2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练8：与相似三角形相关的综合题（附答案）

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2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练8：与相似三角形相关的综合题（附答案）
1．已知抛物线y＝x2+ax+b与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）填空：a＝　 　b＝　 　；
（2）如图1，已知E（，0），过点E的直线与抛物线交于点M、N，且点M、N关于点E对称，求直线MN的解析式；
（3）如图2，已知D（0，1），P是第一象限内抛物线上一点，作PH⊥y轴于点H，若△PHD与△BDO相似，请求出点P的横坐标．

2．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．
3．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）设点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①求PN的最大值；
②若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，请直接写出点M的坐标．

4．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+1相交于点A（0，1）和点B（3，﹣2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；
（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．

7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，﹣4）．点P是抛物线上一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；
（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；
（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．

9．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线C：y＝x2沿射线OA方向平移得到抛物线C'，抛物线C'与直线x＝2交于点P，设抛物线C'的顶点M的横坐标为m．
（1）求抛物线C'的解析式（用含m的式子表示）；
（2）连结OP，当tan（∠OAB﹣∠AOP）＝时，求点P的坐标；
（3）点Q为y轴上的动点，以P为直角顶点的△MQP与△OAB相似，求m的值．

11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；
（3）当∠PBA＝2∠OAB时，求点P的坐标．

12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣kx﹣2k（k为常数）的顶点为N．
（1）如图，若此抛物线过点A（3，﹣1），求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，
①求∠ABO的度数；
②连接AB，点P为线段AB上不与点A，B重合的一个动点，过点P作CD∥x轴交抛物线在第四象限部分于点C，交y轴于点D，连接PN，当△BPN∽△BNA时，线段CD的长为　 　．
（3）无论k取何值，抛物线都过定点H，点M的坐标为（2，0），当∠MHN＝90°时，请直接写出k的值．

13．如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求的最大值；
（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．

15．如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．

16．如图，将抛物线W1：y＝﹣x2+3平移后得到W2，抛物线W2经过抛物线W1的顶点C，且与x轴相交于A、B两点，其中B（1，0），抛物线W2顶点是D．
（1）求抛物线W2的关系式；
（2）设点E在抛物线W2上，连接AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线W1沿x轴方向平移，点C的对应点为F，当△DEF与△ABC相似时，请求出平移后抛物线的表达式．


参考答案
1．解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3…①，
故答案为：﹣4，3；
（2）设点M、N的横坐标为m，n，
直线MN的表达式为：y＝k（x﹣）…②，
联立①②并整理得：x2﹣（4+k）x+（3﹣k）＝0，
则m+n＝4+k，
点M、N关于点E对称，则yM+yN＝km﹣k+kn﹣k＝k（m+n）﹣5k＝0，
即（4+k）k﹣5k＝0，
解得：k＝0（舍去）或1，
故直线MN的表达式为：y＝x﹣；

（3）设点P（m，m2﹣4m+3），则PH＝m，HD＝|m2﹣4m+3﹣1|，

而OB＝3，OD＝1，则tan∠DOB＝，
若△PHD与△BDO相似，则tan∠HPD＝或3，
即＝或4，即＝或3，
解得：m＝或或．
2．解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，
得，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）联立，
解得，或，
∴E（4，﹣5），
如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0），
∵AE为底边，
∴QA＝QE，
∴QA2＝QE2，
即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，
解得，m＝4，
∴Q1（4，0）；
当点Q在y轴上时，设Q（0，n），
∵AE为底边，
∴QA＝QE，
∴QA2＝QE2，
即n2+12＝42+（n+5）2，
解得，n＝﹣4，
∴Q2（0，﹣4）；
综上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；
（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），
∴AH＝EH＝5，AE＝＝5，
∠BAE＝45°，
又OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝＝3，
设P（t，0），则BP＝3﹣t，
∵∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，
当△PBC∽△BAE时，，
∴＝，
∴t＝，
∴P1（，0）；
当△PBC∽△EAB时，，
∴＝，
∴t＝﹣，
∴P2（﹣，0），
综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．

3．解：（1）直线y＝﹣x+c交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0＝﹣2+c，解得c＝2，
∴B（0，2），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
将点A、B的坐标代入抛物线表达式并解得：
y＝﹣x2+x+2；
（2）①M（m，0），则P（m，），N（m，﹣m2+m+2），
∴PN＝﹣m2+m+2﹣＝﹣m2+4m（0≤m≤3）；
当m＝时，线段PN有最大值为3；
②由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），
∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，
∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，
当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，
∴N点的纵坐标为2，
∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，
∴M（，0）；
当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，

