2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练3：与面积相关的综合题（附答案）

这是一份2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练3：与面积相关的综合题（附答案），共42页。试卷主要包含了如图，抛物线与x轴相交于点A，综合与实践等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练3：与面积相关的综合题（附答案）
1．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（3，0），并且OA＝OC＝3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，求⊙G最小面积．



2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点（点P与点Q不重合），且S△PBD＝S△BDQ，请求出所有满足条件的点P的横坐标．


3．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A（2，t）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝ax2于点B，在x轴的正半轴上找一点C，使得OC＝AB，连接BC交y轴于点D，直线AD上是否存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．
（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；
（2）若点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）

5．如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数的表达式；
（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．



6．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；
（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；
（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；
（4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．


7．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），当S△BEC＝S△BOC时，求点E的坐标；
（3）若点F是抛物线上的一动点，当S△BFC为什么取值范围时，对应的点F有且只有两个？


8．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为平行四边形，点A在y轴上且在B的下方，B（0，3），且点C，点D在第一象限．
（1）若点A（0，1），点D（2，2），求点C的坐标；
（2）若点C在直线y＝0.5x+3上，
①若CD＝BC，点D在抛物线y＝x2﹣x+3上，求点C的坐标；
②若CD＝BC，抛物线y＝x2﹣ax+4﹣a经过点D、E，与y轴交于点F，若点E在直线BD上，求S△DEF﹣S▱ABCD的最大值．



9．综合与实践
如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求t为何值时，△BDE是等腰三角形；
（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

10．如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝2OA＝4．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，当直线OC平分∠ACP时，求点P的坐标；
（3）如图2，点G是线段AC的中点，动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，若E、F两点同时出发，运动时间为t秒．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的？

11．如图（1），抛物线y＝ax2+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；
（3）如图（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相交于点B（4，0），D（﹣2，0），与y轴相交于点A（0，m），C（0，n）．
（1）求mn的值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点B，C，点E在抛物线上．当△AED的重心恰好是原点O时，求该抛物线的解析式．
（3）在（2）条件下，P是抛物线上的动点．问：直角平面坐标系中是否存在一点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的平行四边形的面积取最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C（0，﹣8），连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

14．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P是第一象限内抛物线上的点．
（1）b＝　 　；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，当S△PQB＝2S△QRB时，求点P的坐标．



15．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M和坐标原点O，一次函数y＝mx﹣4m与x轴交于点M．
（1）求出抛物线的对称轴；
（2）如图1，以线段OM为直径作⊙C，在第一象限内的圆上存在一点B，使得△OBC为等边三角形，求⊙C过点B的切线l的函数解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，当a＞0时，若抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，过点B的切线与抛物线交于P、Q两点，试问：在直线PQ下方的抛物线上是否存在一点N，使得△PNQ的面积最大？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）若点D是在第三象限抛物线上的动点，连结AD、OD．设点D的横坐标为m，△ADO面积为s，求s关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，s有最大值？最大值是多少．



17．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．
（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；
（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．


参考答案
1．解：（1）∵点A的坐标是（3，0），
∴OA＝3，
∵OA＝OC＝3OB，
∴OC＝3，OB＝1，
∴点C（0，3），点B（﹣1，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
∴3＝﹣3a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）∵△ACP是以AC为底的等腰三角形，
∴AP＝CP，
又∵OA＝OC，
∴OP是AC的垂直平分线，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，OP是AC的垂直平分线，
∴OP平分∠AOC，
∴直线OP解析式为y＝x，
联立方程组可得：，
∴或，
∴点P坐标为（，）或（，）；
（3）如图，

∵点A的坐标是（3，0），点C坐标为（0，3），
∴直线AC解析式为：y＝﹣x+3，
设点D坐标为（m，﹣m+3），
∴DE＝|m|，DF＝|﹣m+3|，
∴EF2＝DE2+DF2＝m2+（﹣m+3）2，
∵⊙G的面积＝×EF2＝×[m2+（﹣m+3）2]＝×[2（m﹣）2+]，
∴当m＝时，⊙G最小面积为．
2．解：（1）把点B（﹣1，0），C（3，0）分别代入，得
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）抛物线与x轴相交于点B（﹣1，0），点C（3，0），
∴BC＝4，对称轴为直线x＝1，
∴E（1，0），BE＝2，
∴C′E＝，

