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2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟卷（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟卷（一模二模）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：
1. 计算结果等于( )
A. 12 B. －12 C. 6 D. －6
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝（ ）
A. B. C. D.
3. 上面图案中，既是对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 亚投行候任行长金立群12月1日在北京表示，亚投行将在12月底前正式成立，计划在2016年第二季度开始试营，计划总投入1000亿美元，中国计划投入500亿美元，折合人民币约3241亿元，将3241亿元用科学记数法表示为（ ）元．
A. 3.241×103 B. 0.3241×104 C. 3.241×1011 D. 3.241×1012
5. 如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为（ ）
A. 5厘米 B. 6厘米 C. 7厘米 D. 8厘米
7. 下列算式中，你认为错误是（ ）
A. =1 B.
C. D.
8. 已知方程kx2﹣x+1=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且k≠0
9. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1且x≠2 B. x≥1 C. x≠2 D. x≥1且x≠2
10. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（ ）
A 6cm B. 9cm C. 3cm D. 12cm
11. 反比例函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知抛物线y=x2-（2m+1）x+2m没有第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A. 0≤m≤1.5 B. m≥1.5 C. 0≤m≤1 D. 0＜m≤1.5
二、填 空 题：
13. 若，则______ ．
14. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________．
15. 在一个没有透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共200个，某位同学多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%，则口袋中可能有黄球________个．
16. 如图，正比例函数y=kx，y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是________.
17. 如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP•AF的值为_____．
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，co=0.6，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B′D：CD=_____．
三、解 答 题：
19. 解没有等式组：并把解集在数轴上表示出来．
20. “五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销如下：在一个没有透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（次摸出后没有放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到________元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的概率．
21. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离；
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
22. 如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：
（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．
23. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后的时间（分钟），纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，10:00之后来的游客较少可忽略没有计.
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数没有超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客至多等待多少分钟？
24. 在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的值与最小值的差．
25. 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD的面积？若存在，求出△PCD的面积的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：
1. 计算的结果等于( )
A. 12 B. －12 C. 6 D. －6
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据有理数的加法法则计算即可：．故选B．
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
所以设BC=5，AC=12，则AB=13，则sinA=.
故选：D.
3. 上面图案中，既是对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】根据轴对称图形与对称图形的概念，可知：
A、此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形是对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项错误．
故选B．
点睛：掌握好对称与轴对称的概念．判断轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，判断对称是要寻找对称，旋转180度后重合．
4. 亚投行候任行长金立群12月1日在北京表示，亚投行将在12月底前正式成立，计划在2016年第二季度开始试营，计划总投入1000亿美元，中国计划投入500亿美元，折合人民币约3241亿元，将3241亿元用科学记数法表示为（ ）元．
A. 3.241×103 B. 0.3241×104 C. 3.241×1011 D. 3.241×1012
【正确答案】C
【详解】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
解：3241亿=324100000000=3.241×1011．
故选C．
考点：科学记数法—表示较大的数．
5. 如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】根据正方体的表面展开图可知，两条黑线在一行，且相邻两条成直角，故A、B选项错误；该正方体若按选项C展开，则第三行列处的黑线的位置应为小正方形的另一条对角线，所以C没有符合题意.
故选D.
6. 一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为（ ）
A. 5厘米 B. 6厘米 C. 7厘米 D. 8厘米
【正确答案】C
【详解】根据正方形的面积公式，设正方形的边长是x平方厘米，则x2=50，由x＞0，可由平方根求得x≈7，
故选C．
7. 下列算式中，你认为错误的是（ ）
A. =1 B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据分式的加减，乘除的法则，进行通分、约分，可得
【详解】A、==1，本选项没有符合题意；
B、=1××=，本选项符合题意；
C、==﹣，本选项没有符合题意；
D、=•=，本选项没有符合题意．
故选B．
8. 已知方程kx2﹣x+1=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且k≠0
【正确答案】D
【详解】根据一元二次方程概念和根的判别式，可得：1﹣4k＞0；k≠0，解得：k＜且k≠0，
故选D．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题关键是求根的判别式，此题方程有2个没有相等的实数根应注意两种情况：△＞0，二次项的系数没有为0．
9. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1且x≠2 B. x≥1 C. x≠2 D. x≥1且x≠2
【正确答案】D
【详解】试题解析：由分式及二次根式有意义的条件可得：x-1≥0，x-2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故选D．
10. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（ ）
A. 6cm B. 9cm C. 3cm D. 12cm
【正确答案】A
【详解】解：∵平行四边形ABCD
∴OA+OB=（BD+AC）=9cm
又∵△AOB的周长为13cm，
∴AB=CD=4cm，
又∵CD：DA=2：3，
∴BC=AD=6cm
故选A．
11. 反比例函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】根据反比例函数的解析式和图像，可知其图像是双曲线，然后由k=2，可根据k＞0，
知反比例函数图象在、三象限；
故选C．
12. 已知抛物线y=x2-（2m+1）x+2m没有第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A. 0≤m≤1.5 B. m≥1.5 C. 0≤m≤1 D. 0＜m≤1.5
【正确答案】A
【详解】根据当x＞2时，抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m满足y随x的增大而增大，可由抛物线的对称轴，得≤2，解得m≤1.5．然后根据抛物线开口向上，且没有第三象限，得到2m≥0，解得，m≥0，因此可得m的取值范围为：0≤m≤1.5，
故选A．
二、填 空 题：
13. 若，则______ ．
【正确答案】3
【分析】先将、化成底数为2的幂，然后利用同底数幂的乘法求解即可．
【详解】∵=，
∴，
∴．
故3．
本题考查同底数幂相乘的运算方法以及幂的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________．
【正确答案】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列没有等式求解．
【详解】解：根据二次根式意义，得2x－4≥0，
解得x≥2．
故x≥2．
本题考查二次根式有意义的条件．
15. 在一个没有透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共200个，某位同学多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%，则口袋中可能有黄球________个．
【正确答案】20
【详解】根据频率估计概率得到摸到红色球和蓝色球概率分别为35%和55%，则摸到黄色球的概率=1-35%-55%=10%，所以口袋中黄球的个数=200×10%=20．
16. 如图，正比例函数y=kx，y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是________.
