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苏科版七年级下册第12章 证明综合与测试精品同步训练题
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这是一份苏科版七年级下册第12章 证明综合与测试精品同步训练题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知下列四个命题：①对角线互相垂直平分的四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；④对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3．贝贝、晶晶、欢欢三个人参加温州市的数学小论文比赛，他们是来自鹿城、永嘉、瑞安、的选手，并分别获得一、二、三等奖．现在知道：
(1)贝贝不是鹿城的选手
(2)晶晶不是永嘉的选手；
(3)鹿城的选手不是一等奖；
(4)永嘉的选手得二等奖；
(5)晶晶不是三等奖．
根据上述情况可知，欢欢是（ ）的选手，他得的是（ ）等奖．
A．鹿城，三B．瑞安，三C．永嘉，二D．瑞安，一
4．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴．这幢楼住户共订有A、B、C、D、E、F这种报纸，每户至少订了一种报纸．已知赵、钱、孙、李、周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A、B、C、D、E五种报纸在这幢楼里分别有1、4、2、2、2家订房．那么报纸F在这幢楼里有（ ）家订．
A．3B．4C．5D．6
5．对于圆内接四边形ABCD，要证明：“如果∠A≠∠C，那么BD不是直径”当用反证法证明时，第一步应是：假设（ ）
A．∠A≠∠CB．∠A=∠CC．BD不是直径D．BD是直径
6．对于命题“如果∠1+∠2=180°，那么∠1≠∠2”能说明它是假命题的例子（反例）是（ ）
A．∠1=100°，∠2=80°B．∠1=50°，∠2=50°C．∠1=∠2=90°D．∠1=80°，∠2=80°
7．用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设（ ）
A．四边形中有一个内角小于90°B．四边形中每一个内角都小于90°C．四边形中有一个内角大于90°D．四边形中每一个内角都大于90°
8．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（ ）
A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有一个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角
9．把2、4、7、K四张牌分发给四人，每人按照牌面数字记分（K记为13），然后收回重洗，再分发和记分，…，若干次后，发现四人累计各得16、17、21和24分，已知得16分者最后一次得2分，则他在第一次得（ ）分．
A．2B．4C．7D．13
10．有三个饼，一面要烤1分钟，一个锅一次只能烤两个，要烤完三个饼，问最短几分钟搞定？（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等B．如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行
12．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④比正实数小的一定是负实数；⑤两条直线平行，同旁内角相等；⑥立方根等于它本身的数是﹣1，0，1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．相等的角是对顶角C．同旁内角互补，两直线平行D．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角
14．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线段最短D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
15．下列命题中，真命题的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角相等B．内错角相等C．同位角相等D．对顶角相等
二、填空题
16． “等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ．
17．命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
18．命题“任意两个直角都相等”的条件是 ，结论是 ，它是 （真或假）命题．
19．甲、乙、丙、丁四个人一起到餐馆大吃海喝了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三个人，结果乙摆摆手说：“不用了，我反正还欠你40元钱，正好抵了．”丙说：“你把补我的那份给丁吧，我正好欠他90块钱．”于是甲只付钱给丁，一共给了310元．那么，在餐馆付饭钱时丁付了 元．
20．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城 公里．
21．反证法是 证明方法，它是从命题的结论 出发，经过 得出 ，从而证明命题成立．
三、解答题
22．举反例说明下列命题是假命题．
①大于90°的角是钝角；
②负数与整数的和是整数；
③如果a+b是奇数，那么a，b都是奇数．
23．已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合，证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？
24．开动脑筋，巧移硬币；在一个水平桌面上，如图放着6枚硬币．若把左图的形状改成如下图的摆放形状，即围成一圈，中间还有一个能放1枚硬币的空间，但是每次只能移动1枚硬币，同时不能移其他的硬币，并且硬币也不能离开桌面．
请问：我们怎样才能使移动的次数最少呢？
25．细胞分裂
有一种细胞分裂的速度非常快．在最初一分钟，它由1个分裂为2个．再过一分钟，已经分裂的2个又各自分裂成2个，一共就有4个．照这个速度，一小时产生的细胞就可以充满一个瓶子．
同样的细胞，假如最初是由2个开始分裂，也要分裂充满同样的一个瓶子，需要用多长时间呢？（限时：30分钟）
26．如何植树：某人想要在庭院里种10棵树，而且要排5行，每行4棵，他应该怎么种这10棵树？
27．设a，b，c为互不相等的非零实数，求证：方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根．
答案
1．已知下列四个命题：①对角线互相垂直平分的四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；④对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断即可得到结论．
【解答】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以①错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以②错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，所以③正确；