∴，
∴，
∴∠C′BE＝60°，
由翻折得，∠DBE＝30°，
∴DE＝BE•tan30°＝，
∴D（1，）；
（3）设BD交y轴于点F，

设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，，
∴BD的解析式为：y＝，
∴F（0，），
∵抛物线的解析式为，
∴Q（0，﹣），
分两种情况：
①当点P、Q在直线BD的同侧时，
∵S△PBD＝S△BDQ，
∴PQ∥BD，
∴直线PQ的解析式为：y＝，
联立方程组，
解得，（舍），，
∴P（3，0）；
②当点P与点Q在BD的两侧时，
∵S△PBD＝S△BDQ，
∴点P、点Q到直线BD的距离相等，
∵F（0，），Q（0，﹣），
∴，
在y轴上截取HF＝FQ，过点H作BD的平行线，交抛物线于点P′和P″，
∴HF＝FQ＝，
∴H（0，），
∴直线HP′的解析式为y＝，
联立方程组，
解得，，
综上，当点P的横坐标为3或或时，S△PBD＝S△BDQ．
3．解：（1）把A（2，t）代入y＝2x中，得t＝4，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝ax2中，得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）设P点的坐标为（m，0），
当OA＝OP时，有m2＝22+42，
解得，m＝2，或m＝﹣2，
∴此时P点的坐标为P（﹣2，0）或（2，0）；
当OA＝PA时，有（m﹣2）2+42＝22+42，
解得，m＝0（舍），或m＝4，
∴此时P点坐标为（4，0），
综上，在x轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，其P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）；
（3）∵过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝x2于点B，
∴B（﹣2，4），
∴AB＝4，
∵AB＝OC，
∴C（4，0），
设直线BC的解析式为：y＝cx+d（c≠0），则
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∴D（0，），
同理得，AC的解析式为y＝﹣2x+8，
直线BO的解析式为y＝﹣2x，
直线AD的解析式为y＝，
∴OB∥AC，
当点Q与B点在直线AC同旁时，
∵△CAQ的面积与△CAB的面积相等，
∴BQ∥AC，
即Q点在OB上，为AD与OB的交点，
联立方程组得：，
解得，，
∴此时Q（﹣1，2），

当点Q与B点直线AC两旁时，延长BA到E，使得AB＝AE＝4，过E作EQ′∥AC，与AD交于点Q′，
∴E（6，4），
∵△CAQ的面积与△CAB的面积相等，
∴EQ′∥AC，
∴设EQ′的解析式为y＝﹣2x+n，
把E（6，4）代入y＝﹣2x+n，得n＝16，
∴EQ′的解析式为y＝﹣2x+16，
联立方程组，
解得，，
∴Q′（5，6）；
综上，直线AD上存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等，其Q点坐标为Q（﹣1，2）或（5，6）．
4．解：（1）∵四边形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0），
∴BC＝OD＝10，DC＝OB＝8，∠OBC＝∠C＝90°，
由折叠可得：OA＝OD＝10，AE＝DE，
∵∠OBC＝90°，OB＝8，OA＝10，
∴AB＝6，
∴AC＝4，
设AE＝DE＝x，则CE＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴AE＝DE＝5，
∴点A的坐标为（6，8），点E的坐标为（10，5），
∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（6，8），D（10，0），则，解得，
此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
（2）抛物线过O、D（10，0）两点，则其对称轴为x＝5，
设点M（5，m），而点A（6，8）、点E（10，5），
则AE2＝16+9＝25，AM2＝1+（m﹣8）2，EM2＝（m﹣5）2+25，
当AE＝AM时，则25＝1+（m﹣8）2，解得：m＝8±2；
当AE＝EM时，同理可得：m＝5；
当AM＝EM时，同理可得：m＝；
故点M的坐标为（5，8+2）或（5，8﹣2）或（5，5）或（5，2.5）；
（3）设直线OA的解析式y＝k1x，
∵点A的坐标为（6，8），
∴6k1＝8，解得：k1＝，
直线OA的解析式y＝x，
同理可得：直线OE的表达式为y＝x，
∵OP＝1×t＝t，
∴P（t，0），
∵直线⊥x轴于点P、点F，
G是直线l与OA，OE的交点，
∴点F、G的坐标分别为（t，t）、（t，t），
则FG＝t﹣t＝t，
当0＜t＜8时，点Q在线段DC上，
过点Q作QS⊥直线l，垂足为S，如图1，

则QS＝PD＝10﹣t，
∴S＝×FG•QS＝FG•PD＝t（10﹣t）＝﹣t2+t；
②当8≤t＜9时，点Q在线段CA上，且在直线l的右侧，
设FG交AC于点N，如图2，