【正确答案】k＞m＞n
【详解】解：∵正比例函数y=kx，y=mx的图象在一、三象限，
∴k＞0，m＞0，
∵y=kx的图象比y=mx的图象上升得快，
∴k＞m＞0，
∵y=nx的图象在二、四象限，
∴n＜0，
∴k＞m＞n，
故k＞m＞n．
17. 如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP•AF的值为_____．
【正确答案】3
【详解】由△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，求得∠C=∠APE，根据相似三角形的判定定理得到△APE∽△ACF，再根据相似三角形的性质得到AE：AF=AP：AC，代入数据即可得到AP•AF=3．
故答案为3．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题的关键．
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，co=0.6，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B′D：CD=_____．
【正确答案】0.35
【详解】作CH⊥AB于H，先在Rt△ABC中，根据余弦的定义得到co==0.6=，设BC=3x，则AB=4x，再根据勾股定理计算出AC=4x，在Rt△HBC中，根据余弦的定义可计算出BH=x，接着根据旋转的性质得CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，所以根据等腰三角形的性质有B′H=BH=x，则AB′=x，然后证明△ADB′∽△A′DC，再利用相似比可计算出B′D与DC的比值=0.35．
故答案为0.35.
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形相似的判定与性质以及锐角三角形函数．
三、解 答 题：
19. 解没有等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【正确答案】
【分析】分别求出各个没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解5x-1>3（x+1）得
2x>4，
∴x>2；
解，
得2x8，
∴x4，
故此没有等式的解集为：2
故2
本题主要考查了数轴和一元没有等式组及其解法，掌握一元没有等式组的解法是解题的关键．
20. “五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销如下：在一个没有透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（次摸出后没有放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到________元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的概率．
【正确答案】（1）70；（2）画树状图见解析，该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的概率
【详解】试题分析：（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的有6种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的概率为：．
21. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离；
（3）在第（2）条件下，求△ACP的周长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）20．
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可；
（3）在直角△BCF中，利用勾股定理可以求得CF=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了．
【详解】解：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=CB=，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，
∴sin∠CAN=，
∴
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5﹣x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，
在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，
∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，
∴x=3，
∴BF2=25﹣32=16，
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．
（3）在Rt△BCF中，CF=
∴AF=AC-CF=5-2=3，
∵BF∥CP，
∴,，
∴CP=，BP=
∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键．
22. 如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：
（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．
【正确答案】（1）16+8 ；（2）2 +2
【详解】试题分析：（1）过点C作CE⊥AB与点E，根据已知条件分别解△BCE、△ACE可得BE、CE、AE的长，即可计算S△ABC；
（2）过点D作DH⊥AB与点H知DH∥CE，由D是AC中点可得HE=AE、DH=CE，即可得cot∠ABD．
试题解析：（1）如图，过点C作CE⊥AB与点E，
在RT△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°，
∴BE=BC•cos∠ABC=8×=4，
CE=BC•sin∠ABC=8×=4，
在RT△ACE中，∵sin∠A=，
∴AC===4，
∴AE===8，
则AB=AE+BE=8+4，
故S△ABC=•AB•CE=×（8+4）×4=16+8；
（2）过点D作DH⊥AB与点H，
∵CE⊥AB，
∴DH∥CE，
又∵D是AC中点，
∴AH=HE=AE=4，DH=CE=2，
∴在RT△BDH中，cot∠ABD===2+2．
点睛：本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
23. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后的时间（分钟），纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，10:00之后来的游客较少可忽略没有计.
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数没有超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客至多等待多少分钟？
【正确答案】（1）;(2) 57分钟.
【分析】（1）把图像中点的坐标分别代入对应的解析式，用待定系数法求出即可；
（2）把y=684代入可得，解得x=78，当馆内人数减少到624人时，用时分钟，馆外游客至多等待的时间是从个到至第二次进馆的时的时间，即30+（90-78）+15=57分钟.
【详解】（1），
（2）
，15+30+（90-78）=57分钟
所以，馆外游客至多等待57分钟
考点：二次函数的应用.
24. 在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图2，点E是BC边中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的值与最小值的差．
【正确答案】（1）①证明见详解；②；
（2）7.2．
【分析】（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答；
（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出和最小值解答即可．
【小问1详解】
解：①证明：∵AB=AC，B1C=BC，
∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，
旋转后三角形的角没有变，
∴∠B1CA1=∠ACB，
∴∠B1CA1=∠AB1C，
∴BB1∥CA1；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图1：
∵AB=AC，AF⊥BC，
∵cos∠ABC=0.6=，
∴BF=CF=3，
∴B1C=BC=6，
∵
∴cos∠ABC=0.6=，
∴ BE=，
∴B1B=2BE=，
AF==4，
S△ABC==12，
∴EC=，
故AB1= B1B －AB=﹣5=，
∴△AB1C的面积为：；
【小问2详解】
解：如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，
此时在Rt△BFC中，CF=，
∴CF1=，
∴EF1的最小值为﹣3=；
如图2，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有值；
此时EF1=EC+CF1=3+6=9，
∴线段EF1的值与最小值的差为9﹣=．
此题考查了几何变换问题，等腰三角形的性质，旋转的性质，面积法求三角形的高，解直角三角形；（1）题关键用面积法求出三角形的高，（2）题关键是能画出旋转的轨迹．
25. 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD的面积？若存在，求出△PCD的面积的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）①P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②当t=﹣时，S△PCD的值为．
【分析】（1）由三角函数的定义可求得OB，再旋转可得到A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①△COD为直角三角形，可知当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，当PE⊥CE时，则可得抛物线的顶点满足条件，当PE⊥CD时，过P作PG⊥x轴于点G，可证△PGE∽△COD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点坐标；
②可求得直线CD的解析式，过P作PN⊥x轴于点N，交CD于点M，可用t表示出PM的长，当PM取值时，则△PCD的面积，可求得其值．
【详解】解：（1）∵OA=1，tan∠BAO=3，
∴=3，解得OB=3，
又由旋转可得OB=OC=3，
∴A（1，0），B（0，3），C（-3，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可得
，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
（2）①由（1）可知抛物线对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），
∵△COD为直角三角形，
∴当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，
若∠FEC=90°，则PE⊥CE，
∵对称轴与x轴垂直，
∴此时抛物线的顶点即为满足条件的P点，此时P点坐标为（-1，4）；
若∠EFC=90°，则PE⊥CD，
如图，过P作PG⊥x轴于点G，
则∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，
∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，
∴△PGE∽△COD，
∴，
∵E（-1，0），G（t，0），且P点横坐标为t，
∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，
∴
解得t=-2或t=3，
∵P点在第二象限，
∴t＜0，即t=-2，
此时P点坐标为（-2，3），
综上可知满足条件的P点坐标为（-1，4）或（-2，3）；
②设直线CD解析式为y=kx+m，
把C、D两点坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=x+1，
如图2，过P作PN⊥x轴，交x轴于点N，交直线CD于点M，
∵P点横坐标为t，
∴PN=-t2-2t+3，MN=t+1，
∵P点在第二象限，
∴P点在M点上方，
∴PM=PN-MN=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2=-（t+）2+，
∴当t=-时，PM有值，值为，
∵S△PCD=S△PCM+S△PDM=PMCN+PMNO=PMOC=PM，
∴当PM有值时，△PCD的面积有值，
∴（S△PCD）max=×，
综上可知存在点P使△PCD的面积，△PCD的面积有值为．
本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求值是难点．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数，则被替换的字是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【正确答案】C
【详解】解：逐个代替后这四个数分别为-0.3428，-0.1328，-0.1438，-0.1423．
-0.1328的值最小，只有C符合．故选C．
2. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】6700000=6.7×106．
故选B．
点睛：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a2•a3=a6 B. a6÷a3=a2 C. 4x2﹣3x2=1 D. （﹣2a2）3=﹣8a6
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据同底数幂相乘，底数没有变，指数相加，可知a2·a3＝a5，故没有正确；
根据同底数幂相除，底数没有变，指数相减，可知a6÷a3＝a3，故没有正确；
根据合并同类项法则，可知4x2－3x2＝x2，故没有正确；
根据积的乘方，可知(－2a2)3＝－8a6，故正确.
