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第八单元 第28课时 矩形、菱形、正方形（含答案）
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这是一份第八单元 第28课时 矩形、菱形、正方形（含答案），共60页。PPT课件主要包含了小题热身，图28－1，图28－2，图28－3，∠BAD＝90°，考点管理，平行四边形，四边形，垂直平分，平行四边等内容，欢迎下载使用。
1．下列命题是真命题的是 ( )A．四边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是 ( )【解析】 易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝24÷4＝6(m)．
3．如图28－2，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC的长为 ( )A．5 B．4 C．3.5 D．3
4．如图28－3，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为 ( )A．5 cm B.10 cmC.14 cm D.20 cm
5．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：___________，使得▱ABCD为正方形．【解析】 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形(答案不唯一，合理即可)．
一、必知4 知识点1．矩形定义：有一个角是直角的___________是矩形．矩形的性质定理：(1)矩形四个角都是____角(或矩形四个角相等)；(2)矩形对角线_____．
矩形的判定定理：(1)有三个角是直角的_______是矩形；(2)对角线相等的___________是矩形．注意：利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半．
【智慧锦囊】(1)矩形具有平行四边形的一切性质；(2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；(3)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，矩形还是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点；(4)矩形的面积等于两邻边的乘积．
2．菱形定义：一组邻边相等的___________是菱形；菱形的性质定理：(1)菱形的四条边都_____；(2)菱形的对角线互相_________，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的判定定理：(1)四条边都相等的________是菱形；(2)对角线互相垂直的___________是菱形．
【智慧锦囊】(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；(3)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的_____；(4)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高．
3．正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的_________形是正方形．正方形的性质：(1)正方形对边平行；(2)正方形四边相等；(3)正方形四个角都是直角；(4)正方形对角线相等，互相_________，每条对角线平分一组对角．
对称性：正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点．正方形的判定定理：(1)有一组邻边相等的_____是正方形；(2)有一个角是直角的_____是正方形．
【智慧锦囊】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形．矩形是有一内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是矩形又是菱形．
4．中点四边形定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形．常用结论：(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形；(2)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；(4)对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形．
二、必会2 方法1．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系(1)在平行四边形的基础上，增加条件“一个角是直角”或“对角线相等”，可得矩形；(2)在平行四边形的基础上，增加条件“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”，可得菱形；(3)在平行四边形的基础上，要证明是正方形，可先证明它是矩形，再证明它是菱形或者先证明它是菱形，再证明它是矩形，可得正方形．
2．活用菱形对角线的性质解题菱形是一组邻边相等的平行四边形，它是轴对称图形，其对称轴是两条对角线所在的直线．关于菱形的对角线，有如下性质：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．灵活运用这一特殊性质，可以顺利解决一些问题，此类题型是中考的热点考题．
菱形的性质与判定 如图28－4，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连结CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．
解： (1)证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，同理：AB＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；(2)∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
1．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为____________．【解析】 如答图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠A＝∠C＝30°，∠ABC＝∠ADC＝150°，∴∠DBA＝∠DBC＝75°，当点E在BD左侧时，∵ED＝EB，∠DEB＝120°，∴∠EBD＝
∠EDB＝30°，∴∠EBC＝∠EBD＋∠DBC＝105°，当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′＝30°，∴∠E′BC＝∠DBC－∠DBE′＝45°，∴∠EBC＝105°或45°.
2．如图28－5，已知BD是矩形ABCD的对角线． (1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)； (2)连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形，请说明理由．
解： (1)如答图所示；(2)四边形BEDF是菱形．理由：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，又∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF是菱形．
3．如图28－6，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.(1)求证：AB＝BC；
解： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；(2)如答图，连结BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，
矩形的性质与判定如图28－7，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB延长线于点E，连结BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝_____时，四边形BECD是矩形．
解： (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC.又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°，∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC.∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．【点悟】 证明一个四边形是矩形，一般常用的方法是：(1)有三个角是直角的四边形；(2)有一个角是直角的平行四边形；(3)对角线相等的平行四边形．
1．[2016·荆门]如图28－8，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.则下列结论中，不一定正确的是 ( )
2．如图28－9，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H. (1)求证：△PHC≌△CFP； (2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们之间面积的关系．
解： (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，AD∥BC，又∵EF∥AB，AD∥GH，∴EF∥CD，BC∥GH，∴∠HCP＝∠CPF，∠CPH＝∠PCF，∵CP＝PC，∴△PHC≌△CFP(ASA)；(2)由(1)知AB∥EF∥CD，AD∥GH∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，易知S△ADC＝S△ABC，S△PHC＝S△PHC，S△APE＝S△APG.则S四边形PEDH＝S四边形PFBG.
正方形的性质与判定如图28－11，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
解： (1)AG2＝GE2＋GF2.理由：如答图，连结GC，由正方形性质知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，在△ADG和△CDG中，∴AG＝CG，由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，∴四边形GFCE为矩形，∴GF＝EC.
