2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练5：与直角三角形相关的综合题（附答案）

这是一份2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练5：与直角三角形相关的综合题（附答案），共33页。试卷主要包含了已知抛物线l1，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练5：与直角三角形相关的综合题（附答案）
1．已知抛物线l1：y＝ax2+bx+c的顶点为M（1，﹣4）．它与x轴交于点A、点B两点，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线l绕x轴上的一个动点旋转180°得新抛物线l′，点B和点M的对应点分别为点C和点N，当△BMN为直角三角形时，求新抛物线l′的表达式．




2．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．







3．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP．
①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
①求抛物线的解析式；
②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；
（2）若直线y＝bx+t（t＞c）与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）．直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．


5．已知直线l：y1＝x﹣1，抛物线c：y2＝（x﹣h）2+k．
（1）若h＝0，k＝﹣1，求直线l与抛物线c的交点坐标；
（2）若k＝﹣1时，求当x（可用含h的代数式表示）为何值时，y2＞y1；
（3）若k＝h2+1，设直线l与x，y轴分别交于点A，B，抛物线c的顶点为P，当点A，B，P三点构成的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△PAQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．
（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标．
（2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系．
（3）连接PA、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？
（4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）点D为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及A点坐标；
（2）若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
（3）若△BCD是锐角三角形，请写出点D的横坐标m的取值范围．




9．如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．
（1）求a、b的值；
（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；
（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．


10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．



11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．


12．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，﹣）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，8）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）连接AC，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．




13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），C为顶点．
（1）求m、n的值．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．





14．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（0，6）、B（6，6）．点Q在线段AB上，以Q为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点D，与x轴的一个交点为C．设点Q的横坐标为m，点C的横坐标为n（n＞m）．
（1）当m＝0时，求n的值．
（2）求线段AD的长（用含m的式子表示）；
（3）点P（2，0）在x轴上，设△BPD的面积为S，求S与m的关系式；
（4）当△DCQ是以QC为直角边的直角三角形时，直接写出m的值．

15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+4x．
（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”．试求拋物线y＝﹣x2+4x的“方点”的坐标；
（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点（A在B左侧），与y轴相交于点C，连接BC．若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求△PBC的面积的最大值；
（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点Q，使△QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．


参考答案
1．解：（1）∵抛物线l1：y＝ax2+bx+c的顶点为M（1，﹣4），
∴设抛物线l1解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4，过点B（3，0），
∴0＝4a﹣4，
∴a＝1，
∴抛物线l1的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）设这个动点为（a，0），则点N（2a﹣1，4），
∵点M（1，﹣4），点B（3，0），点N（2a﹣1，4），
∴MB2＝（3﹣1）2+（0+4）2＝20，
BN2＝（2a﹣1﹣3）2+（4﹣0）2＝（2a﹣4）2+16，
MN2＝（2a﹣1﹣1）2+（4+4）2＝（2a﹣2）2+64，
当∠BMN＝90°时，则BN2＝MB2+MN2，
∴20+（2a﹣2）2+64＝（2a﹣4）2+16，
∴a＝﹣7，
∴点N（﹣15，4），
∴新抛物线l′的表达式为y＝﹣（x+15）2+4，
当∠BNM＝90°，则BM2＝NB2+MN2，
∴20＝（2a﹣2）2+64+（2a﹣4）2+16，
∴a2﹣3a+10＝0，
∵△＝9﹣40＝﹣31＜0，
∴方程无解；
当∠MBN＝90°，则BM2+NB2＝MN2，
∴（2a﹣2）2+64＝（2a﹣4）2+16+20，
∴a＝﹣2，
∴点N（﹣5，4），
∴新抛物线l′的表达式为y＝﹣（x+5）2+4，
综上所述：新抛物线l′的表达式为y＝﹣（x+15）2+4或y＝﹣（x+5）2+4．
2．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴点C（0，3），
则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，x2﹣4x+3），
∵PD∥y轴，
∴点D（x，﹣x+3），
∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，
此时，点P（1，0），
②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵A（3，0），
∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，
此时，点P（2，﹣1），
综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．
3．解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），
∴0＝﹣3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵ED⊥x轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＜90°，
设点E（m，0），点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，﹣m+3），
∴PD2＝（﹣m2+3m）2，BP2＝m2+（﹣m2+2m）2，BD2＝m2+（﹣m+3﹣3）2＝2m2，
当∠PBD＝90°时，BP2+BD2＝PD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+2m2＝（﹣m2+3m）2，
∴m＝1，m＝0（舍去）
∴点E的坐标为（1，0），
当∠BPD＝90°时，BP2+PD2＝BD2，
∴m2+（﹣m2+2m）2+（﹣m2+3m）2＝2m2，
∴m＝0（舍去），m＝3（舍去），m＝2，
∴点E的坐标为（2，0），
综上所述：点E的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N，