故选D.
4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
【正确答案】B
【详解】试题解析：该几何体是三棱柱.
如图：
由勾股定理
全面积为：
故该几何体全面积等于136．
故选B.
5. 用一个正方形在四月份的日历上，圈出4个数，这四个数的和没有可能是（ ）
A. 104 B. 108 C. 24 D. 28
【正确答案】B
【详解】试题分析：先设最小的数是x，则其余的三个数分别是x+1，x+7，x+8，求出它们的和，再把A、B、C、D中的四个值代入，若算出的x是正整数，则符合题意，否则就没有合题意．
解：设最小代数式是x，则其它三个数分别是x+1，x+7，x+8，
四数之和=x+x+1+x+7+x+8=4x+16．
A、根据题意得4x+16=104，解得x=22，正确；
B、根据题意得4x+16=108，解得x=23，而x+8=31，因为四月份只有30天，没有合实际意义，故没有正确；
C、根据题意得4x+16=24，解得x=2，正确；
D、根据题意得4x+16=28，解得x=3，正确．
故选B．
考点：列代数式．
6. 已知a、b、c是的三边长，且方程的两根相等，则为
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形
【正确答案】C
【分析】方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，即△=0，直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．
【详解】原方程整理得(a+c)+2bx+a−c=0，
因为两根相等，
所以△=−4ac
=−4×(a+c)×(a−c)
=4+4−4
=0，
即+=，
所以△ABC是直角三角形．
故选C
本题主要考查根的判别式，勾股定理的逆定理知识点.
7. 如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，若2∠BAD=∠BCD，则弧BD的长为（ ）
A. π B. C. 2π D. 3π
【正确答案】C
【详解】试题解析：如图，连接OB、OD,
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵2∠BAD=∠BCD，
∴2∠BAD+∠BAD=180°，
解得：∠BAD=60°，
连接OB、OD．则∠BOD=2∠BAD=120°，
∴的长==2π；
故选C．
8. 如图，已知A（-3，3），B（-1，1.5），将线段AB向右平移d个单位长度后，点A、B恰好同时落在反比例函数 （x＞0）的图象上，则d等于( )
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】C
【详解】(2)∵将线段AB向右平移d个单位，
∴A(−3+d,3),B′(−1+d,1.5).
∵点A′、B′在反比例函数 (x>0)的图象上，
∴3 (−3+d)=1.5(−1+d)
解得：d=5.
故选C.
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 设实数x，y，z适合9x3=8y3=7z3，，则=__________，
=_____________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】试题解析：设9x3=8y3=7z3=k3，则
x=，y=，z=，
从而1==
故k=
故=，
=．
故答案为 ；
10. 计算：＝_____．
【正确答案】
【分析】分式的乘方等于分子分母分别乘方，计算即可得到结果．
【详解】解：原式
．
故．
本题考查了分式的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方法则．
11. 因式分解：3a3﹣6a2b+3ab2＝_____．
【正确答案】3a（a﹣b）2
【分析】首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解即可.
【详解】3a3﹣6a2b+3ab2，
＝3a（a2﹣2ab+b2），
＝3a（a﹣b）2．
故3a（a﹣b）2．
此题考查多项式的因式分解，多项式分解因式时如果有公因式必须先提取公因式，然后再利用公式法分解因式，根据多项式的特点用适合的分解因式的方法是解题的关键.
12. 没有等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的没有等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为_______．
【正确答案】9
【详解】解：∵没有等式x2+ax+b≥0的解为全体实数，
∴函数f（x）=x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点，即△=a2-4b=0则b=，
∵没有等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，
∴x2+ax+＜c的解集为m＜x＜m+6．
∴x2+ax+-c=0的两根为m，m+6．
∴|m+6-m|= .
解得：c=9．
故答案为9.
