人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定优秀教案

第二十七章  相似

27.2  相似三角形

27.2.1 相似三角形的判定

课时3 用两角相等判定三角形相似

【知识与技能】

　1.了解两角对应相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.

　2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.

【过程与方法】

　1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.

　2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.

　3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.

【情感态度与价值观】

　1.进一步发展学生的探究、交流、合情推理能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件解决简单问题.

　2.在三角形相似判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.

　3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.

　能运用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明三角形相似.

三角形相似判定定理的证明过程.

多媒体课件.

导入一:

　学校为了改善环境,在一片空地上修建一块三角形草地,图纸如图(1),完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似,你能帮帮他吗?

　【引导语】　根据前面的学习,我们判断三角形相似需要对应边成比例,而图纸中的三角形只知道角的大小,我们只测量角的大小,能否判定三角形相似?这就是本节课的学习任务.

导入二:

　【复习提问】

　(1)三角形相似的判定定理1和2的内容是什么?

　(2)用什么方法证明判定定理1和2?

　【师生活动】　学生回答问题,对学生出现的问题教师及时纠正,并强调易错点.

导入三:

　观察老师手中的一副三角尺和你手中的三角尺,其中含有相同锐角(30°与60°或45°与45°)的两个直角三角尺形状相同吗?它们分别满足什么条件?

　【导入语】　有两个锐角相等的两个直角三角尺相似,那么对于任意两个有两个角相等的三角形是否相似呢?这就是我们今天探究的主要内容.

　[设计意图]　以生活实例为情景导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣；通过复习三角形相似的判定方法及证明思路,为本节课学习另一个判定定理做好铺垫；由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利地实现旧知识到新知识的迁移.

一、 两角分别相等的两个三角形相似

　思路一

　【动手操作】　

　(1)同桌两个人分别画出△ABC,其中∠A=37°,∠B=65°.

　(2)分别测量AB,BC的长度(或测量AC,AB的长度),判断两个三角形是否相似.

　(3)根据操作、测量,猜想判定三角形相似的方法.

　(4)能证明你的猜想吗?写出已知、求证和证明过程.

　【教师提示】　类比判定定理1,2的证明方法,通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中.

　(5)用文字语言叙述你的结论,并用几何语言表示.

　【师生活动】　在教师的指导下,学生完成画图、测量、猜想,小组合作交流结果后,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并对学生的板书进行点评.

　【课件展示】　两角分别相等的两个三角形相似.

　如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.求证△ABC∽△A'B'C'.

　证明:如图,在线段A'B'上截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'于点E,则可得

△A'DE∽△A'B'C'.

　∵DE∥B'C',∴∠A'DE=∠B'.

　又∵∠B=∠B',∴∠B=∠A'DE.

　又∵∠A=∠A',A'D=AB,

　∴△A'DE≌△ABC,

　∴△ABC∽△A'B'C'.

　【几何语言】　如图,∵∠B=∠B',∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.

　思路二

　【思考】　

　(1)相似三角形的判定定理1,2的证明思路是什么?

　(在一个三角形的一边上截取与另一个三角形一边相等的线段,作平行线构造相似三角形,通过证明截得的三角形与已知三角形全等得证)

　(2)三角形在放大镜的观察下,得到三角形与原三角形是相似的,对应角是不变的,反过来,满足两个对应角相等的三角形是否相似呢?

　(3)教师用几何画板演示:改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.分别测量三角形的三边,得到三角形三边对应的比相等.

　(4)猜想你观察到的结论,你能证明你的猜想吗?

　【师生活动】　学生思考后小组合作交流,共同完成猜想、证明,学生板书证明过程,教师帮助有困难的学生,对学生的证明过程进行指导,规范书写.

　【归纳结论】　两角分别相等的两个三角形相似.

　(证明过程、几何语言同思路一)

　[设计意图]　学生通过动手操作、猜想、归纳、验证等数学活动(思路二教师借助几何画板让学生观察验证),得到三角形相似的判定定理3,并引导学生将文字语言转化为几何语言和符号语言,提高学生分析问题的能力和学习数学的兴趣.

二、一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似

　【思考】

　(1)证明直角三角形全等的方法有哪些?

　(SSS,SAS,ASA,AAS,HL)

　(2)证明直角三角形相似可以用哪些方法?

　(三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似)

　(3)类比直角三角形全等的判定方法,如果一条直角边和斜边分别成比例,两个直角三角形相似吗?

　(4)尝试证明你的结论.

