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人教版中考数学第一轮考点过关：第三单元函数课时15二次函数的实际应用
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这是一份人教版中考数学第一轮考点过关：第三单元函数课时15二次函数的实际应用，共41页。PPT课件主要包含了二次函数的应用，题组一必会题，图15-1，图15-2，图15-3，题组二易错题，图15-4，图15-5，图15-6，如何定价利润最大等内容，欢迎下载使用。
课时15 二次函数的实际应用
考点一 建立二次函数模型解决问题
【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.
1.表格类观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.
考点二 图象信息类问题
2.如图15-2,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是( )A.60 m2B.63 m2C.64 m2D.66 m2
[解析]设BC=x m,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为y m2.根据题意,得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64.当x=8时,ymax=64,故所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.故选C.
3.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt,其图象如图15-3所示.若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等,则下列时刻中,小球的高度最高的是( )A.第3秒B.第3.5秒C.第4.2秒D.第6.5秒
4.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式.(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?
解:(1)w=(x-30)·y=(x-30)·(-x+60)=-x2+90x-1800.∴w与x的函数关系式为w=-x2+90x-1800(30≤x≤60).
4.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225.∵-1<0,∴当x=45时,w有最大值,w的最大值为225.答:这种双肩包销售单价定为45元时,每天的销售利润最大,最大销售利润是225元.
4.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?
(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200.解得x1=40,x2=50.∵50>42,∴x2=50不符合题意,应舍去.答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元.
【失分点】在具体实际问题确定最值时,忽略自变量的取值范围对最值的影响.
5.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则平均每天可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则该种蔬菜的价格定为 元/千克时,每天获利最大,最大利润为 元.
[解析]设定价为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元,∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)×10=-200x+1020,设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50,∵a=-2<0,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大,∵物价局规定蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大获利=-2×(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).
考向一 二次函数在销售方面的应用
例1 九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元/件.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是 元; ②月销量是 件.(直接写出结果) (2)设销售该运动服的月利润为w元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
例1 九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元/件.(2)设销售该运动服的月利润为w元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
(2)由题意,得w=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800.∴当售价为130元/件时,当月的利润最大,最大利润是9800元.
精练 [2019·梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围;(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润.
精练[2019·梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围;
(2)要使当天利润不低于240元,则y≥240,由y=-10x2+210x-800=240,解得x1=8,x2=13,∵-10<0,抛物线的开口向下,∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13.
精练[2019·梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润.
考向二 利用二次函数解决抛物线形问题
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m.如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离的最小值是多少米?
考向三 二次函数在几何图形中的应用
例3 [2018·福建A卷]如图15-5,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
例3 [2018·福建A卷]如图15-5,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
精练 在美化校园的活动中,某综合实践小组的同学借如图15-6所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD(篱笆只围AB,BC两边).设AB=x m.(1)若想围得花圃面积为192 cm2,求x的值;(2)若在点P处有一棵小树与墙CD,AD的距离分别为15 m和6 m, 要将这棵树围在花圃内(含边界,不考虑树干的粗细),求花圃面积S的最大值.
解:(1)∵AB=x m,则BC=(28-x) m,∴x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16,答:x的值为12或16.
精练 在美化校园的活动中,某综合实践小组的同学借如图15-6所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD(篱笆只围AB,BC两边).设AB=x m.(2)若在点P处有一棵小树与墙CD,AD的距离分别为15 m和6 m, 要将这棵树围在花圃内(含边界,不考虑树干的粗细),求花圃面积S的最大值.
教材母题——人教版九上P50探究2某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知该商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
解:①设每件涨价x元,每星期售出商品的利润y随x变化的解析式为y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),自变量x的取值范围是0≤x≤30,∴y=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250.因此,当x=5时,y取得最大值为6250元.②设每件降价x元,每星期售出商品的利润y随x变化的解析式为y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x)·(300+20x),自变量x的取值范围是0≤x≤20,∴y=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125.因此,当x=2.5时,y取得最大值为6125元.综上所述,当商品售价定为每件65元时,一周能获得最大利润6250元.
【方法点析】本题是一道较复杂的市场营销问题,需要分情况讨论,建立函数解析式,在不同的情况下,必须注意自变量的取值范围,以便在这个取值范围内,利用函数最值解决问题.
精练 怡然美食店的A,B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元,18元,这两种菜每天的营业额共为1120元,总利润为280元.(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份?(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份.如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少?