则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，
∵∠NBP＝90°，
∴∠NBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BNC，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA，，
∴，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴M（，0）；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）．
4．解：（1）抛物线y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，因此点C（0，2），
当y＝0时，即：﹣x2+x+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，因此点A（﹣1，0），B（4，0），
故：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；
（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴点D（0，﹣2），CD＝4，
设直线BD的关系式为y＝kx+b，把D（0，﹣2），B（4，0）代入得，
，解得，k＝，b＝﹣2，
∴直线BD的关系式为y＝x﹣2，
设M（m，m﹣2），Q（m，﹣m2+m+2），
∴QM＝﹣m2+m+2﹣m+2＝﹣m2+m+4，
当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形；
∴﹣m2+m+4＝4，
解得m1＝0（舍去），m2＝2，
答：m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）在Rt△BOD中，OD＝2，OB＝4，因此OB＝2OD，
①若∠MBQ＝90°时，如图1所示，
当△QBM∽△BOD时，QP＝2PB，
P（m，0）即点P的横坐标为m，
则QP＝﹣m2+m+2，PB＝4﹣m，
于是﹣m2+m+2＝2（4﹣m），
解得，m1＝3，m2＝4（舍去），
当m＝3时，PB＝4﹣3＝1，
∴PQ＝2PB＝2，
∴点Q的坐标为（3，2）；
②若∠MQB＝90°时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，
∴Q（﹣1，0）；
③由于点M在直线BD上，因此∠QMB≠90°，这种情况不存在△QBM∽△BOD．
综上所述，点P在线段AB上运动过程中，存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，
点Q（3，2）或（﹣1，0）．

5．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，
∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，
又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，
故，点M的坐标为（2，﹣3）；
（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，
∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），
∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
如图，

①点F是直角顶点时，点F的纵坐标与点D的纵坐标相同，是1，
∴x2﹣4x+3＝1，
整理得x2﹣4x+2＝0，
解得x＝2±，
当x＝2﹣时，y＝﹣（2﹣）+3＝1+，
当x＝2+时，y＝﹣（2+）+3＝1﹣，
∴点E1（2﹣，1+）E2（2+，1﹣），
②点D是直角顶点时，
易求直线AD的解析式为y＝x﹣1，
联立，
解得，，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
当x＝4时，y＝﹣4+3＝﹣1，
∴点E3（1，2），E4（4，﹣1），
综上所述，存在点E1（2﹣，1+）或E2（2+，1﹣）或E3（1，2）或E4（4，﹣1），使以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．
6．解：（1）将点A（0，1）和点B（3，﹣2）代入抛物物线y＝﹣x2+bx+c中
得，
解得
∴y＝﹣x2+2x+1
（2）如图1所示：过点D作 DM∥y轴交AB于点M，
设D（a，﹣a2+2a+1），则M（a，﹣a+1）
．∴DM＝﹣a2+2a+1﹣（﹣a+1）＝﹣a2+3a
∴S△ABD＝（﹣a2+3a）×3＝﹣（a﹣）2+，
∵有最大值，
当时，
此时

图1
（3）∵OA＝OC，如图2，CF∥y轴，
∴∠ACE＝∠ACO＝45°，
∴△BCD中必有一个内角为45°，由题意可知，∠BCD不可能为45°，
①若∠CBD＝45°，则BD∥x轴，
∴点D与点B于抛物线的对称轴直线x＝1对称，设BD与直线＝1交于点H，则H（1，﹣2）
B（3，﹣2），D（﹣1，﹣2）
此时△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，
（i）当∠AEC＝90°时，得到AE＝CE＝1，
∴E（1.1），得到t＝1
（ii）当∠CAE＝90时，得到：AC＝AE＝，
∴CE＝2，∴E（1.2），得到t＝2

图2
②若∠CDB＝45°，如图3，①中的情况是其中一种，答案同上
以点H为圆心，HB为半径作圆，则点B、C、D都在圆H上，
设圆H与对称左侧的物线交于另一点D1，
则∠CD1B＝∠CDB＝45°（同弧所对的圆周角相等），即D1也符合题意
设
由HD1＝DH＝2
解得n1＝﹣1（含去），n2＝3（舍去），（舍去），
∴，
则，

