AME＝∠QNF，
∵∠AEM＝∠QFN＝90°，
∴△AEM∽△QFN，
∴，
∴，解得x＝﹣4或0（舍去0），
故点Q（﹣4，﹣3）；
②当点Q在点A的左侧时，
同理可得：△AEM∽△NFQ，
∴，
∴，解得x＝﹣或0（舍去0），
故点Q（﹣，），
综上，点Q的坐标为（﹣4，﹣3）或（﹣，）