在∠Rt△GEC中，根据勾股定理，得GC2＝GE2＋EC2，∴AG2＝GE2＋GF2.(2)如答图，作AH⊥BD于点H，由题意知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，△AGH为含30°角的直角三角形，
1．如图28－12所示，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．解： (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；
(2)AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．
2．如图28－13，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连结DE.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．【解析】 (1)由∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，推出∠BAE＝∠ADF，即可根据AAS证明△ABE≌△DAF；(2)设EF＝x，则AE＝DF＝x＋1，根据四边形ABED的面积为6，列出方程即可解决问题．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵DF⊥AG，BE⊥AG，∴∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中，
3．(1)如图28－14①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD至点G，使DG＝BE，连结EF，AG.求证：EF＝FG；(2)如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的长．
解： (1)证明：∵在正方形ABCD中，DG＝BE，AB＝AD，∠B＝∠ADG，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠EAD＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAG＝90°，∴∠GAF＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝FG；
(2)如答图，过点A作AK⊥AM于点A，取AK＝AM，连结NK，CK.∴∠MAK＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2.∵∠MAN＝45°，∴∠2＋∠3＝∠NAK＝∠1＋∠3＝90°－∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠NAK.∴△AMN≌△AKN(SAS)．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠4＝45°，∴∠5＝∠B＝45°，CK＝BM＝1，NK＝MN，∴∠4＋∠5＝90°，
平行四边形的折叠问题如图28－15，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ( )
1．如图28－16，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是 ( )
【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠BAC＋∠BCA＝90°，即∠BAE＋∠EAC＋∠ECA＝90°.由折叠的性质，得∠BAE＝∠EAC，又∵∠EAC＝∠ECA，∴3∠ECA＝90°，∴∠ECA＝30°.在Rt△ABC中，AC＝2AB＝2×3＝6.
【解析】 如答图，作FM⊥AD于点M.则MF＝DC＝3a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.∵DC＝3DE＝3a，∴CE＝2a，由折叠的性质，得PE＝CE＝2a＝2DE，∠EPF＝∠C＝90°，∴∠DPE＝30°，∴∠MPF＝180°－90°－30°＝60°，
3．如图28－18，AC为矩形、ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF.又∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形；(2)∵AB＝6，AC＝10，由勾股定理，得BC＝8.设EM＝x，那么BE＝EM＝x，∴CE＝BC－BE＝8－x，CM＝AC－AM＝AC－AB＝4.在Rt△CEM中，由勾股定理，得EM2＋CM2＝CE2，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，
【点悟】 折叠的实质是轴对称，折叠前后对应部分重合，即对应角相等，对应边相等，对应图形全等．
中点四边形如图28－19，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为( )A．一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D.当AC＝BD时它是矩形
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH可能是轴对称图形．【点悟】 依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．
1．若顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是 ( )A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形
【解析】 如答图，根据题意，得四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC.∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
2．如图28－20，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…按此规律继续下去，
必明2 易错点1．在判定矩形、菱形、正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各种判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过仔细分析已知条件来确定用哪一种判定方法．2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定方法很多，很容易混淆，复习时要从这几种图形的定义入手，从边、角、对角线三个角度考虑，正确掌握这几种图形之间的区别与联系．
特殊平行四边形判定错误[广州中考]在平面中，下列命题为真命题的是 ( )A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【错解】A或B或D
1．下列命题是真命题的是 ( )A．四边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是 ( )【解析】 易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝24÷4＝6(m)．
3．如图28－2，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC的长为 ( )A．5 B．4 C．3.5 D．3
4．如图28－3，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为 ( )A．5 cm B.10 cmC.14 cm D.20 cm
5．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：___________，使得▱ABCD为正方形．【解析】 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形(答案不唯一，合理即可)．
一、必知4 知识点1．矩形定义：有一个角是直角的___________是矩形．矩形的性质定理：(1)矩形四个角都是____角(或矩形四个角相等)；(2)矩形对角线_____．
矩形的判定定理：(1)有三个角是直角的_______是矩形；(2)对角线相等的___________是矩形．注意：利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半．
【智慧锦囊】(1)矩形具有平行四边形的一切性质；(2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；(3)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，矩形还是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点；(4)矩形的面积等于两邻边的乘积．
2．菱形定义：一组邻边相等的___________是菱形；菱形的性质定理：(1)菱形的四条边都_____；(2)菱形的对角线互相_________，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的判定定理：(1)四条边都相等的________是菱形；(2)对角线互相垂直的___________是菱形．
【智慧锦囊】(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；(3)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的_____；(4)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高．
3．正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的_________形是正方形．正方形的性质：(1)正方形对边平行；(2)正方形四边相等；(3)正方形四个角都是直角；(4)正方形对角线相等，互相_________，每条对角线平分一组对角．
对称性：正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点．正方形的判定定理：(1)有一组邻边相等的_____是正方形；(2)有一个角是直角的_____是正方形．
【智慧锦囊】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形．矩形是有一内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是矩形又是菱形．
4．中点四边形定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形．常用结论：(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形；(2)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；(4)对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形．
二、必会2 方法1．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系(1)在平行四边形的基础上，增加条件“一个角是直角”或“对角线相等”，可得矩形；(2)在平行四边形的基础上，增加条件“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”，可得菱形；(3)在平行四边形的基础上，要证明是正方形，可先证明它是矩形，再证明它是菱形或者先证明它是菱形，再证明它是矩形，可得正方形．
2．活用菱形对角线的性质解题菱形是一组邻边相等的平行四边形，它是轴对称图形，其对称轴是两条对角线所在的直线．关于菱形的对角线，有如下性质：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．灵活运用这一特殊性质，可以顺利解决一些问题，此类题型是中考的热点考题．
菱形的性质与判定 如图28－4，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连结CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．
解： (1)证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，同理：AB＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；(2)∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
1．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为____________．【解析】 如答图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠A＝∠C＝30°，∠ABC＝∠ADC＝150°，∴∠DBA＝∠DBC＝75°，当点E在BD左侧时，∵ED＝EB，∠DEB＝120°，∴∠EBD＝
∠EDB＝30°，∴∠EBC＝∠EBD＋∠DBC＝105°，当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′＝30°，∴∠E′BC＝∠DBC－∠DBE′＝45°，∴∠EBC＝105°或45°.
