【人教版】中考数学第一轮复习:第四单元 图形的初步认识与三角形 第19讲 解直角三角形试题

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1． sin60°的值等于( C )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )
A.eq \f(4\r(3),3) B．4 C．8eq \r(3) D．4eq \r(3)
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( C )
A．sinB＝eq \f(AD,AB) B．sinB＝eq \f(AC,BC) C．sinB＝eq \f(AD,AC) D．sinB＝eq \f(CD,AC)
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( A )
A.eq \f(1,3) B.eq \r(2)－1 C．2－eq \r(3) D.eq \f(1,4)
5．如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝eq \f(3,2)，则t的值是eq \f(9,2)．
6．如图，一山坡的坡度为i＝1∶eq \r(3)，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了100米．
7．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，若BE＝9，BC＝12，则csC＝eq \f(2,3)．
8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2eq \r(3)，则AB的长为3＋eq \r(3)．
9．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米．(精确到1米，参考数据：eq \r(3)≈1.73)
10．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sinA＝eq \f(4,5)，求AD的长．
(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
解：(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝eq \f(BE,AB)，
∴∠E＝30°，BE＝tan60°·6＝6eq \r(3).
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝eq \f(CD,CE)，∠E＝30°，
∴CE＝eq \f(4,\f(1,2))＝8.∴BC＝BE－CE＝6eq \r(3)－8.
(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝eq \f(4,5)＝eq \f(BE,AE)，
∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x.
∴3x＝6，得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.
∴tanE＝eq \f(AB,BE)＝eq \f(6,8)＝eq \f(CD,DE)＝eq \f(4,DE).
解得DE＝eq \f(16,3).
∴AD＝AE－DE＝10－eq \f(16,3)＝eq \f(14,3)，
即AD的长是eq \f(14,3).
11． 如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：eq \r(3)≈1.73)
解：没有触礁的危险．理由如下：
作PC⊥AB于点C，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，
设PC＝x，
在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形．
∴BC＝PC＝x.
在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝eq \f(PC,AC)，
∴AC＝eq \f(PC,tan30°)，即8＋x＝eq \f(x,\f(\r(3),3)).
解得x＝4(eq \r(3)＋1)≈10.92，
即PC≈10.92.
∵10.92＞10，
∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．
12．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶eq \r(3).
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3,
∴tanα＝tan∠CAB＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
∴∠α＝30°.
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除．
理由：过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6.
∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶eq \r(3)，
∴BD＝CD＝6，AD＝6eq \r(3).
∴AB＝AD－BD＝6eq \r(3)－6＜8.
∴文化墙PM不需要拆除．
13．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是eq \f(\r(3),2)．
14．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
(1)求斜坡CD的高度DE；
(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．
解：(1)在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，
∴DE＝eq \f(1,2)DC＝2米．
(2)过点D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠DBF＝45°，即△BFD为等腰直角三角形．
设BF＝DF＝x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF＝DE＝2米，即AB＝(x＋2)米．
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝eq \f(AB,cs30°)＝eq \f(x＋2,\f(\r(3),2))＝eq \f(2x＋4,\r(3))＝eq \f(\r(3)（2x＋4）,3)(米)，BD＝eq \r(2)米．BF＝eq \r(2)x米，DC＝4米．
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝90°.
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得2x2＝eq \f(（2x＋4）2,3)＋16，
解得x＝4＋4eq \r(3)或x＝4－4eq \r(3).
则AB高度为(6＋4eq \r(3))米．
15．已知在△ABC中，tanB＝eq \f(2,3)，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC面积的所有可能值为8或48．