13. 一组数据1、3、4、5、x、9的众数和中位数相同，那么x的值是____．
【正确答案】4
【分析】
【详解】解：数据共有6个，中位数应是从小到大排列后的第3个和第4个数据的平均数，
由题意知，第4个数可能是4或5，当是4时，中位数是4，当是5时，中位数是4.5，
由题意知，x只能是4时，才能满足题意．
故填4．
14. 如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称E处，则tan∠ADF=_______．
【正确答案】
【详解】∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称E处，
∴AD=ED=AE，∠ADF=∠EDF=∠ADE，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADF=30°，
∴tan∠ADF=，
故答案为．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则B2的坐标为_____；点B2016的坐标为_____．
【正确答案】 ①. （6，2） ②. （6048，2）
【详解】解：∵A（，0），B（0，2），
∴Rt△AOB中，AB= =，
∴OA+AB1+B1C2=+2+=6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，即B2（6，2），
∴B4的横坐标为：2×6=12，
∴点B2016横坐标为：2016÷2×6=6048，点B2016的纵坐标为：2，
即B2016的坐标是（6048，2）．
故答案为（6，2），（6048，2）．
点睛：本题考查了图形的探索与规律，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2016的坐标．
16. 如图，△ABC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，AC=AD，∠CDE=45°，CD与AE交于点F，若∠AEC=∠DEB，CE=，则CF=______．
【正确答案】5
【详解】试题解析延长CE至G，使EC=EG，延长ED至H，使EH=AE，过D作DT∥BC，交AE于T，连接GH、AH，
设∠AEC=α，则∠DEB=α，
∵∠AEC=∠DEB=α，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=GH，∠ACE=∠EGH=90°，
∴AC∥GH，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AH∥CG，
∴∠AHE=∠HEG=α，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
设∠ACD=∠ADC=β，
∵∠CDE=45°，
∴β+45°+∠BDE=180°，
∴β=135°-∠BDE①，
∵△ACD是等腰三角形，
∴∠CAD=180°-2β，
∵△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=90°-∠CAD=90°-（180°-2β）=2β-90°，
在△BDE中，由内角和得：α+∠BDE+∠ABC=180°，
α+∠BDE+2β-90°=180°②，
把①代入②得：α+∠BDE+2（135°-∠BDE）-90°=180°，
∠BDE=α，
∴∠ADH=∠BDE=α，
∴AD=AH=AC，
∴四边形ACGH是正方形，
∴AH=AC=2CE=，
∴AD=AC=，
∵∠BED=∠BDE=α，
∴BE=BD，
设BE=x，则BD=x，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴()2+(+x)2＝(+x)2，
解得：x=，
∴BE=BD=，
∴CE=2BE=2BD，
∴AD=4BD，
∴，
∵DT∥BC，
∴△ADT∽△ABE，
∴，
∵CE=2BE，
∴，
∵DT∥CE，
∴，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=
∴ET=AE=×=，
∴EF=ET=×=，
过F作FM⊥BC于M，
tanα=，
设EM=y，则FM=2y，EF=y，
∴y=，
y=，
∴FM=2y=，EM=y=，
∴CM=CE-EM=-=，
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF==5；
故答案为5．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分72分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【正确答案】（1）3；（2）x=5．
【详解】试题分析：（1）根据值，二次根式性质和零指数幂分别求出每一部分的值，再代入求出即可；
（2）把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入（x+1）（x-1）进行检验即可．
试题解析：（1）原式=2+2-1
=3；
（2）方程两边都乘以（x+1）（x-1）得：2（x+1）=3（x-1），
解这个方程得：2x+2=3x-3，
2x-3x=-3-2，
-x=-5，
x=5，
检验：∵当x=5时，（x+1）（x-1）≠0，
∴x=5是原方程的解．
18. 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE，证出CD∥BE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵点C是AB的中点，
∴AC=BC；
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（SSS），
（2）证明：连接DE，如图所示：
∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE，
又∵CD=BE，
∴四边形CBED是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
19. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【正确答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）见解析
【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）10÷20%=50（名）
答：本次抽样共抽取了50名学生.
（2）50-10-20-4=16（名）
答：测试结果为C等级的学生有16名.
图形统计图补充完整如下图所示：
（3）700×=56（名）
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．也考查了统计图．
20. 已知函数y=﹣x+4，回答下列问题：
（1）请在右图的直角坐标系中画出函数y=﹣x+4图象；
（2）y的值随x值的增大而________；
（3）当y=2时，x的值为_________；
（4）当y＜0时，x的取值范围是_______．
【正确答案】 ①. 减小 ②. x=2 ③. x＞4
【详解】试题分析：（1）采用两点法作图即可；
（2）根据函数的图象确定其增减性即可；
（3）代入y的值求得x底面值即可；
（4）根据函数值的取值范围图象确定x的取值范围即可．
试题解析：（1）图象如图所示：
（2）观察图象知y随着x的增大而减小；
（3）当y=2时，-x+4=2，
解得：x=2；
（4）观察图象知：当y＜0时，x＞4，
故答案为减小；x=2；x＞4．
21. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠CAB=120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．
【正确答案】(1) 见解析;（2）
【详解】试题分析：（1）先连接OD、AD，由于AB是直径以及AB=AC，易证BD=CD，而OA=OB，从而可知OD是△ABC的中位线，那么OD∥AC，再DE⊥AC，易证∠ODE=∠CED=90°，即DE是⊙O的切线；
（2）由⊙O半径是5，可知AB=10，而△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可知∠CAD=∠BAD=60°，在Rt△ADB中，易求BD，进而可求BC．
试题解析：如图所示，连接OD、AD．
∵AB是直径，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵⊙O半径是5，
∴AB=10，
∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
在Rt△ADB中，BD=sin60°•AB=5，
∴BC=10．
22. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系．
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B的速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？
【正确答案】（1）L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）汽车B的速度是1.5千米/分；（3）s1=﹣1.5t+330，s2=t；（4）2小时后，两车相距30千米；（5）行驶132分钟，A、B两车相遇．
【详解】试题分析：（1）直接根据函数图象的走向和题意可知L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）由L1上60分钟处点的坐标可知路程和时间，从而求得速度；
（3）先分别设出函数，利用函数图象上的已知点，使用待定系数法可求得函数解析式；
（4）（3）中函数图象求得时s的值，做差即可求解；
（5）求出函数图象的交点坐标即可求解．
试题解析：（1）函数图形可知汽车B是由乙地开往甲地，故L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）（330﹣240）÷60=1.5（千米/分）；
（3）设L1为 把点（0，330），（60，240）代入得
所以
设L2为 把点（60，60）代入得
所以
（4）当时，
330﹣150﹣120=60（千米）；
所以2小时后，两车相距60千米；
（5）当时，
解得
即行驶132分钟，A、B两车相遇．
23. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若没有存在，请说明理由；
（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件： ．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）3或．（3）或0＜
【分析】（1）根据矩形的性质，已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系没有确定，所以应针对没有同的对应关系分情况考虑：当 时，则得到四边形为矩形，从而求得的值；当时，再（1）中的结论，得到等腰．再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）此题首先应针对点的位置分为两种大情况：①与AE相切，② 与线段只有一个公共点，没有一定必须相切，只要保证和线段只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段外的情况即是的取值范围．
【详解】(1)证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC.
∴∠PAF=∠AEB.
又∵PF⊥AE，
∴△PFA∽△ABE.
(2)情况1,当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=3，即x=3.
情况2,当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，
即
∴满足条件的x的值为3或
(3) 或
两组角对应相等，两三角形相似.
24. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个没有同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：
1. 计算结果等于( )
A. 12 B. －12 C. 6 D. －6
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝（ ）
A. B. C. D.
3. 上面图案中，既是对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 亚投行候任行长金立群12月1日在北京表示，亚投行将在12月底前正式成立，计划在2016年第二季度开始试营，计划总投入1000亿美元，中国计划投入500亿美元，折合人民币约3241亿元，将3241亿元用科学记数法表示为（ ）元．
A. 3.241×103 B. 0.3241×104 C. 3.241×1011 D. 3.241×1012
5. 如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为（ ）
A. 5厘米 B. 6厘米 C. 7厘米 D. 8厘米
7. 下列算式中，你认为错误是（ ）
A. =1 B.
C. D.
8. 已知方程kx2﹣x+1=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且k≠0
9. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1且x≠2 B. x≥1 C. x≠2 D. x≥1且x≠2
10. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（ ）
A 6cm B. 9cm C. 3cm D. 12cm
11. 反比例函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知抛物线y=x2-（2m+1）x+2m没有第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A. 0≤m≤1.5 B. m≥1.5 C. 0≤m≤1 D. 0＜m≤1.5
二、填 空 题：
13. 若，则______ ．
14. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________．
15. 在一个没有透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共200个，某位同学多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%，则口袋中可能有黄球________个．
16. 如图，正比例函数y=kx，y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是________.
17. 如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP•AF的值为_____．
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，co=0.6，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B′D：CD=_____．
三、解 答 题：
19. 解没有等式组：并把解集在数轴上表示出来．
20. “五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销如下：在一个没有透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（次摸出后没有放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到________元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的概率．
21. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离；
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
22. 如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：
（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．
23. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后的时间（分钟），纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，10:00之后来的游客较少可忽略没有计.
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数没有超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客至多等待多少分钟？
24. 在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的值与最小值的差．
25. 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD的面积？若存在，求出△PCD的面积的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：
1. 计算的结果等于( )
A. 12 B. －12 C. 6 D. －6
【正确答案】B
【详解】试题分析：根据有理数的加法法则计算即可：．故选B．
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
所以设BC=5，AC=12，则AB=13，则sinA=.
故选：D.
3. 上面图案中，既是对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】根据轴对称图形与对称图形的概念，可知：
A、此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形是对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项错误．
故选B．
点睛：掌握好对称与轴对称的概念．判断轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，判断对称是要寻找对称，旋转180度后重合．
4. 亚投行候任行长金立群12月1日在北京表示，亚投行将在12月底前正式成立，计划在2016年第二季度开始试营，计划总投入1000亿美元，中国计划投入500亿美元，折合人民币约3241亿元，将3241亿元用科学记数法表示为（ ）元．
A. 3.241×103 B. 0.3241×104 C. 3.241×1011 D. 3.241×1012
【正确答案】C
【详解】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
解：3241亿=324100000000=3.241×1011．
故选C．
考点：科学记数法—表示较大的数．
5. 如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】根据正方体的表面展开图可知，两条黑线在一行，且相邻两条成直角，故A、B选项错误；该正方体若按选项C展开，则第三行列处的黑线的位置应为小正方形的另一条对角线，所以C没有符合题意.
故选D.
6. 一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为（ ）
A. 5厘米 B. 6厘米 C. 7厘米 D. 8厘米
【正确答案】C
【详解】根据正方形的面积公式，设正方形的边长是x平方厘米，则x2=50，由x＞0，可由平方根求得x≈7，
故选C．
7. 下列算式中，你认为错误的是（ ）
A. =1 B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据分式的加减，乘除的法则，进行通分、约分，可得
【详解】A、==1，本选项没有符合题意；
B、=1××=，本选项符合题意；
C、==﹣，本选项没有符合题意；
D、=•=，本选项没有符合题意．
故选B．
8. 已知方程kx2﹣x+1=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且k≠0
【正确答案】D
【详解】根据一元二次方程概念和根的判别式，可得：1﹣4k＞0；k≠0，解得：k＜且k≠0，
故选D．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题关键是求根的判别式，此题方程有2个没有相等的实数根应注意两种情况：△＞0，二次项的系数没有为0．
9. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1且x≠2 B. x≥1 C. x≠2 D. x≥1且x≠2
【正确答案】D
【详解】试题解析：由分式及二次根式有意义的条件可得：x-1≥0，x-2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故选D．
10. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（ ）
A. 6cm B. 9cm C. 3cm D. 12cm
【正确答案】A
【详解】解：∵平行四边形ABCD
∴OA+OB=（BD+AC）=9cm
又∵△AOB的周长为13cm，
∴AB=CD=4cm，
又∵CD：DA=2：3，
∴BC=AD=6cm
故选A．
11. 反比例函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】根据反比例函数的解析式和图像，可知其图像是双曲线，然后由k=2，可根据k＞0，
知反比例函数图象在、三象限；
故选C．
12. 已知抛物线y=x2-（2m+1）x+2m没有第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A. 0≤m≤1.5 B. m≥1.5 C. 0≤m≤1 D. 0＜m≤1.5
【正确答案】A
【详解】根据当x＞2时，抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m满足y随x的增大而增大，可由抛物线的对称轴，得≤2，解得m≤1.5．然后根据抛物线开口向上，且没有第三象限，得到2m≥0，解得，m≥0，因此可得m的取值范围为：0≤m≤1.5，
故选A．
二、填 空 题：
13. 若，则______ ．
【正确答案】3
【分析】先将、化成底数为2的幂，然后利用同底数幂的乘法求解即可．
【详解】∵=，
∴，
∴．
故3．
本题考查同底数幂相乘的运算方法以及幂的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________．
【正确答案】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列没有等式求解．
【详解】解：根据二次根式意义，得2x－4≥0，
解得x≥2．
故x≥2．
本题考查二次根式有意义的条件．
15. 在一个没有透明的布袋中有除颜色外其它都相同的红、黄、蓝球共200个，某位同学多次摸球试验后发现，其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在35%和55%，则口袋中可能有黄球________个．
【正确答案】20
【详解】根据频率估计概率得到摸到红色球和蓝色球概率分别为35%和55%，则摸到黄色球的概率=1-35%-55%=10%，所以口袋中黄球的个数=200×10%=20．
16. 如图，正比例函数y=kx，y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是________.