（i）若△ACE∽△CD1B，
则，
即，
解得（舍去）
（ii）△ACE∽△BD1C则，
即，
解得（舍去）
综上所述：所有满足条件的t的值为t＝1或t＝2或或

图3
7．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax（x﹣4），且过点B（5，5）
∴5＝5a
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x；
（2）∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0）
∴直线BC解析式为：y＝x﹣4，
直线OB解析式为：y＝x，
∴直线l关于直线OB对称的直线解析式为y＝x+，
∴联立方程组可得：
∴ 或
∴点P（﹣，）；
（3）如图，

∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0）
∴OC＝4，BO＝5，
设点M（m，m），则点N（m，m2﹣4m），
∴MN＝5m﹣m2，BM＝（5﹣m），
∵MN∥y轴，
∴∠BMN＝∠BOC＝135°．
∵以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似，
∴或，
若，则＝，
∴m1＝5（舍去），m2＝，
∴点N的坐标为（，﹣），
若，则＝，
∴m1＝5（舍去），m2＝，
∴点N坐标为（，﹣），
综上所述：点N坐标为：（，﹣）或（，﹣）．
8．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∴C（0，﹣2），B（4，0），
将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
得，
解得，，
∴y＝x﹣2；
（2）∵
∴，＝，
，
若以C为顶点，则CE2＝CF2，
∴，
解得：m1＝2，m2＝4（舍去），
若以E为顶点，则EC2＝EF2，
∴＝，
解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），
综合以上得m＝2或m＝4﹣．
（3）①∵AC＝，BC＝2，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，
∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），
②如图，当△BPM∽△ABC时，
过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，

∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，
∴∠BMR＝∠MPH，
∴△PHM∽△MRB，
∴
又∵AB∥HR，
∴∠ABC＝∠BMR，
∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，
令BR＝a，MR＝2a，
又∵∠ABC＝∠BMR，
∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，
∴，
∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，
∴HR＝4a，
∴P（4﹣4a，3a），
又∵点P在抛物线上，
将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：
（4﹣4a）﹣2＝3a，
∴a（8a﹣13）＝0，
a1＝0（舍），a2＝．
∴．
∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．
9．解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．
如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．
∵O与O′关于直线BC对称，
∴PO＝PO′，
∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．
设直线AO′的解析式为y＝kx+m，
将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，
解得：，
∴直线AO′的解析式为y＝x+．
联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，
解得：，
∴点P的坐标为（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴点D的坐标为（2，8）．
又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），
∴CD＝＝2，BC═＝6，BD═＝4，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，
∴＝＝2，．
又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，
∴△AOC∽△DCB，
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴于点Q．

∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽DCB，
∴，即，
∴AQ＝20，
∴点Q的坐标为（18，0）．
综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．

10．解：（1）设直线OA的解析式为y＝kx，将点A（2，4）代入y＝kx中，得2k＝4，∴k＝2，
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M在射线OA上，且点M的横坐标为m，
∴点M（m，2m），
∵抛物线C'是抛物线C：y＝x2平移所得，
∴抛物线C'的解析式为y＝（x﹣m）2+2m；
（2）如图1，连接OP，过点O作直线OH交BA的延长线于点H，使∠HOA＝∠AOP，

∵∠OHA＝∠OAB﹣∠HOA＝∠OAB﹣∠AOP，
则tan∠OHA＝，则sin∠OHA＝，
在Rt△OBH中，OH＝＝，
∵∠HOA＝∠AOP，
∴点A到OH的距离等于点A到OP的距离，设这个距离为h，
设点P的坐标为（2，t），则OP＝，
则S△OAH＝S△OBH﹣S△OBA＝2×4﹣2×t＝OH•h＝××h，
解得：h＝，
同理S△AOP＝S△OAB﹣S△OBP＝×2×4﹣×2×t＝OP×h＝×，
整理得：24t2﹣202t+399＝0，
解得：t＝或（舍去），
故点P的坐标为：（2，）；
（3）如图2，∵△MQP与△OAB相似，
∴，即；