∵点A（3，0），点B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD+∠BNO＝45°，
∴∠CBO＝∠BNO，
又∵∠BOC＝∠BON＝90°，
∴△BCO∽△NBO，
∴，
∴，
∴ON＝9，
∴点N（9，0），
∴直线BN解析式为：y＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝，
∴点P的横坐标为，
∴m＝；
当点P在x轴下方时，如图2，连接BC，设BP与x轴交于点H，

∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠OBH+∠PBD＝45°，
∴∠CBO＝∠OBH，
又∵OB＝OB，∠COB＝∠BOH，
∴△BOH≌△BOC（ASA），
∴OC＝OH＝1，
∴点H（1，0），
∴直线BH解析式为：y＝﹣3x+3，
∴﹣3x+3＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝0（舍去），x2＝5，
∴点P的横坐标为5，
∴m＝5，
综上所述：m＝5或．
4．解：（1）①将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
②当点P在CQ的右边时，设点P（m，0），如图，过点Q作QS⊥x轴于点S，

∵∠QPS+∠CPO＝90°，∠SQP+∠QPS＝90°，
∴∠SQP＝∠CPO，
∵∠QSP＝∠POC＝90°，PQ＝PC，
∴△PQS≌△CPO（AAS），
∴SQ＝OP＝m，SP＝OC＝3，
∴SO＝3﹣m，则点Q（m﹣3，m），
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：m＝（m﹣3）2﹣2（m﹣3）﹣3，解得m＝，
故点P的坐标为（，0）或（，0）．
当点P在CQ的左侧时，同法可得Q（m+3，﹣m），

将点Q的坐标代入抛物线表达式得：﹣m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，解得m＝0或﹣5，
∴P（0，0）或（﹣5，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，0）或（﹣5，0）．
（2）设点A、M、N的坐标分别为（p，0）、（m，am2+bm+c）、（n，an2+bn+c），
由点A的坐标得：当x＝p时，y＝ax2+bx+c＝ap2+bp+c＝0，即c＝﹣ap2﹣bp，
联立y＝ax2+bx+c和y＝bx+t并整理得：ax2+c﹣t＝0，则m+n＝0，
设直线MN的表达式为y＝sx+q，则，解得，
即直线MN表达式中的k值为am+an+b，
同理直线AM表达式中的k值为am+ap+b，
则直线AM的表达式为y＝（am+ap+b）（x﹣p），令x＝0，则yE＝﹣p（am+ap+b），
同理可得AN表达式为y＝（an+ap+b）（x﹣p），令x＝0，则yD＝﹣p（an+ap+b），
则（yD+yE）＝﹣p（am+an+2ap+2b）＝﹣p（0+2ap+2b）＝﹣ap2﹣bp＝c＝yC，
故点C是线段DE的中点．
5．解：（1）若h＝0，k＝﹣1，则y2＝x2﹣1．
联立两个函数表达式并整理得：x2﹣x＝0，解得x＝0或1，
故交点坐标为（0，﹣1）和（1，0）；

（2）联立y1＝x﹣1和y2＝（x﹣h）2﹣1并整理得：x2﹣（2h+1）x+h2＝0，
解得x＝，
由抛物线的表达式知，抛物线开口向上，
则当x＜或x＞时，y2＞y1；
（3）由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为P（h，h2+1），
即点P在抛物线y＝x2+1上，
如下图，画出过点A、B、O的圆和抛物线的图象，