对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，所以④正确．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
2．下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法以及正方形的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形是假命题，利用“筝形”，故本选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故本选项正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是正方形是假命题，应该是菱形，故本选项错误；
D、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形是假命题，一部分等腰梯形也满足对角线相等且互相垂直，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题熟练掌握菱形，矩形以及正方形的判定方法是解题的关键．
3．贝贝、晶晶、欢欢三个人参加温州市的数学小论文比赛，他们是来自鹿城、永嘉、瑞安、的选手，并分别获得一、二、三等奖．现在知道：
(1)贝贝不是鹿城的选手
(2)晶晶不是永嘉的选手；
(3)鹿城的选手不是一等奖；
(4)永嘉的选手得二等奖；
(5)晶晶不是三等奖．
根据上述情况可知，欢欢是（ ）的选手，他得的是（ ）等奖．
A．鹿城，三B．瑞安，三C．永嘉，二D．瑞安，一
【考点】O2：推理与论证．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】由鹿城的选手不是一等奖，永嘉的选手得二等奖，可确定鹿城的选手得三等奖，瑞安的选手得一等奖；再由晶晶不是永嘉的选手，晶晶不是三等奖，可确定晶晶是瑞安的选手，又由贝贝不是鹿城的选手，所以欢欢是鹿城的选手，得三等奖．
【解答】解：已知鹿城的选手不是一等奖，永嘉的选手得二等奖，
所以鹿城的选手得三等奖，瑞安的选手得一等奖，
又晶晶不是永嘉的选手，
那晶晶有可能是鹿城和瑞安的选手，
又鹿城的选手得三等奖，晶晶不是三等奖，
所以晶晶是瑞安的选手，
又贝贝不是鹿城的选手，
所以欢欢是鹿城的选手，
且得三等奖，
故选：A．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证，关键是先由鹿城的选手不是一等奖，永嘉的选手得二等奖，可确定鹿城的选手得三等奖，瑞安的选手得一等奖；再由晶晶不是永嘉的选手，晶晶不是三等奖，可确定晶晶是瑞安的选手，从而得出正确选项．
4．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴．这幢楼住户共订有A、B、C、D、E、F这种报纸，每户至少订了一种报纸．已知赵、钱、孙、李、周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A、B、C、D、E五种报纸在这幢楼里分别有1、4、2、2、2家订房．那么报纸F在这幢楼里有（ ）家订．
A．3B．4C．5D．6
【考点】O2：推理与论证．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】从题意中可以看出，缺少吴家订的报纸种数和报纸F的订户，可将它们设为未知数，然后根据报纸的总数相同来列等量关系；可得出关于两个未知数的等量关系式，然后根据每户至少订一种报纸，可求出报纸F的订户数．
【解答】解：设吴家订的报纸种数为x，报纸F的订户有y户，根据报纸总种数相同，得
1+4+2+2+2+y=2+2+4+3+5+x，
解得y=x+5，
∵每户至少订了一种报纸．
∴x≥1
∴y至少等于6．
∴报纸F共有6家订户．
故选D．
【点评】本题是一道推理论证试题，考查了二元一次不定方程的运用，解决本题的关键是找到等量关系：报纸被订的总份数应该和六户人家订的总数相同．
5．对于圆内接四边形ABCD，要证明：“如果∠A≠∠C，那么BD不是直径”当用反证法证明时，第一步应是：假设（ ）
A．∠A≠∠CB．∠A=∠CC．BD不是直径D．BD是直径
【考点】O3：反证法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
【解答】解：根据反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
可知第一步应是：假设BD是直径．
故选D．
【点评】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．
6．对于命题“如果∠1+∠2=180°，那么∠1≠∠2”能说明它是假命题的例子（反例）是（ ）
A．∠1=100°，∠2=80°B．∠1=50°，∠2=50°C．∠1=∠2=90°D．∠1=80°，∠2=80°
【考点】O3：反证法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A，满足条件∠1+∠2=180°，也满足结论∠1≠∠2，故错误；
B、不满足条件，也不满足结论，故错误；
C、满足条件，不满足结论，故正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故错误．
故选C．
【点评】此题考查的知识点是反证法，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
7．用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设（ ）
A．四边形中有一个内角小于90°B．四边形中每一个内角都小于90°C．四边形中有一个内角大于90°D．四边形中每一个内角都大于90°
【考点】O3：反证法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】至少有一个角不小于90°的反面是每个角都不小于90°，据此即可假设．
【解答】解：用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设：四边形中的每个角都小于90°．
故选B．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（ ）
A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有一个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角
【考点】O3：反证法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．
【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
∴证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．
9．把2、4、7、K四张牌分发给四人，每人按照牌面数字记分（K记为13），然后收回重洗，再分发和记分，…，若干次后，发现四人累计各得16、17、21和24分，已知得16分者最后一次得2分，则他在第一次得（ ）分．
A．2B．4C．7D．13
【考点】O2：推理与论证．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据2，4，7，K一共26分，若干次后，发现四人累计各得16，17，21，24分，即可求出总分得出总共发了3次牌，进而分析即可．