　【师生活动】　学生思考回答,作出猜想,小组合作交流证明思路,板书书写过程,教师帮助有困难的学生,并对学生的回答和板书点评.

　【课件展示】　一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.

　如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=90°,∠C'=90°,=.求证Rt△ABC∽

Rt△A'B'C'.

　【教师引导分析】　由于三边成比例的两个三角形相似,而已知条件中有两边对应成比例,所以只需证明另一对直角边也成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理,所以可设==k,用勾股定理分别求出BC,B'C'的值,求得=k,从而得证.

　证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.

　由勾股定理,得BC=,B'C'=.

　∴====k.

　∴==.

　∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

　【追问】　你能归纳判定两个直角三角形相似的条件吗?

　(一个锐角相等或两边成比例)

　[设计意图]　通过教师设计的问题,学生思考后合作交流,类比直角三角形全等的判定,探索出直角三角形相似的判定方法,学生亲身经历知识的形成过程,体会数学的严谨性,提高分析问题的能力,让学生在探索中使数学思维得到提升.

三、例题讲解

　　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求AD的长.

　解:∵ED⊥AB,∴∠EDA=90°.

　又∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,

　∴=,

　∴AD===4.

　【教师引导归纳】　通过证明三角形相似,得到三角形的对应边成比例求线段的长是常用的方法.

　　如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,图中共有哪几对相似三角形?并选择其中一对进行证明.

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,针对学生的困难进行引导分析,然后学生独立完成,并用文字语言叙述该题的结论.

　〔解析〕　由CD⊥AB,得∠ADC=∠CDB=90°,所以图中共有三个直角三角形.根据直角三角形的两锐角互余,可得∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°.由同角的余角相等,得∠B=∠ACD,∠A=∠BCD.根据两角分别相等的两个三角形相似易得△ACD∽△ABC,△CDB∽△ACB,△ACD∽△CBD.

　解:(1)△ACD∽△ABC,△CDB∽△ACB,△ACD∽△CBD.

　(2)答案不唯一.

　证明△ACD∽△ABC如下:

　∵∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,

　∴∠B=∠ACD.

　又∵∠ACB=∠ADC=90°,

　∴△ACD∽△ABC.

　【归纳】　直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.

　[设计意图]　通过例题的分析解答,巩固证明三角形相似的判定方法,体会通过证明三角形相似可以证明角相等、线段成比例,也可以计算线段的长,培养学生归纳总结能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.

　[知识拓展]　(1)在有一组对应角相等的情况下,可以从两个方面选择突破口:寻找另一组对应角相等；寻找两个三角形中夹这个已知角的两条边的比相等.

　(2)直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.

　(3)若两个直角三角形满足一个锐角相等或两组直角边成比例或斜边和一条直角边成比例,则这两个直角三角形相似.

　1.相似三角形的判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.

　2.直角三角形相似的判定方法:一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.一个锐角相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似.

　第3课时

　1.两角分别相等的两个三角形相似

　2.一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似

　3.例题讲解

　例1

　例2

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.已知一个三角形的两个内角分别是40°,60°,另一个三角形的两个内角分别为60°,80°,则这两个三角形　　(　　)

A.一定不相似　　B.不一定相似C.一定相似　　D.全等

2.在△ABC和△A'B'C'中,有下列条件:①=；②=；③∠A=∠A'；④∠C=∠C'.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有　　(　　)

A.1组　　B.2组　　C.3组　　D.4组

3.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是　　(　　)

A.∠ABP=∠C　　B.∠APB=∠ABCC.=　　D.=

4.如图,在△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,则DE的长等于　　　　. 

5.如图,∠ABC=∠D=90°,AC=9 cm,BC=6 cm,则当BD=　　　　cm时,△ABC∽△CDB. 

6.如图,已知A(3,0),B(0,6),且∠ACO=∠BAO,则点C的坐标为　　　　. 

7.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E.求证△ABD∽△CBE.

8.如图,AB∥FC,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD和CB交于点G.

(1)求证：△ADE≌△CFE.

(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长.

【能力提升】

9.如图,点P是Rt△ABC斜边AB上的任意一点(A,B两点除外),过点P作一条直线,使截得的三角形与Rt△ABC相似,这样的直线可以作　　　　条. 

10.如图,点D是△ABC的边AB上一点,连接CD,若AD=2,BD=4,∠ACD=∠B,则AC的长为　　　　. 