①当∠PAB为直角时，
从图象看，点P的坐标为（0，1）；
②当∠ABP为直角时，
从图象看，直线P′B不可能与y＝x2+1相交，故点P′不存在；
③当∠ABP″为直角时，
则ABOP″四点共圆，
则点P″是抛物线与圆的交点，
从图象看，抛物线和圆不可能相交，故点P″不存在，
故点P的坐标为（0，1）．
6．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；
（2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4）．
∵S1﹣S2＝5，
∴S1＝S2+5．
∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．
∴＝+5．
∴y＝6．
∴﹣x2+3x+4＝6．
解得x1＝1，x2＝2．
∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）．
（3）存在，点P的坐标是（3，4）或（，1）．
理由：
若∠AQP＝90°时，即AB⊥CP．
由A（4，0），B（0，4）知，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°．
∴∠PCA＝45°．
∴设直线PC解析式为：y＝x+t．
把C（﹣1，0）代入，得﹣1+t＝0．
解得t＝1．
故直线PC的解析式为y＝x+1．
联立，
解得（舍去）或．
∴P（3，4）；
若∠APQ＝90°时，△APC是直角三角形，
设P（m，n），则n＝﹣m2+3m+4．
则由AP2+CP2＝AC2，即（m+1）2+n2+（m﹣4）2+n2＝（4+1）2．
整理，得m2﹣3m﹣4+n2＝0．
∴﹣n+n2＝0．
解得n1＝0，n2＝1．
当n＝0时，﹣m2+3m+4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0．
解得m1＝﹣1，m2＝4．
当n＝1时，﹣m2+3m+4＝1，即m2﹣3m﹣3＝0，
解得m1＝，m2＝（舍去）．
此时点P的坐标分别是（﹣1，0）（舍去），（4，0）（舍去），（，1）．
若∠QAP＝90°时，该种情况不存在．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（3，4）或（，1）．

7．解：（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1）．
∵OB＝OC，C（0，3），
∴点B的坐标为（3，0），
故抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
将点C的坐标代入，得﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∴函数的对称轴为x＝1，故点Q的坐标为（1，4）．
（2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由：
∵Q（1，4），C（0，3），
∴CQ＝＝，
CQ的解析式为y＝x+3，
又∵AE＝＝，直线AE的解析式为y＝x+1，
∴CQ＝AE，CQ∥AE，
（3）∵，
∴，，
∴点D的坐标为（2，3）．
如图1，过点P作y轴的平行线，交AD于点K，

设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）
∴S△PAD＝＝＝＝×4×3．
解得m＝0或1．
（4）存在，点P的坐标为（0，3）或．
设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4），
①当∠QPH＝90°时，
如图2，过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M、G，

∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，
∴∠HPM＝∠GQP，∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，
∴△PGQ≌△HMP（AAS），
∴PG＝MH，GQ＝PM，
即4﹣n|＝|t﹣m|，|1﹣m|＝|n﹣（t+1）|，
解得m＝2或n＝3．
当n＝3时，3＝﹣m2+2m+3，解得m1＝0，m2＝2（舍去），
∴点P（0，3）．
②当∠PQH＝90°时，不合题意．
③当∠PHQ＝90°时，如图3，

同理可得n＝2，
解得m1＝1+（舍去），m2＝1﹣．
故点P（1﹣，2）．
综上可得，点P的坐标为（0，3）或（1﹣，2）．
8．（1）解：将B（4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c得
解得
所以抛物的解析式为y＝x2﹣5x+4
令y＝0，得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4
∴A点的坐标为（1，0）
（2）解：设D点横坐标为a，则纵坐标为a2﹣5a+4
①当∠BCD＝90°时，如下图所示，

