2021年高考数学解答题专项练习《统计与概率》一(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习

《统计与概率》一

1.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：=－30．4＋13．5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：=99＋17．5t．

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

2.某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：

甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；

乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82．

(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；

(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．

3.某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：

(1)求a、b、c的值；

(2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；

(3)试估计这次数学测验的年级平均分．

4.某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；

(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率.

5.某品牌2019款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S店分别进行了两天试销售，得到如下数据：

(1)分别以五家4S店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程=x＋；

(2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)?

附：=，=－.

6.某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．

参考公式与临界值表：K2=.

7.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．

(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．

8.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲，乙，丙三地实施人工降雨，其实验统计结果如下:

假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，且不考虑洪涝灾害，请根据统计数据：

（1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；

（2）考虑不同地区的干旱程度，当雨量达到理想状态时，能缓解旱情，若甲、丙地需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，记“甲，乙，丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

9. “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”．某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x(单位：万元)和利润y(单位：十万元)之间的关系，得到下列数据：

(1)请用相关系数r说明y与x之间是否存在线性相关关系(当|r|＞0.81时，说明y与x之间具有线性相关关系)；

(2)根据(1)的判断结果，建立y与x之间的回归方程，并预测当x=24时，对应的利润为多少(，，精确到0.1)．

附参考公式：

回归方程中=x＋中和最小二乘估计分别为=，=－ ，

相关系数r=.

参考数据：iyi=241，=356，≈8.25，=6.

10.某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1 000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：

电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：

(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；

(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.

答案解析

11.解：

(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=－30．4＋13．5×19=226．1(亿元)．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=99＋17．5×9=256．5(亿元)．

(2)利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=－30．4＋13．5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99＋17．5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

12.解：

(1)茎叶图如图：

由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，

所以甲组同学的成绩差异较大．

(也可通过计算方差说明，s=101．6，s=37．4，s>s)

(2)设甲组成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3；

乙组成绩在90分以上的三位同学为B1，B2，B3．从这6位同学中选出2位同学，

共有15个基本事件，列举如下：

(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)；

(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)；

(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)；

(B1，B2)，(B1，B3)；

(B2，B3)．

其中，从这6位同学中选出的2位同学不在同一个小组的基本事件有9个，

所以所求概率P==．

13.解：

(1)由题意可得，b=1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)=0.05，

a=200×0.05=10，c=200×0.5=100.

(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．

所以P===0.81.

(3)这次数学测验样本的平均分为==73，

所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．

14.解：(1)设第1组[20,30)的频率为f1，则由题意可知，

f1=1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10=0.05.

被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10=0.25.

故估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.

(2)∵第1组[20,30)的人数为0.05×120=6.

∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名.

设至少有1名女性群众为事件A，全都是男性群众为事件B，

故事件A与事件B为对立事件，P(A)=1－P(B)=1－=1－=.

故至少有1名女性群众的概率为.

15.解：

(1)∵五家4S店的平均单价和平均销量分别为(18.3,83)(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80)，(18.6,78)，

∴==18.5，==79，

===－20.

∴=－=79－(－20)×18.5=79＋370=449，∴=－20x＋449.

(2)设该款汽车的单价应为x万元，

则利润f(x)=(x－12)(－20x＋449)=－20x2＋689x－5 388，

f′(x)=－40x＋689，令－40x＋689=0，解得x≈17.2，

故当x≈17.2时，f(x)取得最大值．

∴要使该款汽车获得最大利润，该款汽车的单价约为17.2万元．

16.解：

(1)列联表如下：

(2)根据列联表中的数据，得到K2=≈7.486＜10.828.

因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．

17.解：

(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，

{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．

则所求事件的概率为P==．

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．

包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，

则所求事件的概率为P=．

18.解：

19.解：

(1)由题意得=6，=4.

又iyi=241, ≈8.25，=6，

所以r=≈≈0.99＞0.81，

所以y与x之间存在线性相关关系．

(2)因为==≈0.7，=－ ≈4－0.7×6=－0.2，

所以回归直线方程为=0.7x－0.2.当x=24时，=0.7×24－0.2=16.6，

所以预测当x=24时，对应的利润为16.6.

20.解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：

这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为

(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)=96.

(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知

P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=0.28，

P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.02，

从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为

P(y≥150)=P(y=150)＋P(y=200)=0.28＋0.02=0.3.