由（1）知：抛物线C'的解析式为y＝（x﹣m）2+2m，点M（m，2m），
当x＝2时，y＝（x﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4，
故点P（2，m2﹣2m+4），
过点Q作QG⊥AB交BA的延长线于点G，作MN⊥AB于点N，
则GQ＝OB＝2，PN＝（m2﹣2m+4）﹣2m＝m2﹣4m+4；
∵∠MPN+∠PMN＝90°，∠MPN+∠QPG＝90°，
∴∠QPG＝∠PMN，而∠PGQ＝∠MNP＝90°，
∴△PGQ∽△MNP，
∴，即，
解得：m＝0或1或3或4（舍去0），
故m＝1或3或4．
11．解：（1）令x＝0，得，则B（0，﹣2），
令y＝0，得，解得x＝4，
则A（4，0），
把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，
得，解得．
∴抛物线的解析式为：．

（2）∵PM∥y轴，
∴∠ADC＝90°．
∵∠ACD＝∠BCP，
∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：
①当∠CBP＝90°时，如图，过P作PN⊥y轴于N，

∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠PBN＝∠OAB，
∵∠AOB＝∠BNP＝90°，
∴Rt△PBN∽Rt△BAO．
∴．
设．
∴，化简得．
解得x＝0（舍去）或．
当时，．
∴，﹣5）；

②当∠CPB＝90°时，如图2，则PB∥x轴，所以B和P是对称点．
所以当y＝﹣2时，即，解得x＝0（舍去）或．
∴，﹣2）．
综上，点P的坐标是，﹣5）或，﹣2）．
（3）设点A关于y轴的对称点为A′，则A′B＝AB．
∴∠BAO＝∠B′AO．
直线A′B交抛物线于P．
∴∠PBA＝∠BAO+∠BA′O＝2∠BAO．
∵A（4，0），
∴A′（﹣4，0）．
设直线A′B的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵B（0，﹣2）．
∴．
解得．
∴直线A′B的解析式为．
由方程组得x2﹣3x＝0．
解得x＝0（舍去）或x＝3．
当x＝3时，．
所以点P的坐标是（3，）．
12．解：（1）将点A的坐标代入y＝x2﹣kx﹣2k并解得k＝2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣4；
（2）①对于y＝x2﹣2x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，故点B（0，﹣4），
而点A（3，﹣1），
点A、B横坐标的差和纵坐标的差相等，AB与x轴的夹角为45°，
故∠ABO＝45°；
②由抛物线的表达式知，点N（1，﹣5），
由点A、B、N的坐标知，BN2＝12+（﹣5+4）2＝2，AB＝3，
∵△BPN∽△BNA，
∴，即BP＝＝＝，
由①知，∠ABO＝45°，故△BPD为等腰直角三角形，
故BD＝BP＝×＝，故点D（0，﹣），
当y＝﹣时，即x2﹣2x﹣4＝﹣，
解得x＝1±（舍去负值），
故CD的长为x＝1+，
故答案为1+；
（3）y＝x2﹣kx﹣2k＝x2﹣k（x+2），
当x＝﹣2时，y＝x2﹣kx﹣2k＝4，即点H（﹣2，4），
如图，过点H作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，HG交x轴于点K，

由抛物线的表达式知，点N（k，﹣﹣2k），
∵∠NHG+∠MHG＝90°，∠MHG+∠HMO＝90°，
∴∠NHG＝∠HMO，
∴tan∠NHG＝tan∠HMO，即，
∴＝，解得k＝﹣4或﹣6，
当k＝﹣4时，点N的坐标为（﹣2，4）和点H重合，故舍去k＝﹣4，
故k＝﹣6．
13．解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）∵点C在直线y＝2x+4上，且点C的横坐标为﹣1，
∴y＝2×（﹣1）+4＝2，
∴点C坐标为（﹣1，2），
设平移后的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵a＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，2），
∴抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2，
∵抛物线与y轴的交点为D，
∴令x＝0，得y＝1，
∴点D坐标为（0，1）；
（3）存在，
①过点D作P1D∥OA交AB于点P1，

∴△BDP1∽△BOA，
∴P1点的纵坐标为1，代入一次函数y＝2x+4，
得，
∴P1的坐标为（，1）；
②过点D作P2D⊥AB于点P2，
∴∠BP2D＝∠AOB＝90°，
又∵∠DBP2＝∠ABO（公共角），
∴△BP2D∽△BOA，
∴，
∵直线y＝2x+4与x轴的交点A（﹣2，0），B（0，4），
又∵D（0，1），
∴OA＝2，OB＝4，BD＝3，
∴，
∴，
∴，
过P2作P2M⊥y轴于点M，
设P2（a，2a+4），
则P2M＝|a|＝﹣a，BM＝4﹣（2a+4）＝﹣2a，
在Rt△BP2M中 ，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴P2的坐标为（，），
综上所述：点P的坐标为：（，1）或（，）．
14．解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）＝﹣3m，
∴m＝a，
∴抛物线的解析式为：y＝m（x+3）（x﹣1）＝mx2+2mx﹣3m；
（2）当m＝2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣6，则设P（x，2x2+4x﹣6），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
由题意可得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣6，
如图1，过点P作PN⊥x轴，交AC于N，则PN∥OC，