【正确答案】k＞m＞n
【详解】解：∵正比例函数y=kx，y=mx的图象在一、三象限，
∴k＞0，m＞0，
∵y=kx的图象比y=mx的图象上升得快，
∴k＞m＞0，
∵y=nx的图象在二、四象限，
∴n＜0，
∴k＞m＞n，
故k＞m＞n．
17. 如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP•AF的值为_____．
【正确答案】3
【详解】由△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，求得∠C=∠APE，根据相似三角形的判定定理得到△APE∽△ACF，再根据相似三角形的性质得到AE：AF=AP：AC，代入数据即可得到AP•AF=3．
故答案为3．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题的关键．
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，co=0.6，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D，那么B′D：CD=_____．
【正确答案】0.35
【详解】作CH⊥AB于H，先在Rt△ABC中，根据余弦的定义得到co==0.6=，设BC=3x，则AB=4x，再根据勾股定理计算出AC=4x，在Rt△HBC中，根据余弦的定义可计算出BH=x，接着根据旋转的性质得CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，所以根据等腰三角形的性质有B′H=BH=x，则AB′=x，然后证明△ADB′∽△A′DC，再利用相似比可计算出B′D与DC的比值=0.35．
故答案为0.35.
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形相似的判定与性质以及锐角三角形函数．
三、解 答 题：
19. 解没有等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【正确答案】
【分析】分别求出各个没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解5x-1>3（x+1）得
2x>4，
∴x>2；
解，
得2x8，
∴x4，
故此没有等式的解集为：2
故2
本题主要考查了数轴和一元没有等式组及其解法，掌握一元没有等式组的解法是解题的关键．
20. “五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销如下：在一个没有透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（次摸出后没有放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到________元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的概率．
【正确答案】（1）70；（2）画树状图见解析，该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的概率
【详解】试题分析：（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的有6种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额没有低于50元的概率为：．
21. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离；
（3）在第（2）条件下，求△ACP的周长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）20．
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可；
（3）在直角△BCF中，利用勾股定理可以求得CF=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了．
【详解】解：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=CB=，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，
∴sin∠CAN=，
∴
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5﹣x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，
在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，
∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，
∴x=3，
∴BF2=25﹣32=16，
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．
（3）在Rt△BCF中，CF=
∴AF=AC-CF=5-2=3，
∵BF∥CP，
∴,，
∴CP=，BP=
∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键．
22. 如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：
（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．
【正确答案】（1）16+8 ；（2）2 +2
【详解】试题分析：（1）过点C作CE⊥AB与点E，根据已知条件分别解△BCE、△ACE可得BE、CE、AE的长，即可计算S△ABC；
（2）过点D作DH⊥AB与点H知DH∥CE，由D是AC中点可得HE=AE、DH=CE，即可得cot∠ABD．
试题解析：（1）如图，过点C作CE⊥AB与点E，
在RT△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°，
∴BE=BC•cos∠ABC=8×=4，
CE=BC•sin∠ABC=8×=4，
在RT△ACE中，∵sin∠A=，
∴AC===4，
∴AE===8，
则AB=AE+BE=8+4，
故S△ABC=•AB•CE=×（8+4）×4=16+8；
（2）过点D作DH⊥AB与点H，
∵CE⊥AB，
∴DH∥CE，
又∵D是AC中点，
∴AH=HE=AE=4，DH=CE=2，
∴在RT△BDH中，cot∠ABD===2+2．
点睛：本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
23. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后的时间（分钟），纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，10:00之后来的游客较少可忽略没有计.
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数没有超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客至多等待多少分钟？
【正确答案】（1）;(2) 57分钟.
【分析】（1）把图像中点的坐标分别代入对应的解析式，用待定系数法求出即可；
（2）把y=684代入可得，解得x=78，当馆内人数减少到624人时，用时分钟，馆外游客至多等待的时间是从个到至第二次进馆的时的时间，即30+（90-78）+15=57分钟.
【详解】（1），
（2）
，15+30+（90-78）=57分钟
所以，馆外游客至多等待57分钟
考点：二次函数的应用.
24. 在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图2，点E是BC边中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的值与最小值的差．
【正确答案】（1）①证明见详解；②；
（2）7.2．
【分析】（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答；
（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出和最小值解答即可．
【小问1详解】
解：①证明：∵AB=AC，B1C=BC，
∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，
旋转后三角形的角没有变，
∴∠B1CA1=∠ACB，
∴∠B1CA1=∠AB1C，
∴BB1∥CA1；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图1：
∵AB=AC，AF⊥BC，
∵cos∠ABC=0.6=，
∴BF=CF=3，
∴B1C=BC=6，
∵
∴cos∠ABC=0.6=，
∴ BE=，
∴B1B=2BE=，
AF==4，
S△ABC==12，
∴EC=，
故AB1= B1B －AB=﹣5=，
∴△AB1C的面积为：；
【小问2详解】
解：如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，
此时在Rt△BFC中，CF=，
∴CF1=，
∴EF1的最小值为﹣3=；
如图2，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有值；
此时EF1=EC+CF1=3+6=9，
∴线段EF1的值与最小值的差为9﹣=．
此题考查了几何变换问题，等腰三角形的性质，旋转的性质，面积法求三角形的高，解直角三角形；（1）题关键用面积法求出三角形的高，（2）题关键是能画出旋转的轨迹．
25. 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD的面积？若存在，求出△PCD的面积的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）①P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②当t=﹣时，S△PCD的值为．
【分析】（1）由三角函数的定义可求得OB，再旋转可得到A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①△COD为直角三角形，可知当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，当PE⊥CE时，则可得抛物线的顶点满足条件，当PE⊥CD时，过P作PG⊥x轴于点G，可证△PGE∽△COD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点坐标；
②可求得直线CD的解析式，过P作PN⊥x轴于点N，交CD于点M，可用t表示出PM的长，当PM取值时，则△PCD的面积，可求得其值．
【详解】解：（1）∵OA=1，tan∠BAO=3，
∴=3，解得OB=3，
又由旋转可得OB=OC=3，
∴A（1，0），B（0，3），C（-3，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可得
，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
（2）①由（1）可知抛物线对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），
∵△COD为直角三角形，
∴当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，
若∠FEC=90°，则PE⊥CE，
∵对称轴与x轴垂直，
∴此时抛物线的顶点即为满足条件的P点，此时P点坐标为（-1，4）；
若∠EFC=90°，则PE⊥CD，
如图，过P作PG⊥x轴于点G，
则∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，
∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，
∴△PGE∽△COD，
∴，
∵E（-1，0），G（t，0），且P点横坐标为t，
∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，
∴
解得t=-2或t=3，
∵P点在第二象限，
∴t＜0，即t=-2，
此时P点坐标为（-2，3），
综上可知满足条件的P点坐标为（-1，4）或（-2，3）；
②设直线CD解析式为y=kx+m，
把C、D两点坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=x+1，
如图2，过P作PN⊥x轴，交x轴于点N，交直线CD于点M，
∵P点横坐标为t，
∴PN=-t2-2t+3，MN=t+1，
∵P点在第二象限，
∴P点在M点上方，
∴PM=PN-MN=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2=-（t+）2+，
∴当t=-时，PM有值，值为，
∵S△PCD=S△PCM+S△PDM=PMCN+PMNO=PMOC=PM，
∴当PM有值时，△PCD的面积有值，
∴（S△PCD）max=×，
综上可知存在点P使△PCD的面积，△PCD的面积有值为．
本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求值是难点．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数，则被替换的字是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【正确答案】C
【详解】解：逐个代替后这四个数分别为-0.3428，-0.1328，-0.1438，-0.1423．
-0.1328的值最小，只有C符合．故选C．
2. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约是6700000m，将6700000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】6700000=6.7×106．
故选B．
点睛：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a2•a3=a6 B. a6÷a3=a2 C. 4x2﹣3x2=1 D. （﹣2a2）3=﹣8a6
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据同底数幂相乘，底数没有变，指数相加，可知a2·a3＝a5，故没有正确；
根据同底数幂相除，底数没有变，指数相减，可知a6÷a3＝a3，故没有正确；
根据合并同类项法则，可知4x2－3x2＝x2，故没有正确；
根据积的乘方，可知(－2a2)3＝－8a6，故正确.
