2021年高考数学解答题专项练习《统计与概率》二(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习

《统计与概率》二

1.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,

160,220,140,160.

(1)完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.

2.某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查。调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：

(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?

(2)为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动。据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：

将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X，求X的分布列和数学期望。

附表及公式：。

3.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.

(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；

(2)假设在(90，100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取2人，求这两人成绩相同的概率.

4.经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？

(2)至少3人排队等候的概率是多少？

5.某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.

6.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.

(1)求n的值．

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；

②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．

7.设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1，2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)=ax，g(x)=．

(1)若a∈{1，4}，b∈{－1，1，4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；

(2)若a∈[1，4]，b∈[1，4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．

8.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：K2=，

9.据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有一个成绩，不再颁发“合格证”，这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试成绩在425分及以上的考生可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上的考生可以报考口语考试．如图是从某大学数学专业40人的英语四级成绩中随机抽取8人的成绩的茎叶图．

(1)通过这8人的英语四级成绩估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数和中位数；

(2)在这8人中，从可以报考大学英语六级考试的学生中任取2人，求这2人都可以报考口语考试的概率．

10.某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费xi(万元)和销售量yi(万台)的数据如下.

(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；

(2)若用y=c＋d模型拟合y与x的关系可得回归方程=1.63＋0.99，经计算线性回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；

(3)已知利润z与x，y的关系为z=200y－x，根据(2)的结果，当广告费x=20时，销售量及利润的预报值是多少？

参考公式：=，=－ .参考数据：≈2.24.

答案解析

11.解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，

为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为：

(2)根据题意，Y=460＋×5=＋425，

故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)

=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)

=P(X=70)＋P(X=110)＋P(X=220)=＋＋=.

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)

或超过530(万千瓦时)的概率为.

12.解:(1)由题得

13.解：

(1)利用中值估算抽样学生数学成绩的平均分为45×0.005×10＋55×0.015×10＋65×0.020×10＋75×0.030×10＋85×0.025×10＋95×0.005×10=72(分).

众数的估计值为75分.

(2)由频率分布直方图知，在160人中，90分以上的学生数为160×0.005×10=8(人).

设“从8人中任取2人，这2人成绩相同”为事件A，记这8人编号为1，2，3，4，5，6，7，8，其中4号和5号成绩为99分，6号、7号、8号的成绩为100分.

由题意，从8人中任取2人，基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，

(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，

(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，

(6，8)，(7，8)，共28个，

其中事件A所包含的基本事件的个数为4，

由古典概型的概率公式得所求概率P(A)==.

14.解：

记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，

“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，

则事件A，B，C，D，E，F互斥．

(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G=A＋B＋C，

所以P(G)=P(A)＋P(B)＋P(C)=0．1＋0．16＋0．3=0．56．

(2)记“至少3人排队等候”为事件H，则H=D＋E＋F，

所以P(H)=P(D)＋P(E)＋P(F)=0．3＋0．1＋0．04=0．44．

15.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，

B表示事件“赔付金额为4 000元”，

以频率估计概率得P(A)==0.15，P(B)==0.12.

由于投保金额为2 800元，

赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，

所以其概率为P(A)＋P(B)=0.15＋0.12=0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，

由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆)，

而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24(辆)，

所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24，

由频率估计概率得P(C)=0.24.

16.解：

(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，

取到标号为2的小球概率为=，得n=2.

(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，

(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，

而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)==.

②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，

则全部结果所构成的区域为Ω=，

由几何概型得概率为P==1－.

17.解：

(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，

则|f(x)＋g(x)|(x∈[1，2])所有的情况有：

x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，

共6种且每种情况被取到的可能性相同．

又当a>0，b>0时，

ax＋在上递减，在上递增；

x－和4x－在(0，＋∞)上递增，

∴对x∈[1，2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，

故事件A包含的基本事件有4种，

∴P(A)==，故所求概率是．

(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，

∵a是从区间[1，4]中任取的数，b是从区间[1，4]中任取的数，

∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．

要使x∈[1，2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，

需f(1)＋g(1)=a＋b≤8且f(2)＋g(2)=2a＋≤8，

∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．

∴P(B)==，故所求概率是．

18.解：

(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：

(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．

(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．)

(2)由茎叶图知m==80．列联表如下：

(3)由于K2的观测值k==10>6．635，

所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

19.解：

(1)这8人的英语四级成绩的平均数为(386＋410＋450＋485＋520＋564＋575＋610)÷8=500(分)，这8人的英语四级成绩的中位数为(485＋520)÷2=502.5(分)，

由此可估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500分，中位数为502.5分．

(2)设可以报考大学英语六级考试但不能报考口语的3人为A1，A2，A3，可以报考口语的3人为B1，B2，B3，从这6人中任取2人，全部情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15种．这2人都可以报考口语考试的情况为(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共3种，则这2人都可以报考口语考试的概率P==.

20.解：

(1)∵=8，=4.2，iyi=279.4，=708，

===0.17，=－ =4.2－0.17×8=2.84.

∴y关于x的线性回归方程为=0.17x＋2.84.

(2)R2越大反映残差平方和越小，拟合效果越好，

∵0.75＜0.88，

∴选用非线性回归模型=1.63＋0.99更好．

(3)由(2)知，当x=20时，销售量的预报值=1.63＋0.99≈6.06(万台)，

利润的预报值=200×(1.63＋0.99)－20≈1 191.48(万元)．