2021年高考数学解答题专项练习《统计与概率》五(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习

《统计与概率》五

1.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

2.某技术公司新开发一种产品，分别由A，B两条生产线生产.为了检测该产品的某项质量指标值(记为Z)，现随机抽取这两条生产线的产品各100件，由检测结果得到如下频率分布直方图：

(1)该公司规定：当Z≥76时，产品为正品；当Z<76时，产品为次品.试估计A，B两条生产线生产的产品正品率分别是多少？

(2)分别估计A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数(同一组数据中的数据用该组区间的中点值作代表)，从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？

(3)根据(2)的结果，能否认为该公司生产的产品符合“质量指标值不低于84的产品至少要占全部产品40%”的规定？

3.某单位组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下： 

（1）根据表中数据判断能否有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；   

（2）活动第二周，单位为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？说明理由。

4.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

5.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．

(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．

6.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：K2=，

7.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；

(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

8.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

9.某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．

参考公式与临界值表：K2=.

10.设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1，2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)=ax，g(x)=．

(1)若a∈{1，4}，b∈{－1，1，4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；

(2)若a∈[1，4]，b∈[1，4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．

答案解析

11.解：

用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，

则基本事件空间Ω与点集S={(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4=16，

所以基本事件总数n=16．

(1)记“xy≤3”为事件A，

则事件A包含的基本事件数共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．

所以P(A)=，即小亮获得玩具的概率为．

(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C，

则事件B包含的基本事件数共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．

所以P(B)==．

事件C包含的基本事件数共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．

所以P(C)=．

因为>，

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

12.解：

(1)由频率估计概率，A生产线的产品为正品的概率为(0.05375＋0.03500＋0.01125)×8=0.8；

B生产线的产品为正品的概率为(0.06250＋0.03375＋0.00250)×8=0.79.

(2)设A生产线的产品质量指标值的平均数为，

B生产线的产品质量指标值的平均数为，

由频率分布直方图，

可得=64×0.05＋72×0.15＋80×0.43＋88×0.28＋96×0.09=81.68，

=64×0.05＋72×0.16＋80×0.5＋88×0.27＋96×0.02=80.4，

由以上计算结果可得>，因此A生产线的产品质量指标值更好.

(3)由(2)知，A生产线的产品质量指标值更高，

它不低于84的产品所占比例的估计值为(0.03500＋0.01125)×8=0.37<0.4，

所以B生产线的产品质量指标值的估计值也小于0.4，

故不能认为该公司生产的产品符合“质量指标值不低于84的产品至少要占全部产品40%”的规定.

13.解：

14.解：

15.解：

(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，

{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．

则所求事件的概率为P==．

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．

包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，

则所求事件的概率为P=．

16.解：

(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：

(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．

(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．)

(2)由茎叶图知m==80．列联表如下：

(3)由于K2的观测值k==10>6．635，

所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

17.解：

(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10=0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6=0.4，

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10=0.9，

样本中分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5=5，

所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×=20.

(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100=60，

所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30，

所以样本中的男生人数为30×2=60，

女生人数为100－60=40，

所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2，

所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.

18.解：(1)

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为：

0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05=0.48，

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

1=×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)=0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为2=×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)=0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365=47.45(m3).

19.解：

(1)列联表如下：

(2)根据列联表中的数据，得到K2=≈7.486＜10.828.

因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．

20.解：

(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，

则|f(x)＋g(x)|(x∈[1，2])所有的情况有：

x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，

共6种且每种情况被取到的可能性相同．

又当a>0，b>0时，

ax＋在上递减，在上递增；

x－和4x－在(0，＋∞)上递增，

∴对x∈[1，2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，

故事件A包含的基本事件有4种，

∴P(A)==，故所求概率是．

(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，

∵a是从区间[1，4]中任取的数，b是从区间[1，4]中任取的数，

∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．

要使x∈[1，2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，

需f(1)＋g(1)=a＋b≤8且f(2)＋g(2)=2a＋≤8，

∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．

∴P(B)==，故所求概率是．