【人教版】中考数学第一轮复习：第四单元图形的初步认识与三角形单元测试（四）图形的初步认识与三角形试题

单元测试(四)　图形的初步认识与三角形

(时间：45分钟　满分：100分)　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．若∠A＝34°，则∠A的补角为(  B  )

A．56°              B．146°             C．156°            D．166°

2．如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1＝70°，则∠2的大小是(  D  )

A．20°              B．30°             C．50°             D．70°

3．如果一个三角形的两边长分别为2和4，那么第三边长可能是(  B  )

A．2                 B．4                C．6                D．8

4．下列命题中，是假命题的是(  B  )

A．对顶角相等

B．同旁内角互补

C．两点确定一条直线

D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于(  D  )

A．5                 B．6                 C．7                D．8

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝(  C  )

A.                  B．2                 C．3               D.＋2

7．(2016·随州)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是(  B  )

A．1∶3              B．1∶4               C．1∶5            D．1∶25

8．(2016·长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(  A  )

A．160 m          B．120 m            C．300 m           D．160 m

二、填空题(每小题4分，共16分)

9．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝20．

10．如图，等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为36°．

11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝．

12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝3，CD＝2，点P是四边形ABCD四条边上的一个动点．若P到BD的距离为，则满足条件的点P有2个．

三、解答题(共60分)

13．(10分)如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.

(1)求证：AB＝CD；

(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．

解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.

又∵∠A＝∠D，AE＝DF，

∴△ABE≌△DCF.

∴AB＝CD.

(2)∵AB＝CF，AB＝CD，

∴CD＝CF.∴∠D＝∠CFD.

∵∠B＝∠C＝30°，∴∠D＝75°.

14．(12分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，

D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5.

(1)求cos∠ADE的值；

(2)当DE＝DC时，求AD的长．

解：(1)∵DE⊥AB，

∴∠DEA＝90°.

∴∠A＋∠ADE＝90°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°.

∴∠ADE＝∠B.

在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，

∴AB＝13.

∴cosB＝＝.

∴cos∠ADE＝cosB＝.

(2)由(1)得cos∠ADE＝＝，

设AD为x，则DE＝DC＝x.

∵AC＝AD＋DC＝12，

∴x＋x＝12.解得x＝.

∴AD＝.

15．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．

(1)求证：△BDE∽△BAC；

(2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．

解：(1)证明：∵∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，

∴∠C＝∠AED＝90°.

∴∠DEB＝∠C＝90°.

又∵∠B＝∠B，

∴△BDE∽△BAC.

(2)由勾股定理，得AB＝10.

由折叠的性质，得AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°.

∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2，即CD2＋42＝(8－CD)2.解得CD＝3.

在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即32＋62＝AD2.

解得AD＝3.

16．(12分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我国两艘海监船刚好在我国某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60(＋)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120(－)海里．

(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC；(结果保留根号)；

(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，海监船从A处出发沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)

解：(1)作CE⊥AB于点E，设AE＝x，

则在△ACE中，CE＝x，AC＝2x.

在△BCE中，BE＝CE＝x，BC＝x.

∵AB＝AE＋BE，

∴x＋x＝60(＋)，解得x＝60.

∴AC＝120海里，BC＝120海里．

(2)作DF⊥AC于点F.

在△AFD中，DF＝DA，

∴DF＝×120×(－)＝60(3－)≈106.8>100.

∴无触礁危险．

17．(14分)已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.

(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；

(2)当△PQB是等腰三角形时，求AP的长．

解：(1)证明：在△AQP与△ABC中，

∵∠AQP＝∠ABC＝90°，∠A＝∠A，

∴△AQP∽△ABC.

(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，则AC＝5.

∵∠BPQ或∠PBQ为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ或BP＝BQ.

①当点P在线段AB上时，

由(1)可知，△AQP∽△ABC，PB＝PQ.

∴＝，即＝.解得PB＝.

∴AP＝AB－PB＝3－＝；

②当点P在线段AB的延长线上时，

∵BP＝BQ，

∴∠BQP＝∠P.

∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，

∴∠AQB＝∠A.

∴BQ＝AB.

∴AB＝BP，点B为线段AP的中点．

∴AP＝2AB＝2×3＝6.

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.