精练 怡然美食店的A,B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元,18元,这两种菜每天的营业额共为1120元,总利润为280元.(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份.如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少?
课时15 二次函数的实际应用
考点一 建立二次函数模型解决问题
【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.
1.表格类观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.
考点二 图象信息类问题
2.如图15-2,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是( )A.60 m2B.63 m2C.64 m2D.66 m2
[解析]设BC=x m,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为y m2.根据题意,得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64.当x=8时,ymax=64,故所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.故选C.
3.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt,其图象如图15-3所示.若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等,则下列时刻中,小球的高度最高的是( )A.第3秒B.第3.5秒C.第4.2秒D.第6.5秒
4.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式.(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?
解:(1)w=(x-30)·y=(x-30)·(-x+60)=-x2+90x-1800.∴w与x的函数关系式为w=-x2+90x-1800(30≤x≤60).
4.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225.∵-1<0,∴当x=45时,w有最大值,w的最大值为225.答:这种双肩包销售单价定为45元时,每天的销售利润最大,最大销售利润是225元.
4.某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?
(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200.解得x1=40,x2=50.∵50>42,∴x2=50不符合题意,应舍去.答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元.
【失分点】在具体实际问题确定最值时,忽略自变量的取值范围对最值的影响.
5.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则平均每天可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则该种蔬菜的价格定为 元/千克时,每天获利最大,最大利润为 元.
[解析]设定价为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元,∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)×10=-200x+1020,设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50,∵a=-2<0,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大,∵物价局规定蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大获利=-2×(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).
考向一 二次函数在销售方面的应用
例1 九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元/件.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是 元; ②月销量是 件.(直接写出结果) (2)设销售该运动服的月利润为w元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
例1 九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元/件.(2)设销售该运动服的月利润为w元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
(2)由题意,得w=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800.∴当售价为130元/件时,当月的利润最大,最大利润是9800元.
精练 [2019·梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围;(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润.
精练[2019·梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围;
(2)要使当天利润不低于240元,则y≥240,由y=-10x2+210x-800=240,解得x1=8,x2=13,∵-10<0,抛物线的开口向下,∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13.
精练[2019·梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润.
考向二 利用二次函数解决抛物线形问题
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m.如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离的最小值是多少米?
考向三 二次函数在几何图形中的应用
例3 [2018·福建A卷]如图15-5,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
例3 [2018·福建A卷]如图15-5,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
精练 在美化校园的活动中,某综合实践小组的同学借如图15-6所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD(篱笆只围AB,BC两边).设AB=x m.(1)若想围得花圃面积为192 cm2,求x的值;(2)若在点P处有一棵小树与墙CD,AD的距离分别为15 m和6 m, 要将这棵树围在花圃内(含边界,不考虑树干的粗细),求花圃面积S的最大值.
解:(1)∵AB=x m,则BC=(28-x) m,∴x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16,答:x的值为12或16.
精练 在美化校园的活动中,某综合实践小组的同学借如图15-6所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形的花圃ABCD(篱笆只围AB,BC两边).设AB=x m.(2)若在点P处有一棵小树与墙CD,AD的距离分别为15 m和6 m, 要将这棵树围在花圃内(含边界,不考虑树干的粗细),求花圃面积S的最大值.
教材母题——人教版九上P50探究2某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知该商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
解:①设每件涨价x元,每星期售出商品的利润y随x变化的解析式为y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),自变量x的取值范围是0≤x≤30,∴y=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250.因此,当x=5时,y取得最大值为6250元.②设每件降价x元,每星期售出商品的利润y随x变化的解析式为y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x)·(300+20x),自变量x的取值范围是0≤x≤20,∴y=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125.因此,当x=2.5时,y取得最大值为6125元.综上所述,当商品售价定为每件65元时,一周能获得最大利润6250元.
【方法点析】本题是一道较复杂的市场营销问题,需要分情况讨论,建立函数解析式,在不同的情况下,必须注意自变量的取值范围,以便在这个取值范围内,利用函数最值解决问题.
精练 怡然美食店的A,B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元,18元,这两种菜每天的营业额共为1120元,总利润为280元.(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份?(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份.如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少?
精练 怡然美食店的A,B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元,18元,这两种菜每天的营业额共为1120元,总利润为280元.(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份.如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少?
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