则QN＝CN﹣CQ＝PD﹣CQ＝（10t）﹣（t﹣8）＝18﹣2t
∴S＝FD•QN＝t（18﹣2t）＝﹣t2+t；
③当t＝9时，QN＝18﹣2t＝0，点Q与点N重合，此时△QFG不存在，故舍去，
④当9＜t≤10时，点Q在线段CA上，且在直线l的左侧，设FG交AC于点N，如图3．

则QN＝CQ﹣CN＝CQ﹣PD＝（10﹣t）＝2t﹣18，
S＝FG•QN＝t（2t﹣18）＝t2﹣t；
综上所述：S＝．
5．解：（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+4；
（2））∵A（0，4），C（8，0），
∴AC＝＝4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，
∴AN＝NC，
∵AN2＝AO2+NO2，
∴AN2＝16+（8﹣AN）2，
∴AN＝5，
∴ON＝3，
∴N的坐标为（3，0），
综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）或（8﹣4，0）或（3，0）或（8+4，0）；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于B，C两点，
∴0＝﹣x2+x+4，
∴x1＝﹣2，x2＝8，
∴点B（﹣2，0），
∴BO＝2，
设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，

∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴，
∵MN∥AC，
∴，
∴，
∵OA＝4，BC＝10，BN＝n+2，
∴MD＝（n+2），
∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN＝BN•OA﹣BN•MD＝（n+2）×4﹣×（n+2）2＝﹣（n﹣3）2+5，
∴当n＝3时，△AMN面积最大，
∴N点坐标为（3，0）．
6．解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
过点D作DM∥y轴，交AC于点M，

∵AC的解析式为y＝x+3，则点M的坐标为（﹣1，2），则DM＝2，
∴S△ACD＝S△ADM+S△CDM＝×2×2+×2×1＝3．
（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，

设D（x，﹣x2﹣2x+3），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．
∴DK＝﹣x2﹣2x+3，OK＝﹣x．
∵∠BAC是公共角，
∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：
①∠AOD＝∠ABC．
∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．
∴＝3，解得x1＝，x2＝（舍去），
∴D（，）．
②∠AOD＝∠ACB．
∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．
∴＝2，解得x1＝﹣，x2＝（舍去）
∴D（﹣，2）．
综上所述，当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标是（，）或（﹣，2）．
（4）如图3，设A点移动后的对应点为E，EN与AC交于点G，

当0≤t≤1时，
∵OA＝OC，GE∥OC，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∴AE＝EG＝t，
∴S△AEG＝；
当1＜t≤2时，如图4，同理△AFG为等腰直角三角形，

∴AF＝GF＝t﹣1，
∴MG＝MH＝1﹣（t﹣1）＝2﹣t，
∴S△MHG＝MG•MH＝，
∴S五边形GFENH＝1﹣S△MHG＝1﹣（2﹣t）2＝﹣+2t﹣1；
当2＜t≤时，如图5，

S＝S正方形MFEN＝1；
当＜t≤4时，如图6，正方形MFEN与BC边交于G，H，
过点G作GK⊥OB于点K，

∴GK∥OC，
∴△GKB∽△COB，
∴，
∴，
∴BK＝，
∴AK＝4﹣＝，
∴KE＝GN＝AE﹣AK＝t﹣，
∵△GNH∽△BOC，
∴，
∴NH＝3t﹣11，
∴S△GNH＝GN•NH＝＝，
∴S五边形MFEHG＝1﹣S△GNH＝1﹣＝﹣．
综合以上可得S＝．
7．解：（1）由y＝﹣x+4知点B（0，4），点C（4，0），
将B（0，4），C（4，0）代入，
可得，
解得，
∴；
（2）如图，过点E作x轴的垂线交BC于点N，如下图所示，

设点，
则点N（a，﹣a+4），
∴，，
∵，
∴，
解得，，，，
将x1，x2代入抛物线解析式，
可得，，，，
∴，，，；
（3）由题意得，当F点在直线BC的下方的抛物线上时，一定有两个对应的F点满足△BCF面积为S，所以当F点在直线BC的上方的抛物线上时，此时无F点满足△BCF面积为S才符合题意，故只需讨论当点F在直线BC的上方的情况即可，
设点，
由（2）同理可得，
∴当m＝2时S△BFC的最大值为，
∴当S△BFC取大于时，无法找到F点，
综上所述：当时，对应的点F有且只有两个．
答：（1）；
（2），，，；
（3）当时，对应的点F有且只有两个．
8．解：（1）由点A、B的坐标知，AB＝3﹣1＝2＝CD，
故点D（2，4）；
（2）如图，设C（m，m+3），则D（m，m2﹣m+3），
①作BH⊥CD于H，则D（m，m2﹣m+3），

则CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，
∴1+（）2＝（﹣m+3）2，m＝3±，
故C（3+，）或（3﹣，）；
②∵y＝x+3，BH＝m，
∴BC＝m． CD＝CB＝m，
又CD∥y轴，
∴D（m，m2﹣am+4﹣a），
由点B、D的坐标得，直线DB解析式：y＝x+3，
解方程：x+3＝x2﹣ax+4﹣a，
整理得：mx2﹣（m2+1﹣a）x+m（1﹣a）＝0，即[mx﹣（1﹣a）]（x﹣m）＝0，
解得：x＝m或x＝，xE＝，
而CD＝m+3﹣（m2﹣am+4﹣a）＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，且CD＝CB，
∴m＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，
整理得：m2+（2﹣a）m+1﹣a＝0，[m﹣（1﹣a）]（m﹣1）＝0，
解得：m＝1或m＝1﹣a．
（I）当m＝1时，C（1，），D（1，），F（0，4﹣a），xE＝1﹣a，
则S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（ a﹣1）[1﹣（1﹣a）]＝（ a2﹣a），
而S▱ABCD＝BH•CD＝1×＝，
故S△DEF﹣S▱ABCD＝（ a2﹣a）﹣＝（ a﹣）2﹣，
∵＞0，故S△DEF﹣S▱ABCD没有最大值；
（II） 当m＝1﹣a时，C（1﹣a，），D（1﹣a，2a+1），
则F（0，4﹣a），xE＝1，
而S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（a﹣1）[（1﹣a）﹣1]＝﹣（ a2﹣a），S▱ABCD＝BH•CD＝（1﹣a）•（1﹣a）＝（1﹣a） 2，
∴S△DEF﹣S▱ABCD＝﹣（ a2﹣a）﹣（1﹣a） 2＝﹣3a2+a﹣＝﹣3（a﹣）2+≤，
∴S△DEF﹣S▱ABCD的最大值为．
9．解：（1）令y＝0，可得0＝x2﹣x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A（﹣1，0），点B（4，0），
令x＝0，可得y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）；
（2）∵点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣3），
∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝＝5，
当BD＝BE时，则5﹣t＝t，
∴t＝，
当BE＝DE时，如图1，过点E作EH⊥BD于H，

∴DH＝BH＝BD＝，
∵cos∠DBC＝，
∴，
∴t＝，
当BD＝DE时，如图2，过点D作DF⊥BE于F，

∴EF＝BF＝BE＝t，
∵cos∠DBC＝，
∴，
∴t＝，
综上所述：t的值为，和；
（3）∵S△BOC＝BO×CO＝6，
∴S△BOC＝，S△BOC＝，
如图1，过点E作EH⊥BD于H，

∵sin∠DBC＝，
∴，
∴HE＝t，
当S△BDE＝S△BOC＝时，则（5﹣t）×t＝，
∴t1＝1，t2＝4，
当S△BDE＝S△BOC＝，时，则（5﹣t）×t＝，
∴t2﹣5t+16＝0，
∴方程无解，
综上所述：t的值为1或4．
10．解：（1）∵OB＝2OA＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）如图，设CP与x轴相交于点D，

∵OC平分∠ACP，AO⊥CO，
∴OA＝OD＝2，
∴D（2，0），
把x＝0代入得，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线CD的解析式为y＝kx+d，
把C（0，﹣4），D（2，0）分别代入y＝kx+d得：，
解得：，
∴y＝2x﹣4，
依题意得，
解得，，
∴P（6，8）；
（3）如图2，过点G作GH⊥x轴于点H，

∵GH∥y轴
∴△AHG∽△AOC，
∴，
∴由A（﹣2，0），C（0，﹣4），
得G（﹣1，﹣2），
点E运动到点B的时间为[4﹣（﹣2）]÷1＝6秒，
点F运动到点C的时间为秒，
当0＜t＜4时，如图2，过点F作FM⊥x轴于点M，
依题意得：，
∵OC＝OB＝4，∠OBC＝45°，
∴FM＝MB＝t，
∴EH＝1﹣t，HG＝2，HM＝6﹣1﹣t＝5﹣t，EM＝6﹣t﹣t＝6﹣2t，
∴S△EFG＝S△EGH+S梯形HGFM﹣S△EFM＝＝，
∵，△EFG的面积是△ABC的面积的，
∴，
解得：t1＝1，t2＝4，
当4≤t≤6时，如图3，