故选D.
4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
【正确答案】B
【详解】试题解析：该几何体是三棱柱.
如图：
由勾股定理
全面积为：
故该几何体全面积等于136．
故选B.
5. 用一个正方形在四月份的日历上，圈出4个数，这四个数的和没有可能是（ ）
A. 104 B. 108 C. 24 D. 28
【正确答案】B
【详解】试题分析：先设最小的数是x，则其余的三个数分别是x+1，x+7，x+8，求出它们的和，再把A、B、C、D中的四个值代入，若算出的x是正整数，则符合题意，否则就没有合题意．
解：设最小代数式是x，则其它三个数分别是x+1，x+7，x+8，
四数之和=x+x+1+x+7+x+8=4x+16．
A、根据题意得4x+16=104，解得x=22，正确；
B、根据题意得4x+16=108，解得x=23，而x+8=31，因为四月份只有30天，没有合实际意义，故没有正确；
C、根据题意得4x+16=24，解得x=2，正确；
D、根据题意得4x+16=28，解得x=3，正确．
故选B．
考点：列代数式．
6. 已知a、b、c是的三边长，且方程的两根相等，则为
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形
【正确答案】C
【分析】方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，即△=0，直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．
【详解】原方程整理得(a+c)+2bx+a−c=0，
因为两根相等，
所以△=−4ac
=−4×(a+c)×(a−c)
=4+4−4
=0，
即+=，
所以△ABC是直角三角形．
故选C
本题主要考查根的判别式，勾股定理的逆定理知识点.
7. 如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，若2∠BAD=∠BCD，则弧BD的长为（ ）
A. π B. C. 2π D. 3π
【正确答案】C
【详解】试题解析：如图，连接OB、OD,
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵2∠BAD=∠BCD，
∴2∠BAD+∠BAD=180°，
解得：∠BAD=60°，
连接OB、OD．则∠BOD=2∠BAD=120°，
∴的长==2π；
故选C．
8. 如图，已知A（-3，3），B（-1，1.5），将线段AB向右平移d个单位长度后，点A、B恰好同时落在反比例函数 （x＞0）的图象上，则d等于( )
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】C
【详解】(2)∵将线段AB向右平移d个单位，
∴A(−3+d,3),B′(−1+d,1.5).
∵点A′、B′在反比例函数 (x>0)的图象上，
∴3 (−3+d)=1.5(−1+d)
解得：d=5.
故选C.
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 设实数x，y，z适合9x3=8y3=7z3，，则=__________，
=_____________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】试题解析：设9x3=8y3=7z3=k3，则
x=，y=，z=，
从而1==
故k=
故=，
=．
故答案为 ；
10. 计算：＝_____．
【正确答案】
【分析】分式的乘方等于分子分母分别乘方，计算即可得到结果．
【详解】解：原式
．
故．
本题考查了分式的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方法则．
11. 因式分解：3a3﹣6a2b+3ab2＝_____．
【正确答案】3a（a﹣b）2
【分析】首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解即可.
【详解】3a3﹣6a2b+3ab2，
＝3a（a2﹣2ab+b2），
＝3a（a﹣b）2．
故3a（a﹣b）2．
此题考查多项式的因式分解，多项式分解因式时如果有公因式必须先提取公因式，然后再利用公式法分解因式，根据多项式的特点用适合的分解因式的方法是解题的关键.
12. 没有等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的没有等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为_______．
【正确答案】9
【详解】解：∵没有等式x2+ax+b≥0的解为全体实数，
∴函数f（x）=x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点，即△=a2-4b=0则b=，
∵没有等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，
∴x2+ax+＜c的解集为m＜x＜m+6．
∴x2+ax+-c=0的两根为m，m+6．
∴|m+6-m|= .
解得：c=9．
故答案为9.