【解答】解：2，4，7，K一共26分，若干次后，发现四人累计各得16，17，21，24分，
总共78分，=3，总共发了3次牌．
已知得16分者最后一次得2分，那么他前2次得分之和为14，他前2次只可能都拿的7分才可能是14．
故选C．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据已知得出总共78分，=3，总共发了3次牌是解题关键．
10．有三个饼，一面要烤1分钟，一个锅一次只能烤两个，要烤完三个饼，问最短几分钟搞定？（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】O2：推理与论证．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】第一次先放进去两个，1分钟后拿出来一个，再把最后一个放进去，1分钟后，一个熟了，再把开始拿出的放进去即可．
【解答】解：第一次先将甲、乙两个饼放进去拷1分钟，然后拿出甲饼，再把丙放进去，拷1分钟后乙饼熟了，拿出，再把甲饼放进去，又1分钟后，甲、丙两个饼都熟了，
所以拷完三个饼最短需3分钟．
故选B．
【点评】本题主要考查了简单的推理问题，能够开拓思维，掌握此类问题的解法．
11．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等B．如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线的性质与判定即可得出答案．
【解答】解：A、内错角相等，假命题；
B、如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角；假命题；
C、在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；真命题；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理；熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键．
12．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④比正实数小的一定是负实数；⑤两条直线平行，同旁内角相等；⑥立方根等于它本身的数是﹣1，0，1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行公理，对顶角的概念，平行线的性质，实数的性质，立方根的概念对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c，是真命题；
②相等的角是对顶角，是假命题，例如角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，两条被截直线不一定是平行线；
④比正实数小的一定是负实数，是假命题，0比正实数小，但0既不是正数也不是负数；
⑤两条直线平行，同旁内角相等，是假命题，应为同旁内角互补；
⑥立方根等于它本身的数是﹣1，0，1，是真命题．
综上所述，真命题有①⑥共2个．
故选B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．相等的角是对顶角C．同旁内角互补，两直线平行D．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线的判定与性质、对顶角的性质、补角的定义分别对每一项进行判断即可．
【解答】解：A、两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；
C、同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；
D、互补的两个角不一定一个是锐角，一个是钝角，有可能两个角都是直角，故本选项错误；
故选C．
【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线段最短D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线的性质、垂线的性质、垂线段的性质、点到直线的距离的概念判断即可．
【解答】解：同位角不一定相等，A是假命题；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，B是假命题；
垂线段最短，C是真命题；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，D是假命题，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
15．下列命题中，真命题的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角相等B．内错角相等C．同位角相等D．对顶角相等
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、两条直线平行，同旁内角互补，故A不符合题意；
B、内错角不一定相等，故B不符合题意；
C、同位角不一定相等，故C不符合题意；
D、对顶角相等，故D符合题意；
故选：D．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
16． “等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】将原命题的条件与结论互换即可．
【解答】解：其逆命题是：锐角三角形是等边三角形．
【点评】此题主要考查学生对逆命题的掌握情况．
17．命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据互逆命题的定义，把原命题的题设与结论互换即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么两个角都是直角．
故答案为：如果两个角相等，那么两个角都是直角．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
18．命题“任意两个直角都相等”的条件是 ，结论是 ，它是 （真或假）命题．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】任何一个命题都是由条件和结论组成．
【解答】解：“任意两个直角都相等”的条件是：两个角是直角，结论是：相等．
它是真命题．
【点评】本题考查了命题的条件和结论的叙述．
19．甲、乙、丙、丁四个人一起到餐馆大吃海喝了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三个人，结果乙摆摆手说：“不用了，我反正还欠你40元钱，正好抵了．”丙说：“你把补我的那份给丁吧，我正好欠他90块钱．”于是甲只付钱给丁，一共给了310元．那么，在餐馆付饭钱时丁付了 元．
【考点】O2：推理与论证．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由甲只付钱给丁，一共给了310元，还有抵消了原来甲欠他的40元钱，即这次饭费每人350元，其中甲给乙出了40元，丁给丙出了90元，进而得出答案．
【解答】解：由甲只付钱给丁，一共给了310元，还有抵消了原来甲欠他的40元钱，
故本次饭费每人350元，
∴一共饭费为：350×4=1400（元），
因为丁给丙一块付费，则丁一共付费700﹣90﹣40=570（元）．
故答案为：570．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意得出4人之间费用关系是解题关键．