∴S△EFG＝S△AFE﹣S△AGE＝＝t，
∴．
综上所述，当t＝1或t＝4时，△EFG的面积是△ABC的面积的．
11．解：（1）∵点A在x轴的正半轴，且OA＝4，
∴点A（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（3，﹣3），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；
（2）∵点B（3，﹣3），
∴直线OB解析式为y＝﹣x，
设点M（m，m2﹣4m），
∴点N（m，﹣m），K（m，0），
∴OK＝KN，
∴∠KON＝∠KNO＝45°，
∵MP∥x轴，
∴∠MPN＝∠KON＝45°，
∴∠MPN＝∠KNO＝∠MNP＝45°，
∴MP＝MN，
∴NP＝MN，
∵△MNP的周长＝MN+MP+NP＝2MN+MN＝2（4m﹣m2﹣m）+（4m﹣m2﹣m）＝（2+）（3m﹣m2）＝﹣（2+）[（m﹣）2﹣]，
∴当m＝时，△MNP的周长的最大值为+，
此时点M坐标为（，﹣）；
（3）存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，
理由如下：
如图（2），在线段CB上截取CE＝，连接OE，过点E作OC的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，

∵S△OCE＝×CE×OD＝××3＝1，且OC∥QE，
∴S△OCQ＝1，
∵BD⊥y轴，
∴OD＝3，点C纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝x2﹣4x，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点C（1，﹣3），
∴CD＝1，
∴S△OCD＝×1×3＝，
∴S△OCD：S△OCQ＝3：2，
∵点O（0，0），点C（1，﹣3），
∴直线OC解析式为：y＝﹣3x，
∵CE＝，
∴点E（，﹣3），
∵OC∥EQ，
∴设EQ的解析式为：y＝﹣3x+b，
∴﹣3＝﹣3×+b，
∴b＝2，
∴EQ的解析式为：y＝﹣3x+2，
联立方程组可得，
∴，，
∴点Q坐标为（﹣1，5）或（2，﹣4）．
12．解：（1）如图1，连接BC，AD，

∵点B（4，0），D（﹣2，0），点A（0，m），C（0，n），
∴OB＝4，OD＝2，AO＝﹣m，OC＝n，
∵∠CBO＝∠DAO，∠COB＝∠DOA，
∴△ADO∽△BCO，
∴，
∴﹣m•n＝4×2，
∴mn＝﹣8；
（2）∵△AED的重心恰好是原点O，点D（﹣2，0），点A（0，m），
∴点E（2，﹣m），
又∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点B，C，
∴，
解得：m＝﹣1，n＝8＝c，b＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+8；
（3）∵D（﹣2，0），点A（0，﹣1），
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1，
如图2，

设与直线AD平行的直线L为y＝﹣x+k与抛物线y＝x2﹣5x+8只有一个交点P时，
此时△ADP的面积最小，对应的平行四边形的面积＝2S△ADP，也最小，
∴x2﹣5x+8＝﹣x+k，
∵△＝﹣4××（8﹣k）＝0，
∴k＝，
∴直线L解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组可得：，
解得：，
∴点P（3，﹣），
设点Q（x，y），
当AD与PQ为对角线时，则，，
∴x＝﹣5，y＝﹣，
∴点Q（﹣5，﹣）；
当AP与DQ为对角线时，则，，
∴x＝5，y＝﹣，
∴点Q（5，﹣）；
当AQ与PD为对角线时，则，，
∴x＝1，y＝，
∴点Q（1，）；
综上所述：点Q坐标为（﹣5，﹣）或（5，﹣）或（1，）．
13．解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；
（2）△ACD周长能取得最小值，
∵点A（﹣2，0），点B（8，0），
∴对称轴为直线x＝3，
∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，
∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，
∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，
∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，
设直线BC解析式为：y＝kx﹣8，
∴0＝8k﹣8，
∴k＝1，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣8，
当x＝3，y＝﹣5，
∴点D（3，﹣5）；
（3）存在，
∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），
∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8，
如图，