13. 一组数据1、3、4、5、x、9的众数和中位数相同，那么x的值是____．
【正确答案】4
【分析】
【详解】解：数据共有6个，中位数应是从小到大排列后的第3个和第4个数据的平均数，
由题意知，第4个数可能是4或5，当是4时，中位数是4，当是5时，中位数是4.5，
由题意知，x只能是4时，才能满足题意．
故填4．
14. 如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称E处，则tan∠ADF=_______．
【正确答案】
【详解】∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称E处，
∴AD=ED=AE，∠ADF=∠EDF=∠ADE，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADF=30°，
∴tan∠ADF=，
故答案为．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则B2的坐标为_____；点B2016的坐标为_____．
【正确答案】 ①. （6，2） ②. （6048，2）
【详解】解：∵A（，0），B（0，2），
∴Rt△AOB中，AB= =，
∴OA+AB1+B1C2=+2+=6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，即B2（6，2），
∴B4的横坐标为：2×6=12，
∴点B2016横坐标为：2016÷2×6=6048，点B2016的纵坐标为：2，
即B2016的坐标是（6048，2）．
故答案为（6，2），（6048，2）．
点睛：本题考查了图形的探索与规律，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2016的坐标．
16. 如图，△ABC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，AC=AD，∠CDE=45°，CD与AE交于点F，若∠AEC=∠DEB，CE=，则CF=______．
【正确答案】5
【详解】试题解析延长CE至G，使EC=EG，延长ED至H，使EH=AE，过D作DT∥BC，交AE于T，连接GH、AH，
设∠AEC=α，则∠DEB=α，
∵∠AEC=∠DEB=α，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=GH，∠ACE=∠EGH=90°，
∴AC∥GH，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AH∥CG，
∴∠AHE=∠HEG=α，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
设∠ACD=∠ADC=β，
∵∠CDE=45°，
∴β+45°+∠BDE=180°，
∴β=135°-∠BDE①，
∵△ACD是等腰三角形，
∴∠CAD=180°-2β，
∵△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=90°-∠CAD=90°-（180°-2β）=2β-90°，
在△BDE中，由内角和得：α+∠BDE+∠ABC=180°，
α+∠BDE+2β-90°=180°②，
把①代入②得：α+∠BDE+2（135°-∠BDE）-90°=180°，
∠BDE=α，
∴∠ADH=∠BDE=α，
∴AD=AH=AC，
∴四边形ACGH是正方形，
∴AH=AC=2CE=，
∴AD=AC=，
∵∠BED=∠BDE=α，
∴BE=BD，
设BE=x，则BD=x，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴()2+(+x)2＝(+x)2，
解得：x=，
∴BE=BD=，
∴CE=2BE=2BD，
∴AD=4BD，
∴，
∵DT∥BC，
∴△ADT∽△ABE，
∴，
∵CE=2BE，
∴，
∵DT∥CE，
∴，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=
∴ET=AE=×=，
∴EF=ET=×=，
过F作FM⊥BC于M，
tanα=，
设EM=y，则FM=2y，EF=y，
∴y=，
y=，
∴FM=2y=，EM=y=，
∴CM=CE-EM=-=，
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF==5；
故答案为5．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分72分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【正确答案】（1）3；（2）x=5．
【详解】试题分析：（1）根据值，二次根式性质和零指数幂分别求出每一部分的值，再代入求出即可；
（2）把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入（x+1）（x-1）进行检验即可．
试题解析：（1）原式=2+2-1
=3；
（2）方程两边都乘以（x+1）（x-1）得：2（x+1）=3（x-1），
解这个方程得：2x+2=3x-3，
2x-3x=-3-2，
-x=-5，
x=5，
检验：∵当x=5时，（x+1）（x-1）≠0，
∴x=5是原方程的解．
18. 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE，证出CD∥BE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵点C是AB的中点，
∴AC=BC；
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（SSS），
（2）证明：连接DE，如图所示：
∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE，
又∵CD=BE，
∴四边形CBED是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
19. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【正确答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）见解析
【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）10÷20%=50（名）
答：本次抽样共抽取了50名学生.
（2）50-10-20-4=16（名）
答：测试结果为C等级的学生有16名.
图形统计图补充完整如下图所示：
（3）700×=56（名）
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．也考查了统计图．
20. 已知函数y=﹣x+4，回答下列问题：
（1）请在右图的直角坐标系中画出函数y=﹣x+4图象；
（2）y的值随x值的增大而________；
（3）当y=2时，x的值为_________；
（4）当y＜0时，x的取值范围是_______．
【正确答案】 ①. 减小 ②. x=2 ③. x＞4
【详解】试题分析：（1）采用两点法作图即可；
（2）根据函数的图象确定其增减性即可；
（3）代入y的值求得x底面值即可；
（4）根据函数值的取值范围图象确定x的取值范围即可．
试题解析：（1）图象如图所示：
（2）观察图象知y随着x的增大而减小；
（3）当y=2时，-x+4=2，
解得：x=2；
（4）观察图象知：当y＜0时，x＞4，
故答案为减小；x=2；x＞4．
21. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠CAB=120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．
【正确答案】(1) 见解析;（2）
【详解】试题分析：（1）先连接OD、AD，由于AB是直径以及AB=AC，易证BD=CD，而OA=OB，从而可知OD是△ABC的中位线，那么OD∥AC，再DE⊥AC，易证∠ODE=∠CED=90°，即DE是⊙O的切线；
（2）由⊙O半径是5，可知AB=10，而△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可知∠CAD=∠BAD=60°，在Rt△ADB中，易求BD，进而可求BC．
试题解析：如图所示，连接OD、AD．
∵AB是直径，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵⊙O半径是5，
∴AB=10，
∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
在Rt△ADB中，BD=sin60°•AB=5，
∴BC=10．
22. A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系．
（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B的速度是多少？
（3）求L1，L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？
【正确答案】（1）L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）汽车B的速度是1.5千米/分；（3）s1=﹣1.5t+330，s2=t；（4）2小时后，两车相距30千米；（5）行驶132分钟，A、B两车相遇．
【详解】试题分析：（1）直接根据函数图象的走向和题意可知L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）由L1上60分钟处点的坐标可知路程和时间，从而求得速度；
（3）先分别设出函数，利用函数图象上的已知点，使用待定系数法可求得函数解析式；
（4）（3）中函数图象求得时s的值，做差即可求解；
（5）求出函数图象的交点坐标即可求解．
试题解析：（1）函数图形可知汽车B是由乙地开往甲地，故L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）（330﹣240）÷60=1.5（千米/分）；
（3）设L1为 把点（0，330），（60，240）代入得
所以
设L2为 把点（60，60）代入得
所以
（4）当时，
330﹣150﹣120=60（千米）；
所以2小时后，两车相距60千米；
（5）当时，
解得
即行驶132分钟，A、B两车相遇．
23. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若没有存在，请说明理由；
（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件： ．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）3或．（3）或0＜
【分析】（1）根据矩形的性质，已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系没有确定，所以应针对没有同的对应关系分情况考虑：当 时，则得到四边形为矩形，从而求得的值；当时，再（1）中的结论，得到等腰．再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）此题首先应针对点的位置分为两种大情况：①与AE相切，② 与线段只有一个公共点，没有一定必须相切，只要保证和线段只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段外的情况即是的取值范围．
【详解】(1)证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC.
∴∠PAF=∠AEB.
又∵PF⊥AE，
∴△PFA∽△ABE.
(2)情况1,当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=3，即x=3.
情况2,当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，
即
∴满足条件的x的值为3或
(3) 或
两组角对应相等，两三角形相似.
24. 已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求t的取值范围．
【正确答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个没有同的公共点时t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
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