20．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城 公里．
【考点】O2：推理与论证．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】可在一条线段上简单的作出图形，考虑两车第二次相遇的情形，即甲还没有到达B城，便与C相遇于D处，其实是乙到达A城后，在回程途中追上甲，这样甲到达D，B之间的E处时，乙到达B城折回与甲第三次相遇，又其速度不变，所以设法求出其速度之间的关系即此题解题的关键．
【解答】解：设两车首次相遇于C处，第二次相遇于D处，第三次相遇于E处，考虑两车第二次相遇的情形，如图1，
甲还没有到达B城，便与C相遇于D处，其实是乙到达A城后，在回程途中追上甲，
这样甲到达D，B之间的E处时，乙到达B城折回与甲第三次相遇，
则两车首次相遇时合开的路程记为S=AB，
第一、三次相遇之间，甲开行距离为CE，乙开行距离为CA+AB+BE，两车合开的路程为2S，
由于速度不变，甲应开行了2×36=72公里，即CE=72公里，
而题设EB=36公里，
所以S=AC+CE+EB=36+72+36=144公里，BC=S﹣AC=144﹣36=108公里，甲、乙速度之比=36：108=1：3，
于是易算得两车第一次相遇于C后，乙到达A站时，甲到达F处，CF=12公里，如图2，
从而甲在回程图中追赶乙，需从A起，追赶48+48÷（3﹣1）=72公里，即AD=72公里，从而知DB=S﹣AD=144﹣72=72公里．
故答案为：72．
【点评】本题主要考查了路程问题中的追及相遇问题，对于此类应用问题，能够通过作出一个简单的图形帮助理清思路，从而求解．
21．反证法是 证明方法，它是从命题的结论 出发，经过 得出 ，从而证明命题成立．
【考点】O3：反证法．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据反证法的证明步骤，从命题的结论反面出发，经过推理论证得出 矛盾，从而证明命题成立，直接可以得出答案．
【解答】解：根据反证法证明的步骤：从命题的结论反面出发，经过推理论证得出 矛盾，从而证明命题成立．
故答案为：间接，反面，推理论证，矛盾．
【点评】此题主要考查了反证法的证明步骤，此考点是中考中热点问题，同学们应熟练掌握．
22．举反例说明下列命题是假命题．
①大于90°的角是钝角；
②负数与整数的和是整数；
③如果a+b是奇数，那么a，b都是奇数．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】利用周角对①进行判断；利用﹣1.5与1的和对②进行判断；利用2与3的和对③进行判断．
【解答】解：①反例为：360°；
②反例为：﹣1.5+1=0.5；
③反例为：2+3=5，而2为偶数．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可
23．已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合，证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？
【考点】O1：命题与定理；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程，最后写出逆命题即可．
【解答】已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
求证：∠BAD=∠CAD．
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD．
它的逆命题是：底边上的中线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形，成立．
【点评】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
24．开动脑筋，巧移硬币；在一个水平桌面上，如图放着6枚硬币．若把左图的形状改成如下图的摆放形状，即围成一圈，中间还有一个能放1枚硬币的空间，但是每次只能移动1枚硬币，同时不能移其他的硬币，并且硬币也不能离开桌面．
请问：我们怎样才能使移动的次数最少呢？
【考点】O2：推理与论证．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据题目要求首先移动标号4的硬币，再移动标号5的硬币，最后移动标号为1的硬币，即可得达到要求．
【解答】解：如图所示：只需3步就可以达到目的．
．
【点评】此题主要考查了推理论证的实际应用，根据题目要求第二次必须移出硬币5是解题关键．
25．细胞分裂
有一种细胞分裂的速度非常快．在最初一分钟，它由1个分裂为2个．再过一分钟，已经分裂的2个又各自分裂成2个，一共就有4个．照这个速度，一小时产生的细胞就可以充满一个瓶子．
同样的细胞，假如最初是由2个开始分裂，也要分裂充满同样的一个瓶子，需要用多长时间呢？（限时：30分钟）
【考点】O2：推理与论证．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】由于1个分裂为2个．再过一分钟，就有4个细胞，那么60分钟就产生260个细胞，即充满一个瓶子需要260个细胞，若最初是由2个开始分裂，则只要59分钟可产生260个细胞．
【解答】解：设由2个开始分裂，也要分裂充满同样的一个瓶子，需要用x分钟，
∵1个分裂为2个，一小时产生的细胞为260个，即充满一个瓶子需要260个细胞，
∴2x+1=260，解得x=59，
即最初是由2个开始分裂，也要分裂充满同样的一个瓶子，需要用59分钟．
【点评】本题考查了推论与论证：推论就是用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊；论证用论据证明论题的真实性．
26．如何植树：某人想要在庭院里种10棵树，而且要排5行，每行4棵，他应该怎么种这10棵树？
【考点】O2：推理与论证．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】按五角星形来排：五角星五个顶点连线，连成五角星形，在五个顶点及连线的交叉点各排一棵树．
【解答】解：要在庭院里种10棵树，而且要排5行，每行4棵，
示意图如下：
【点评】此题主要考查了推理论证，本题不能按照固有的方法求解，根据五角星的特点进行求解是解题关键．
27．设a，b，c为互不相等的非零实数，求证：方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根．
【考点】O3：反证法；AA：根的判别式．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】用反证法求解；先设三个方程都有两个相等的实数根，则三个方程的△=0，经过推导得出与已知互相矛盾，从而证明原结论成立．
【解答】证明：假设题中的三个方程都有两个相等的实数根，不妨设这三个方程的根的判别式为△1，△2，△3，
则有．
由①+②+③得：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=0，
有2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，
∴a=b=c，这与已知a，b，c为互不相等的非零实数矛盾，
故题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根．
【点评】考查根的判别式，学习反证法的应用．
