第十一单元 第35课时 解直角三角形（含答案）

这是一份第十一单元 第35课时 解直角三角形（含答案），共41页。PPT课件主要包含了小题热身，图35－1，图35－2，图35－3，第4题答图，考点管理，图35－4，图35－5，图35－6，图35－7等内容，欢迎下载使用。

A．5 m B．6 m C．6.5 m D．12 m
2．如图35－2，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是 (　 　)
一、必知1 知识点解直角三角形应用的常用知识仰角和俯角：如图35－4，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做________，视线在水平线下方的叫做________．
坡度和坡角：如图35－5，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫做________，用字母i表示，把坡面与水平面的
方向角：如图35－6，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．
二、必会2 方法1．解直角三角形应用的基本图形在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形的知识来解决问题．常见的构造图形有如下几种：①如图35－7，不同地点看同一点；
②如图35－8，同一地点看不同点；③如图35－9，利用反射构造相似．
2．数形结合思想数形结合是重要的数学思想，解直角三角形的应用问题需要充分运用数形结合思想，此类题型是中考的热点．
解直角三角形的应用[2017·台州]如图35－10是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m，已知小汽车车门宽AO为1.2 m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64；cs40°≈0.77；tan40°≈0.84)
【解析】 过点A作AC⊥OB，垂足为C，解直角三角形求出AC的长度，进而作出比较．解：如答图，过点A作AC⊥OB，垂足为C，在Rt△ACO中，∠AOC＝40°，AO＝1.2 m，∴AC＝sin∠AOC·AO≈0.64×1.2＝0.768，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且相距0.8 m，0.768 ＜0.8，∴车门不会碰到墙．
如图35－11是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75)．
解： 如答图，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥AE点F，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在△BAF中，AB＝2.7，∴AF＝2.7×cs70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC＝0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)．答：端点A到地面CD的距离约是a1.1 m.
利用解直角三角形测量物体的高度(或宽度)
【解析】 设每层楼高为x m，则可表示出EC′与DC′的大小，然后通过解C′A′与C′B′，用含x的式子表示出C′B′与C′A′的长，其差即为AB的长14 m，由此构建方程求解．
1．如图35－13，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ的度数；
【解析】 依题意可得△AEF中，∠E＝30°，∠EAF＝45°，要求EF的长，运用“化斜为直，保留特殊角”的方法，过F作FM⊥AE于点M，易知EF＝2FM，而FM＝AM，AM＋EM＝AE＝2AB，故需设MF＝x m，再运用方程的思想来解决问题．
【点悟】　解直角三角形时，若所求的元素不能在同一个直角三角形中求得，则可在两个及两个以上的直角三角形中，通过列方程解决问题．
利用解直角三角形解决航海问题[2017·长沙]为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图35－15，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1 h到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．(1)求∠APB的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
解： (1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°；(2)如答图，作PH⊥AB于H.∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝50，
1．[2016·绍兴]如图35－16，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60 m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向．(1)求∠CBA的度数；
解： (1)由已知可得∠CAB＝135°，∠BCA＝30°，∴∠CBA＝180°－(135°＋30°)＝15°；(2)如答图，过点B作BD⊥AC于点D，设BD＝x m，在Rt△CBD中，∵∠BCD＝30°，
2．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图35－17，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
【解析】 由小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，确定AC∥BD，已知∠CBD＝45°，可得∠C＝45°.作BE⊥AC，∵已知AB＝4，∴先在Rt△AEB中求得BE的长，然后再在Rt△CEB中求得BC的长．
【点悟】　求与三角形有关的实际问题，一般是转化为直角三角形或相似三角形或全等三角形来解，从各方位角中计算出角的大小，再直接利用解直角三角形求实际距离．
利用直角三角形解决坡度问题为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2 m(即CD＝2 m)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图35－18所示．已知AE＝4 m，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.2)
1．如图35－19，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500 m，则这名滑雪运动员的高度下降了_______m．(参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67)
【解析】 在Rt△ABC中，AC＝AB·sin34°≈280(m)，即这名滑雪运动员的高度下降了280 m.
(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
【点悟】　此类有关坡比、坡角的问题，把关于梯形的计算通过作高线转化成关于直角三角形的计算是解决问题的基本思路．
必明1 易错点在解直角三角形的应用时，要注意以下几点：(1)要弄清仰角、俯角、坡角、方向角等概念的意义；(2)分析题意，画图并找出要求解的直角三角形，有些图形如果不是直角三角形，可以通过适当作辅助线构造直角三角形；(3)选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；(4)按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求确定答案，注明单位．