连结BC，过C点作CD⊥BC与抛物
交于点D，过D作DE⊥y轴于点E，
由B、C坐标可知，OB＝OC＝4
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°
又∵∠BCD＝90°，
∴∠ECD+∠OCB＝90°
∴∠ECD＝45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE＝CE＝a
∴OE＝OC+CE＝a+4
由D、E织坐标相等，可得a2﹣5a+4＝a+4
解得a1＝6，a2＝0，
当a＝0时，D点坐标为（0，4），与C重含，不符含思意，舍去
当a＝6时，D点坐标为（6，10）
②当∠CBD＝90°时，如下图所示，

连按BC，过B点作BD⊥BC与抛物线
交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G
∠COB＝∠OBF＝∠BFC＝90°，
四边形OBFC为形，
又∵OC＝OB，
∴四边形OBFC为正方形，
∠CBF＝45°
∠CBD＝90°，
∴∠CBF+∠DBG＝90°
∴∠DBG＝45°，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴DG＝BG
D点横坐标为a
∴DG＝4﹣a
而BG＝﹣（a2﹣5a+4）
∴﹣（a2﹣5a+4）＝4﹣a
解得a1＝2，a2＝4
当a＝4时，D点坐标为（4，0），与B重含，不符含题意，舍去
当a＝2时，D点坐标为（2，﹣2）
上所述，D点坐标为（6，10）或（2，﹣2）
（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，

以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与物线交于D和D’
BC为O'的直径
∠BDC＝∠BD'C＝90°
∵
∴D到O'的距离为O'的半径
D点横坐标为m，纵坐标为m2﹣5m+4，O'坐标为（2，2），
∴由图象易得m＝0或4为方程的解，则方程方边必有因式m（m一4）
采用因式分解法进行降次解方程
m（m﹣4）（m2﹣6m+6）＝0
m＝0或m﹣4＝0或m2﹣6m+6＝0
，解得当m＝0时，D点坐标为（0，4），与C点重合，舍去；
当m＝4时，D点坐标为（4，0），与B点重合，舍去；
当时，D点横坐标
当时，D点横坐标为
结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，
可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为或．
9．解：（1）∵过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，
∴
解之，得；

（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，
∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．
当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．
∴，
解之，得，
∴；
当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．
∴，
解之，得，
∴；
当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．
∴，此方程无解．
综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；

（3）设直线y＝kx过点，可得直线．
由（1）可得抛物线，
∴，
∴当时，PQ最大，此时Q点坐标是．
∴PQ最大时，线段BQ为定长．
∵MN＝2，
∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．

将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周长最小．
设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），
则
解之，得
∴直线过点Q2和点B．
解方程组得
∴点N的坐标为，∴点M的坐标为，
所以点Q、M、N的坐标分别为，，．
10．解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴抛物线对称轴为x＝1，
∴E（3，0），
设直线AE的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，
如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），

∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴＝＝，
∴t＝时，△PAE的面积最大，最大值是．
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，
①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝45°，
∴∠PAG＝∠APG＝45°，
∴PG＝AG，
∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），
②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，

则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°，
∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，
∴，
即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
11．解：∵A（﹣1，0）、C（4，0），
∴OA＝1，OC＝4，
∴AC＝5，
∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，
∴B（4，5），
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），
∴当t＝时，EF的最大值为，
∴点E的坐标为（）．
（3）存在，分两种情况考虑：
（ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），

∴m2﹣2m﹣3＝，
∴，
∴，，
（ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），
则有：n2﹣2n﹣3＝﹣，
∴（舍去），
∴，
综上所述，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形所有点P的坐标为：P1，，．
12．解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣11）2﹣，
∵抛物线经过点A（0，8），
∴8＝a（0﹣11）2﹣，
解得a＝，
∴抛物线为y＝＝；

（2）设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC＝∠AOB＝90°．

∵y＝＝0时，x1＝16，x2＝6．
∴A（0，8）、B（6，0）、C（16，0），
∴OA＝8，OB＝6，OC＝16，BC＝10；
∴AB＝＝＝10，
∴AB＝BC．
∵AB⊥BD，
∴∠ABC＝∠EBC+90°＝∠OAB+90°，
∴∠EBC＝∠OAB，
∴，
∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴OB＝EC＝6．
设抛物线对称轴交x轴于F．
∵x＝11，
∴F（11，0），
∴CF＝16﹣11＝5＜6，
∴对称轴l与⊙C相交；