1．已知下列四个命题：①对角线互相垂直平分的四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；④对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3．贝贝、晶晶、欢欢三个人参加温州市的数学小论文比赛，他们是来自鹿城、永嘉、瑞安、的选手，并分别获得一、二、三等奖．现在知道：
(1)贝贝不是鹿城的选手
(2)晶晶不是永嘉的选手；
(3)鹿城的选手不是一等奖；
(4)永嘉的选手得二等奖；
(5)晶晶不是三等奖．
根据上述情况可知，欢欢是（ ）的选手，他得的是（ ）等奖．
A．鹿城，三B．瑞安，三C．永嘉，二D．瑞安，一
4．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴．这幢楼住户共订有A、B、C、D、E、F这种报纸，每户至少订了一种报纸．已知赵、钱、孙、李、周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A、B、C、D、E五种报纸在这幢楼里分别有1、4、2、2、2家订房．那么报纸F在这幢楼里有（ ）家订．
A．3B．4C．5D．6
5．对于圆内接四边形ABCD，要证明：“如果∠A≠∠C，那么BD不是直径”当用反证法证明时，第一步应是：假设（ ）
A．∠A≠∠CB．∠A=∠CC．BD不是直径D．BD是直径
6．对于命题“如果∠1+∠2=180°，那么∠1≠∠2”能说明它是假命题的例子（反例）是（ ）
A．∠1=100°，∠2=80°B．∠1=50°，∠2=50°C．∠1=∠2=90°D．∠1=80°，∠2=80°
7．用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设（ ）
A．四边形中有一个内角小于90°B．四边形中每一个内角都小于90°C．四边形中有一个内角大于90°D．四边形中每一个内角都大于90°
8．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（ ）
A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有一个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角
9．把2、4、7、K四张牌分发给四人，每人按照牌面数字记分（K记为13），然后收回重洗，再分发和记分，…，若干次后，发现四人累计各得16、17、21和24分，已知得16分者最后一次得2分，则他在第一次得（ ）分．
A．2B．4C．7D．13
10．有三个饼，一面要烤1分钟，一个锅一次只能烤两个，要烤完三个饼，问最短几分钟搞定？（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等B．如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行
12．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④比正实数小的一定是负实数；⑤两条直线平行，同旁内角相等；⑥立方根等于它本身的数是﹣1，0，1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．相等的角是对顶角C．同旁内角互补，两直线平行D．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角
14．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线段最短D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
15．下列命题中，真命题的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角相等B．内错角相等C．同位角相等D．对顶角相等
二、填空题
16． “等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ．
17．命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
18．命题“任意两个直角都相等”的条件是 ，结论是 ，它是 （真或假）命题．
19．甲、乙、丙、丁四个人一起到餐馆大吃海喝了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三个人，结果乙摆摆手说：“不用了，我反正还欠你40元钱，正好抵了．”丙说：“你把补我的那份给丁吧，我正好欠他90块钱．”于是甲只付钱给丁，一共给了310元．那么，在餐馆付饭钱时丁付了 元．
20．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城 公里．
21．反证法是 证明方法，它是从命题的结论 出发，经过 得出 ，从而证明命题成立．
三、解答题
22．举反例说明下列命题是假命题．
①大于90°的角是钝角；
②负数与整数的和是整数；
③如果a+b是奇数，那么a，b都是奇数．
23．已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合，证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？
24．开动脑筋，巧移硬币；在一个水平桌面上，如图放着6枚硬币．若把左图的形状改成如下图的摆放形状，即围成一圈，中间还有一个能放1枚硬币的空间，但是每次只能移动1枚硬币，同时不能移其他的硬币，并且硬币也不能离开桌面．
请问：我们怎样才能使移动的次数最少呢？
25．细胞分裂
有一种细胞分裂的速度非常快．在最初一分钟，它由1个分裂为2个．再过一分钟，已经分裂的2个又各自分裂成2个，一共就有4个．照这个速度，一小时产生的细胞就可以充满一个瓶子．
同样的细胞，假如最初是由2个开始分裂，也要分裂充满同样的一个瓶子，需要用多长时间呢？（限时：30分钟）
26．如何植树：某人想要在庭院里种10棵树，而且要排5行，每行4棵，他应该怎么种这10棵树？
27．设a，b，c为互不相等的非零实数，求证：方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根．
答案
1．已知下列四个命题：①对角线互相垂直平分的四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；④对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断即可得到结论．
【解答】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以①错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以②错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，所以③正确；
对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，所以④正确．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
