2021年高考数学答题专项练习《统计与概率》四(含答案)

2021年高考数学答题专项练习

《统计与概率》四

1.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．

求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

2.某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.

3.某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查。调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：

(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?

(2)为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动。据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：

将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X，求X的分布列和数学期望。

附表及公式：。

4.据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有一个成绩，不再颁发“合格证”，这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试成绩在425分及以上的考生可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上的考生可以报考口语考试．如图是从某大学数学专业40人的英语四级成绩中随机抽取8人的成绩的茎叶图．

(1)通过这8人的英语四级成绩估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数和中位数；

(2)在这8人中，从可以报考大学英语六级考试的学生中任取2人，求这2人都可以报考口语考试的概率．

5.某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动.组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；

(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率.

6.某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：

甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；

乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82．

(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；

(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．

7.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：

该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；

(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．

8.某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：

(1)根据上表，现用分层抽样的方法抽取对产品满意的用户5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；

(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.

9.全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：

(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；

(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；

(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”的概率.

10. “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”．某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x(单位：万元)和利润y(单位：十万元)之间的关系，得到下列数据：

(1)请用相关系数r说明y与x之间是否存在线性相关关系(当|r|＞0.81时，说明y与x之间具有线性相关关系)；

(2)根据(1)的判断结果，建立y与x之间的回归方程，并预测当x=24时，对应的利润为多少(，，精确到0.1)．

附参考公式：

回归方程中=x＋中和最小二乘估计分别为=，=－ ，

相关系数r=.

参考数据：iyi=241，=356，≈8.25，=6.

答案解析

11.解：

(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．

由所给数据知一年内出险次数小于2的频率为=0．55，

故P(A)的估计值为0．55．

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．

由所给数据知一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0．3，

故P(B)的估计值为0．3．

(3)由所给数据得

调查的200名续保人的平均保费为

0．85a×0．30＋a×0．25＋1．25a×0．15＋1．5a×0．15＋1．75a×0．10＋2a×0．05=1．1925a．

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1．1925a．

12.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，

B表示事件“赔付金额为4 000元”，

以频率估计概率得P(A)==0.15，P(B)==0.12.

由于投保金额为2 800元，

赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，

所以其概率为P(A)＋P(B)=0.15＋0.12=0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，

由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆)，

而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24(辆)，

所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24，

由频率估计概率得P(C)=0.24.

13.解:(1)由题得

14.解：

(1)这8人的英语四级成绩的平均数为(386＋410＋450＋485＋520＋564＋575＋610)÷8=500(分)，这8人的英语四级成绩的中位数为(485＋520)÷2=502.5(分)，

由此可估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500分，中位数为502.5分．

(2)设可以报考大学英语六级考试但不能报考口语的3人为A1，A2，A3，可以报考口语的3人为B1，B2，B3，从这6人中任取2人，全部情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15种．这2人都可以报考口语考试的情况为(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共3种，则这2人都可以报考口语考试的概率P==.

15.解：(1)设第1组[20,30)的频率为f1，则由题意可知，

f1=1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10=0.05.

被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10=0.25.

故估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.

(2)∵第1组[20,30)的人数为0.05×120=6.

∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名.

设至少有1名女性群众为事件A，全都是男性群众为事件B，

故事件A与事件B为对立事件，P(A)=1－P(B)=1－=1－=.

故至少有1名女性群众的概率为.

16.解：

(1)茎叶图如图：

由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，

所以甲组同学的成绩差异较大．

(也可通过计算方差说明，s=101．6，s=37．4，s>s)

(2)设甲组成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3；

乙组成绩在90分以上的三位同学为B1，B2，B3．从这6位同学中选出2位同学，

共有15个基本事件，列举如下：

(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)；

(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)；

(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)；

(B1，B2)，(B1，B3)；

(B2，B3)．

其中，从这6位同学中选出的2位同学不在同一个小组的基本事件有9个，

所以所求概率P==．

17.解：

(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，

所以估计一位会员至少消费两次的概率为=0．4．

(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150=50(元)，

第2次消费时，公司获得的利润为200×0．95－150=40(元)，

所以，公司获得的平均利润为=45(元)．

(3)因为20∶10∶5∶5=4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，

消费2次的有4人，分别设为A1，A2，A3，A4，消费3次的有2人，分别设为B1，B2，

消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C，D，从中抽出2人，

抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7种；

去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6种；

……

去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共1种，

总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=28种，

其中恰有1人消费两次的抽取方法有4＋4＋4＋4=16种，

所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为=．

18.解：

(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为=.

所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×=2(人)，男用户30×=3(人).

抽取的5人中，三名男用户记为a，b，c，两名女用户记为r，s，

则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs.

其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar，as，br，bs，cr，cs.

故所求的概率为P==0.6.

(2)由题意，得K2的观测值为k=

=≈5.333＞5.024.

又P(K2≥5.024)=0.025.

故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”.

19.解：(1)∵0.004×50=，∴n=100，

∵20＋40＋m＋10＋5=100，∴m=25.

=0.008；=0.005；=0.002；=0.001.

由此完成频率分布直方图，如图：

(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为

25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50=95，

∵[0,50]的频率为0.004×50=0.2，(50,100]的频率为0.008×50=0.4，

∴中位数为50＋×50=87.5.

(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天，

在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a，b，c，d；

将空气质量指数为(150,200]的1天记为e，

从中任取2天的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个，

其中事件A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个，

所以P(A)==.

20.解：

(1)由题意得=6，=4.

又iyi=241, ≈8.25，=6，

所以r=≈≈0.99＞0.81，

所以y与x之间存在线性相关关系．

(2)因为==≈0.7，=－ ≈4－0.7×6=－0.2，

所以回归直线方程为=0.7x－0.2.当x=24时，=0.7×24－0.2=16.6，

所以预测当x=24时，对应的利润为16.6.