11.如图,A,B,C,D依次为一直线上4个点,BC=2,△BCE为等边三角形,☉O过A,D,E三点,且∠AOD=120°.设AB=x,CD=y,则y与x之间的函数关系式为　　　　. 

12.如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,求AB的长度.

【拓展探究】

13.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.

(1)求证：△ADF∽△DEC.

(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.

【答案与解析】

1.C解析:根据三角形内角和定理,得到第一个三角形的第三个内角的度数为180°-40°-60°=80°,然后根据相似三角形的判定定理,有两个角对应相等的两个三角形相似,得到两个三角形相似.故选C.

2.C解析:取①②为一组,由三边对应成比例的两个三角形相似可得这两个三角形相似；取②④为一组,由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得这两个三角形相似；取③④为一组,由两角对应相等的两个三角形相似可得这两个三角形相似.故选C.

3.D解析:因为∠A=∠A,所以添加∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC,由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABP∽△ACB,添加=.由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABP∽△ACB.故选D.

4.解析:∵∠ADC=∠BDE,∠C=∠E,∴△ADC∽△BDE,∴=.∵AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,∴BD=5,DC=3.∴DE===.

5.4解析:∵∠ABC=∠D=90°,∴当=时,△ABC∽△CDB,即BD===4(cm).故填4.

6.解析:∵∠AOC=∠BOA=90°,∠ACO=∠BAO,∴△ACO∽△BAO,∴=,∴OC=,∴C点的坐标是.故填.

7.证明:在△ABC中,AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.∵CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°.又∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBE.

8.(1)证明:∵ AB∥FC,∴∠ADE=∠CFE.∵∠AED=∠CEF,DE=FE,∴△ADE≌△CFE(ASA).　

(2)解:∵△ADE≌△CFE,∴AD=CF.∵AB∥FC,∴△GBD∽△GCF,∴=.又∵GB=2,BC=4,BD=1,∴CF=3=AD.∴AB=AD+BD=3+1=4.

9.3解析:分别过P作AC,BC或AB的垂线.

10.2解析:在△ABC和△ACD中,∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD,∴=,即AC2=AD·AB=AD·(AD+BD)=2×6=12,∴AC=2.故填2.

11.y=解析:连接AE,DE.∵∠AOD=120°,∴优弧AD所对的圆心角为240°,∴∠AED=120°.∵△BCE为等边三角形,∴∠BEC=60°,∴∠AEB+∠CED=60°.又∵∠EAB+∠AEB=60°,

∴∠EAB=∠CED.∵∠ABE=∠ECD=120°,∴△ABE∽△ECD,∴=,即 =,∴y=.故填y=.

12.解:∵AB⊥BD,ED⊥BD,∴∠B=∠D=90°,∴∠A+∠ACB=90°.又∵AC⊥CE,∴∠ACB+

∠DCE=90°,∴∠A=∠DCE,∴Rt△ABC∽Rt△CDE,∴=,而ED=1,BD=4,C为线段BD的中点,∴BC=CD=2,∴AB=4.

12. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠ADF=∠CED,∠B+

∠C=180°.∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C,∴△ADF∽△DEC.　

(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,CD=AB=4.又∵AE⊥BC,∴ AE⊥AD,在Rt△ADE中,DE===6.∵△ADF∽△DEC,∴=,∴=,∴AF=2.

　以生活实例和熟悉的三角尺导入新课,让学生体会生活中处处有数学的同时,激发学生的学习兴趣,本节课是相似三角形判定的最后一个课时,学生已经熟悉探究方法和思路,所以本节课以学生自主学习为主,教师引导为辅完成本节课的学习,学生通过思考、小组合作交流后,类比前面证明三角形相似的方法,完成判定定理3的证明,比较轻松地突破了难点,在学生展示成果后,教师及时点拨和归纳,强化了重点.在探索直角三角形相似的判定方法中,教师及时提醒学生用类比法完成定理的证明,学生在课堂上真正成为主人,体验知识的形成过程,提高学习数学的能力,体验成功的快乐.

　本节课的重点是相似三角形的判定定理3及直角三角形相似的判定方法,教学设计中主要突出学生自主学习,但是在探究定理的过程中,学生的表现没有预想的效果那么好,主要原因是平时课堂教师讲的较多,课堂只是部分学生活跃,造成部分学生在自主学习中没有方向,思维不活跃,导致在课堂上学习效率较低,在以后的教学中,多给学生展示自我的机会,让他们在数学课堂上思维活跃,提高大多数学生的学习能力.