2．下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法以及正方形的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形是假命题，利用“筝形”，故本选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故本选项正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是正方形是假命题，应该是菱形，故本选项错误；
D、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形是假命题，一部分等腰梯形也满足对角线相等且互相垂直，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题熟练掌握菱形，矩形以及正方形的判定方法是解题的关键．
3．贝贝、晶晶、欢欢三个人参加温州市的数学小论文比赛，他们是来自鹿城、永嘉、瑞安、的选手，并分别获得一、二、三等奖．现在知道：
(1)贝贝不是鹿城的选手
(2)晶晶不是永嘉的选手；
(3)鹿城的选手不是一等奖；
(4)永嘉的选手得二等奖；
(5)晶晶不是三等奖．
根据上述情况可知，欢欢是（ ）的选手，他得的是（ ）等奖．
A．鹿城，三B．瑞安，三C．永嘉，二D．瑞安，一
【考点】O2：推理与论证．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】由鹿城的选手不是一等奖，永嘉的选手得二等奖，可确定鹿城的选手得三等奖，瑞安的选手得一等奖；再由晶晶不是永嘉的选手，晶晶不是三等奖，可确定晶晶是瑞安的选手，又由贝贝不是鹿城的选手，所以欢欢是鹿城的选手，得三等奖．
【解答】解：已知鹿城的选手不是一等奖，永嘉的选手得二等奖，
所以鹿城的选手得三等奖，瑞安的选手得一等奖，
又晶晶不是永嘉的选手，
那晶晶有可能是鹿城和瑞安的选手，
又鹿城的选手得三等奖，晶晶不是三等奖，
所以晶晶是瑞安的选手，
又贝贝不是鹿城的选手，
所以欢欢是鹿城的选手，
且得三等奖，
故选：A．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证，关键是先由鹿城的选手不是一等奖，永嘉的选手得二等奖，可确定鹿城的选手得三等奖，瑞安的选手得一等奖；再由晶晶不是永嘉的选手，晶晶不是三等奖，可确定晶晶是瑞安的选手，从而得出正确选项．
4．一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴．这幢楼住户共订有A、B、C、D、E、F这种报纸，每户至少订了一种报纸．已知赵、钱、孙、李、周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A、B、C、D、E五种报纸在这幢楼里分别有1、4、2、2、2家订房．那么报纸F在这幢楼里有（ ）家订．
A．3B．4C．5D．6
【考点】O2：推理与论证．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】从题意中可以看出，缺少吴家订的报纸种数和报纸F的订户，可将它们设为未知数，然后根据报纸的总数相同来列等量关系；可得出关于两个未知数的等量关系式，然后根据每户至少订一种报纸，可求出报纸F的订户数．
【解答】解：设吴家订的报纸种数为x，报纸F的订户有y户，根据报纸总种数相同，得
1+4+2+2+2+y=2+2+4+3+5+x，
解得y=x+5，
∵每户至少订了一种报纸．
∴x≥1
∴y至少等于6．
∴报纸F共有6家订户．
故选D．
【点评】本题是一道推理论证试题，考查了二元一次不定方程的运用，解决本题的关键是找到等量关系：报纸被订的总份数应该和六户人家订的总数相同．
5．对于圆内接四边形ABCD，要证明：“如果∠A≠∠C，那么BD不是直径”当用反证法证明时，第一步应是：假设（ ）
A．∠A≠∠CB．∠A=∠CC．BD不是直径D．BD是直径
【考点】O3：反证法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
【解答】解：根据反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
可知第一步应是：假设BD是直径．
故选D．
【点评】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．
6．对于命题“如果∠1+∠2=180°，那么∠1≠∠2”能说明它是假命题的例子（反例）是（ ）
A．∠1=100°，∠2=80°B．∠1=50°，∠2=50°C．∠1=∠2=90°D．∠1=80°，∠2=80°
【考点】O3：反证法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A，满足条件∠1+∠2=180°，也满足结论∠1≠∠2，故错误；
B、不满足条件，也不满足结论，故错误；
C、满足条件，不满足结论，故正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故错误．
故选C．
【点评】此题考查的知识点是反证法，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
7．用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设（ ）
A．四边形中有一个内角小于90°B．四边形中每一个内角都小于90°C．四边形中有一个内角大于90°D．四边形中每一个内角都大于90°
【考点】O3：反证法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】至少有一个角不小于90°的反面是每个角都不小于90°，据此即可假设．
【解答】解：用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设：四边形中的每个角都小于90°．
故选B．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（ ）
A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有一个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角
【考点】O3：反证法．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．
【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
∴证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．
9．把2、4、7、K四张牌分发给四人，每人按照牌面数字记分（K记为13），然后收回重洗，再分发和记分，…，若干次后，发现四人累计各得16、17、21和24分，已知得16分者最后一次得2分，则他在第一次得（ ）分．
A．2B．4C．7D．13
【考点】O2：推理与论证．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据2，4，7，K一共26分，若干次后，发现四人累计各得16，17，21，24分，即可求出总分得出总共发了3次牌，进而分析即可．
【解答】解：2，4，7，K一共26分，若干次后，发现四人累计各得16，17，21，24分，
总共78分，=3，总共发了3次牌．
已知得16分者最后一次得2分，那么他前2次得分之和为14，他前2次只可能都拿的7分才可能是14．
故选C．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据已知得出总共78分，=3，总共发了3次牌是解题关键．