（3）由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣x+8，
①当∠ACP＝90°时，
则直线CP的表达式为：y＝2x﹣32，
联立直线和抛物线方程得，
解得：x＝30或16（舍去），
故点P（30，28）；
当∠CAP＝90°时，

同理可得：点P（46，100），
综上，点P（30，28）或（46，100）；
13．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝mx2﹣2x+n得，，
解得：；
故m的值为﹣1，n的值为3；
（2）存在，
理由：过C作CE⊥y轴于E，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴y＝﹣（x+1）2+4，
∴C（﹣1，4），
∴CE＝1，OE＝4，
设D（0，a），
则OD＝a，DE＝4﹣a，
∵△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠DAO，
∴△CDE∽△DAO，
∴＝，
∴＝，
∴a1＝1，a2＝3，
∴点D的坐标为（0，1）或（0，3）．

14．解：（1）当m＝0时，点Q坐标为（0，6），
∴抛物线表达式为y＝ax2+6．
根据题意可知，
∴抛物线表达式为．
当y＝0时，，
解得x＝±3．
由题意n＞m，
∴n＝3；
（2）∵点Q坐标为（m，6），
∴抛物线表达式为．
当x＝0时，．
∴点D坐标为（0，），
∵点A坐标为（0，6），
∴AD＝为；
（3）如图1，延长BP交y轴于点M，

∵OP∥AB，
∴△MOP∽△MAB，
∴．
∴
∵AO＝6，
∴OM＝3，AM＝9．
当AD＜AM，即0＜m≤时，
S＝＝﹣m2+18
当AD＞AM，即时，
S＝＝m2﹣18
综上，S与m的关系式为
S＝．
（4）如图2，过点Q作QH⊥OC，

∵点Q坐标为（m，6），
∴抛物线表达式为．
当x＝0时，．
∴点D坐标为（0，）．
∴OD＝m2﹣6，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣m）2+6，
∴x1＝3+m，x2＝﹣3+m，
∴点C（3+m，0）
∴OC＝3+m，CH＝3，
∵∠OCD＝90°，
∴∠OCQ+∠OCD＝90°，且∠OCQ+∠CQH＝90°，
∴∠CQH＝∠DCO，且∠QHC＝∠COD＝90°，
∴△CQH∽△DCO，
∴，
∴，
∴m1＝﹣3（不合题意舍去），m2＝，
如图3，过点Q作QH⊥OC，

同理可证△ADQ∽△HCQ，
∴
∴
∴m1＝0（不合题意舍去），m2＝，
综上所述：当m＝或时，△DCQ是以QC为直角边的直角三角形．
15．解：（1）由题意得：x＝y，
∴﹣x2+4x＝x，
解得，x1＝0，x2＝3，
∴抛物线的方点坐标是（0，0），（3，3）；
（2）如图1，过P点作y轴的平行线交BC于点D，
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴向左平移1个单位长度后抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
在y＝﹣x2+2x+3中，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入，
得，k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），则D（m，﹣m+3），
∴PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3），
∴（0＜m＜3），
∴当时，△PBC的面积最大，最大值为；
（3）存在，理由如下：
∵C（0，3），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
①当点B为直角顶点时，如图2，过点B作直线BC的垂线，交y轴于点M，交抛物线于点Q，
则∠OBM＝45°，
∴△OBM为等腰直角三角形，
∴OB＝OM＝3，
∴M（0，﹣3），
设直线BM的解析式为y＝kx﹣3，
将点B（3，0）代入，
得，k＝1，
∴直线BM的解析式为y＝x﹣3，
联立，得，
解得，x1＝﹣2，x2＝3（舍弃），
∴Q1（﹣2，﹣5）；
②当点C为直角顶点时，如图2，过点C作直线BC的垂线，交抛物线于点Q，
则QC∥BM，
则直线QC的解析式为y＝x+3，
联立，得，
解得，x1＝0，x2＝1，
∴Q2（1，4），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，﹣5）或（1，4）．