∵△ACE与△ACD面积相等，
∴DE∥AC，
∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n，
∴﹣5＝﹣4×3+n，
∴n＝7，
∴DE解析式为：y＝﹣4x+7，
联立方程组可得：，
解得：，，
∴点E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）．
14．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴﹣1﹣b+3＝0，
解得：b＝2，
故答案为：2；
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．
∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点D为OC的中点，
∴D（0，），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t+），H（t，0），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣t+）＝﹣t+，NH＝﹣t+，
∴MN＝NH，
∵PM＝MN，
∴﹣t2+3t＝﹣t+，
解得：t1＝，t2＝3（舍去），
∴P（，），
∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH；
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E，

∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°，
∴BD＝＝，
∴cos∠OBD＝＝＝，
∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F，
∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°，
∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°，
∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝，
在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝，
∴PQ＝PE，
在Rt△PFR中，cos∠RPF＝＝，
∴PR＝＝PF，
∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR，
∴PQ＝2QR，
设直线BD与抛物线交于点G，
∵﹣x+＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣，
∴点G横坐标为﹣，
设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+），
∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|，
如图2，

∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+，
∵PQ＝2QR，
∴PQ＝PR，
∴PE＝•PF，即6PE＝5PF，
∴6（﹣t2+t+）＝5（﹣t2+2t+3），
解得：t1＝2，t2＝3（舍去），
∴P（2，3）．
15．解：（1）令y＝mx﹣4m＝0，解得x＝4，故点M（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c过原点O，则c＝0，
故抛物线的表达式为y＝ax2+bx，
将点M的坐标代入上式得：16a+4b＝0，即b＝﹣4a，
故抛物线的表达式为y＝ax2﹣4ax①，
则抛物线的对称轴为x＝2；
（2）由（1）知，OC＝2，则△OBC为边长为2的等边三角形，
则该三角形的高为2×sin60°＝，故点B的坐标为（1，），
在Rt△EBC中，∠EBC＝90°﹣∠ECB＝90°﹣60°＝30°，
故OE＝2BC＝4，则点E的坐标为（﹣2，0），
设切线l的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线l的表达式为y＝x+②，

（3）存在，理由：
∵抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，
则有一个点D为抛物线的顶点，如下图，

根据函数的对称轴，则△OMD为边长为4的等边三角形，
同理可得，点D（2，﹣2），即抛物线的顶点为D，
将点D的坐标代入①得：﹣2＝4ax﹣8a，解得a＝，
则抛物线的表达式为y＝x2﹣2x③，
联立②③并整理得：3x2﹣14x﹣4＝0，
解得x＝，则xQ﹣xP＝，
过点N作NH∥y轴交PQ于点H，
设点N（x，x2﹣2x），则点H（x，x+），
则S△PQN＝S△HNP+S△HNQ＝•HN•（xQ﹣xP）＝（x+﹣x2+2x）＝（﹣x2+x+），
∵a＜0，
故抛物线开口向下，△PNQ的面积存在最大值，
此时x＝，则点N的坐标为（，﹣）．
16．解：（1）∵B的坐标为（1，0），
∴OB＝1．
∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，
∴C（0，﹣3）．
∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．
（2）由抛物线y＝ax2+3ax+c的对称轴是直线x＝﹣＝﹣和B（1，0）知，抛物线与x轴的另一交点坐标A（﹣4，0）；
（3）设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为（0，m2+m﹣3）．
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4．
∴s＝OA•|yD|＝×|m2+m﹣3|＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+．
即：s＝﹣（m+）2+（﹣4＜m＜0）．
∴当m＝﹣时，s的最大值是．
17．解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x2﹣2x+1）+4＝a（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点D（1，4），
∵a＜0，
∴抛物线的开口向下；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，
∴A（1，0），
对于y＝ax2﹣2ax+a+4，
令x＝0，则y＝a+4，
∴C（0，a+4），
如图1，
过点D作DH⊥y轴于H，
∴∠CDH+∠DCH＝90°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCH+∠OCB＝90°，
∴∠CDH＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠CHD＝90°，
∴△CDH∽△BCO，
∴，
在Rt△BDC中，tan∠DBC＝，
∵D（1，4），
∴DH＝1，
∴，
∴CO＝3，
∴a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）如图2，
由（2）知，a＝﹣1，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
连接OM，设点M的横坐标为t（t＞1），
∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+3，
∵△ACM的面积是，
∴S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△AOC
＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）﹣×1×3
＝，
∴t＝，
∴M（，）．