10．有三个饼，一面要烤1分钟，一个锅一次只能烤两个，要烤完三个饼，问最短几分钟搞定？（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】O2：推理与论证．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】第一次先放进去两个，1分钟后拿出来一个，再把最后一个放进去，1分钟后，一个熟了，再把开始拿出的放进去即可．
【解答】解：第一次先将甲、乙两个饼放进去拷1分钟，然后拿出甲饼，再把丙放进去，拷1分钟后乙饼熟了，拿出，再把甲饼放进去，又1分钟后，甲、丙两个饼都熟了，
所以拷完三个饼最短需3分钟．
故选B．
【点评】本题主要考查了简单的推理问题，能够开拓思维，掌握此类问题的解法．
11．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等B．如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线的性质与判定即可得出答案．
【解答】解：A、内错角相等，假命题；
B、如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角；假命题；
C、在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；真命题；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理；熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键．
12．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④比正实数小的一定是负实数；⑤两条直线平行，同旁内角相等；⑥立方根等于它本身的数是﹣1，0，1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行公理，对顶角的概念，平行线的性质，实数的性质，立方根的概念对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c，是真命题；
②相等的角是对顶角，是假命题，例如角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，两条被截直线不一定是平行线；
④比正实数小的一定是负实数，是假命题，0比正实数小，但0既不是正数也不是负数；
⑤两条直线平行，同旁内角相等，是假命题，应为同旁内角互补；
⑥立方根等于它本身的数是﹣1，0，1，是真命题．
综上所述，真命题有①⑥共2个．
故选B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．相等的角是对顶角C．同旁内角互补，两直线平行D．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线的判定与性质、对顶角的性质、补角的定义分别对每一项进行判断即可．
【解答】解：A、两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；
C、同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；
D、互补的两个角不一定一个是锐角，一个是钝角，有可能两个角都是直角，故本选项错误；
故选C．
【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等B．有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂线段最短D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线的性质、垂线的性质、垂线段的性质、点到直线的距离的概念判断即可．
【解答】解：同位角不一定相等，A是假命题；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，B是假命题；
垂线段最短，C是真命题；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，D是假命题，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
15．下列命题中，真命题的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角相等B．内错角相等C．同位角相等D．对顶角相等
【考点】O1：命题与定理．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、两条直线平行，同旁内角互补，故A不符合题意；
B、内错角不一定相等，故B不符合题意；
C、同位角不一定相等，故C不符合题意；
D、对顶角相等，故D符合题意；
故选：D．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
16． “等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】将原命题的条件与结论互换即可．
【解答】解：其逆命题是：锐角三角形是等边三角形．
【点评】此题主要考查学生对逆命题的掌握情况．
17．命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据互逆命题的定义，把原命题的题设与结论互换即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么两个角都是直角．
故答案为：如果两个角相等，那么两个角都是直角．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
18．命题“任意两个直角都相等”的条件是 ，结论是 ，它是 （真或假）命题．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】任何一个命题都是由条件和结论组成．
【解答】解：“任意两个直角都相等”的条件是：两个角是直角，结论是：相等．
它是真命题．
【点评】本题考查了命题的条件和结论的叙述．
19．甲、乙、丙、丁四个人一起到餐馆大吃海喝了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三个人，结果乙摆摆手说：“不用了，我反正还欠你40元钱，正好抵了．”丙说：“你把补我的那份给丁吧，我正好欠他90块钱．”于是甲只付钱给丁，一共给了310元．那么，在餐馆付饭钱时丁付了 元．
【考点】O2：推理与论证．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由甲只付钱给丁，一共给了310元，还有抵消了原来甲欠他的40元钱，即这次饭费每人350元，其中甲给乙出了40元，丁给丙出了90元，进而得出答案．
【解答】解：由甲只付钱给丁，一共给了310元，还有抵消了原来甲欠他的40元钱，
故本次饭费每人350元，
∴一共饭费为：350×4=1400（元），
因为丁给丙一块付费，则丁一共付费700﹣90﹣40=570（元）．
故答案为：570．
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意得出4人之间费用关系是解题关键．
20．甲、乙两车在A、B两城不断来回开行，速度不变（忽略掉头等时间）．其中甲车从A城开出，乙车从B城开出，两车在距A城36公里处第一次相遇．当甲车还没有到达B城时，两车又在距B城若干公里的某处第二次相遇，并且后来再在距B城36公里处第三次相遇．那么第二次相遇时，两车距离B城 公里．