∴点N（x，﹣2x﹣6），
∴PN＝（﹣2x﹣6）﹣（2x2+4x﹣6）＝﹣2x2﹣6x，
∵PN∥OC，
∴，
∴＝＝，
∴当x＝﹣时，的最大值为；
（3）∵y＝mx2+2mx﹣3m＝m（x+1）2﹣4m，
∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m），
如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE＝4m，OE＝1，AE＝OA﹣OE＝2，
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4m﹣3m＝m，

由勾股定理得：
AC2＝OC2+OA2＝9m2+9，
CD2＝CF2+DF2＝m2+1，
AD2＝DE2+AE2＝16m2+4，
∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，
∴△ACD必为直角三角形，
i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2＝CD2，
即：（9m2+9）+（16m2+4）＝m2+1，
整理得：m2＝﹣，
∴此种情形不存在；
ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2＝AC2，
即：（16m2+4）+（m2+1）＝9m2+9，
整理得：m2＝，
∵m＞0，
∴m＝，
此时，可求得△ACD的三边长为：AD＝2，CD＝，AC＝；
△BOC的三边长为：OB＝1，OC＝，BC＝，
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴此种情形不存在；
iii）若点C为直角顶点，则AC2+CD2＝AD2，
即：（9m2+9）+（m2+1）＝16m2+4，
整理得：m2＝1，
∵m＞0，
∴m＝1，
此时，可求得△ACD的三边长为：AD＝2，CD＝，AC＝3；
△BOC的三边长为：OB＝1，OC＝3，BC＝，
∵＝，
∴满足两个三角形相似的条件，
∴m＝1．
综上所述，当m＝1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．
15．解：（1）∵抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：k＝1，b＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（a，﹣a2+4a﹣3），则Q（a，a﹣3），可分三种情况考虑：
①当PB＝BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称，
∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0，
解得：a＝2，a＝3（舍去），
∴P（2，1），
②当PQ＝BQ时，（﹣a2+3a）2＝2（a﹣3）2，
∴a＝，a＝﹣（舍去），a＝3（舍去），
∴P（，4﹣5），
③当PQ＝PB时，有（﹣a2+3a）2＝（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2，
整理得：a2＝1+（a﹣1）2，
解得a＝1．
∴P（1，0）．
综上所述：P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3（，4﹣5）；
（3）∵△BDE∽△CEB，
∴∠ABE＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
又∵AC＝＝，
∴AE＝＝，
∵DE∥BC，设D（m，0），
∴，
∴＝，
∴m＝，
∴D（，0）．
16．解：（1）∵抛物线W1：y＝﹣x2+3的顶点为C，
∴C（0，3）．
设抛物线W2的关系式为y＝﹣x2+bx+c，
∵抛物线W2经过抛物线W1的顶点C（0，3），B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线W2的关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵新抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线W2的顶点D的坐标为（﹣1，4），
令y＝0，﹣x2﹣2x+3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，

∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
过点D作DH⊥OC，
∴DH＝1，HO＝4，
∴CH＝OH﹣OC＝1，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°，
∴∠DCA＝90°，
∵CE平分∠DCA，
∴∠DCE＝∠ACE＝45°，
∴∠ECA＝∠CAO＝45°，
∴CE∥OA，
∴点E纵坐标为3，
∴﹣x2﹣2x+3＝3，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴点E（﹣2，3）；
（3）如图2，

∵点E（﹣2，3），点C（0，3），点A（﹣3，0），点B（1，0），点D坐标（﹣1，4），
∴DE＝DC＝，AC＝＝3，AB＝3+1＝4，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵EC∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴∠DEC＝∠CAB，
∵△DEF和△ABC相似，
∴或，
∴或，
∴EF＝或，
∴点F（﹣，3）或（﹣，3），
∵将抛物线W1沿x轴方向平移，点C的对应点为F，
∴平移后解析式为：y＝﹣（x+）2+3或+3