【考点】O2：推理与论证．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】可在一条线段上简单的作出图形，考虑两车第二次相遇的情形，即甲还没有到达B城，便与C相遇于D处，其实是乙到达A城后，在回程途中追上甲，这样甲到达D，B之间的E处时，乙到达B城折回与甲第三次相遇，又其速度不变，所以设法求出其速度之间的关系即此题解题的关键．
【解答】解：设两车首次相遇于C处，第二次相遇于D处，第三次相遇于E处，考虑两车第二次相遇的情形，如图1，
甲还没有到达B城，便与C相遇于D处，其实是乙到达A城后，在回程途中追上甲，
这样甲到达D，B之间的E处时，乙到达B城折回与甲第三次相遇，
则两车首次相遇时合开的路程记为S=AB，
第一、三次相遇之间，甲开行距离为CE，乙开行距离为CA+AB+BE，两车合开的路程为2S，
由于速度不变，甲应开行了2×36=72公里，即CE=72公里，
而题设EB=36公里，
所以S=AC+CE+EB=36+72+36=144公里，BC=S﹣AC=144﹣36=108公里，甲、乙速度之比=36：108=1：3，
于是易算得两车第一次相遇于C后，乙到达A站时，甲到达F处，CF=12公里，如图2，
从而甲在回程图中追赶乙，需从A起，追赶48+48÷（3﹣1）=72公里，即AD=72公里，从而知DB=S﹣AD=144﹣72=72公里．
故答案为：72．
【点评】本题主要考查了路程问题中的追及相遇问题，对于此类应用问题，能够通过作出一个简单的图形帮助理清思路，从而求解．
21．反证法是 证明方法，它是从命题的结论 出发，经过 得出 ，从而证明命题成立．
【考点】O3：反证法．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】根据反证法的证明步骤，从命题的结论反面出发，经过推理论证得出 矛盾，从而证明命题成立，直接可以得出答案．
【解答】解：根据反证法证明的步骤：从命题的结论反面出发，经过推理论证得出 矛盾，从而证明命题成立．
故答案为：间接，反面，推理论证，矛盾．
【点评】此题主要考查了反证法的证明步骤，此考点是中考中热点问题，同学们应熟练掌握．
22．举反例说明下列命题是假命题．
①大于90°的角是钝角；
②负数与整数的和是整数；
③如果a+b是奇数，那么a，b都是奇数．
【考点】O1：命题与定理．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】利用周角对①进行判断；利用﹣1.5与1的和对②进行判断；利用2与3的和对③进行判断．
【解答】解：①反例为：360°；
②反例为：﹣1.5+1=0.5；
③反例为：2+3=5，而2为偶数．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可
23．已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合，证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？
【考点】O1：命题与定理；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程，最后写出逆命题即可．
【解答】已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
求证：∠BAD=∠CAD．
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD．
它的逆命题是：底边上的中线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形，成立．
【点评】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
24．开动脑筋，巧移硬币；在一个水平桌面上，如图放着6枚硬币．若把左图的形状改成如下图的摆放形状，即围成一圈，中间还有一个能放1枚硬币的空间，但是每次只能移动1枚硬币，同时不能移其他的硬币，并且硬币也不能离开桌面．
请问：我们怎样才能使移动的次数最少呢？
【考点】O2：推理与论证．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据题目要求首先移动标号4的硬币，再移动标号5的硬币，最后移动标号为1的硬币，即可得达到要求．
【解答】解：如图所示：只需3步就可以达到目的．
．
【点评】此题主要考查了推理论证的实际应用，根据题目要求第二次必须移出硬币5是解题关键．
25．细胞分裂
有一种细胞分裂的速度非常快．在最初一分钟，它由1个分裂为2个．再过一分钟，已经分裂的2个又各自分裂成2个，一共就有4个．照这个速度，一小时产生的细胞就可以充满一个瓶子．
同样的细胞，假如最初是由2个开始分裂，也要分裂充满同样的一个瓶子，需要用多长时间呢？（限时：30分钟）
【考点】O2：推理与论证．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】由于1个分裂为2个．再过一分钟，就有4个细胞，那么60分钟就产生260个细胞，即充满一个瓶子需要260个细胞，若最初是由2个开始分裂，则只要59分钟可产生260个细胞．
【解答】解：设由2个开始分裂，也要分裂充满同样的一个瓶子，需要用x分钟，
∵1个分裂为2个，一小时产生的细胞为260个，即充满一个瓶子需要260个细胞，
∴2x+1=260，解得x=59，
即最初是由2个开始分裂，也要分裂充满同样的一个瓶子，需要用59分钟．
【点评】本题考查了推论与论证：推论就是用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊；论证用论据证明论题的真实性．
26．如何植树：某人想要在庭院里种10棵树，而且要排5行，每行4棵，他应该怎么种这10棵树？
【考点】O2：推理与论证．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】按五角星形来排：五角星五个顶点连线，连成五角星形，在五个顶点及连线的交叉点各排一棵树．
【解答】解：要在庭院里种10棵树，而且要排5行，每行4棵，
示意图如下：
【点评】此题主要考查了推理论证，本题不能按照固有的方法求解，根据五角星的特点进行求解是解题关键．
27．设a，b，c为互不相等的非零实数，求证：方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根．
【考点】O3：反证法；AA：根的判别式．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】用反证法求解；先设三个方程都有两个相等的实数根，则三个方程的△=0，经过推导得出与已知互相矛盾，从而证明原结论成立．
【解答】证明：假设题中的三个方程都有两个相等的实数根，不妨设这三个方程的根的判别式为△1，△2，△3，
则有．
由①+②+③得：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=0，
有2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，
∴a=b=c，这与已知a，b，c为互不相等的非零实数矛盾，
故题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根．
【点评】考查根的判别式，学习反证法的应用．
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