2．如图28－5，已知BD是矩形ABCD的对角线． (1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)； (2)连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形，请说明理由．
解： (1)如答图所示；(2)四边形BEDF是菱形．理由：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，又∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF是菱形．
3．如图28－6，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.(1)求证：AB＝BC；
解： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；(2)如答图，连结BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，
矩形的性质与判定如图28－7，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB延长线于点E，连结BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝_____时，四边形BECD是矩形．
解： (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC.又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°，∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC.∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．【点悟】 证明一个四边形是矩形，一般常用的方法是：(1)有三个角是直角的四边形；(2)有一个角是直角的平行四边形；(3)对角线相等的平行四边形．
1．[2016·荆门]如图28－8，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.则下列结论中，不一定正确的是 ( )
2．如图28－9，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H. (1)求证：△PHC≌△CFP； (2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们之间面积的关系．
解： (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，AD∥BC，又∵EF∥AB，AD∥GH，∴EF∥CD，BC∥GH，∴∠HCP＝∠CPF，∠CPH＝∠PCF，∵CP＝PC，∴△PHC≌△CFP(ASA)；(2)由(1)知AB∥EF∥CD，AD∥GH∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，易知S△ADC＝S△ABC，S△PHC＝S△PHC，S△APE＝S△APG.则S四边形PEDH＝S四边形PFBG.
正方形的性质与判定如图28－11，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
解： (1)AG2＝GE2＋GF2.理由：如答图，连结GC，由正方形性质知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，在△ADG和△CDG中，∴AG＝CG，由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，∴四边形GFCE为矩形，∴GF＝EC.
在∠Rt△GEC中，根据勾股定理，得GC2＝GE2＋EC2，∴AG2＝GE2＋GF2.(2)如答图，作AH⊥BD于点H，由题意知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，△AGH为含30°角的直角三角形，
1．如图28－12所示，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．解： (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；
(2)AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．
2．如图28－13，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连结DE.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．【解析】 (1)由∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，推出∠BAE＝∠ADF，即可根据AAS证明△ABE≌△DAF；(2)设EF＝x，则AE＝DF＝x＋1，根据四边形ABED的面积为6，列出方程即可解决问题．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵DF⊥AG，BE⊥AG，∴∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中，
3．(1)如图28－14①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD至点G，使DG＝BE，连结EF，AG.求证：EF＝FG；(2)如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的长．
解： (1)证明：∵在正方形ABCD中，DG＝BE，AB＝AD，∠B＝∠ADG，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠EAD＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAG＝90°，∴∠GAF＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝FG；
(2)如答图，过点A作AK⊥AM于点A，取AK＝AM，连结NK，CK.∴∠MAK＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2.∵∠MAN＝45°，∴∠2＋∠3＝∠NAK＝∠1＋∠3＝90°－∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠NAK.∴△AMN≌△AKN(SAS)．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠4＝45°，∴∠5＝∠B＝45°，CK＝BM＝1，NK＝MN，∴∠4＋∠5＝90°，
平行四边形的折叠问题如图28－15，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ( )
1．如图28－16，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是 ( )
【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠BAC＋∠BCA＝90°，即∠BAE＋∠EAC＋∠ECA＝90°.由折叠的性质，得∠BAE＝∠EAC，又∵∠EAC＝∠ECA，∴3∠ECA＝90°，∴∠ECA＝30°.在Rt△ABC中，AC＝2AB＝2×3＝6.
【解析】 如答图，作FM⊥AD于点M.则MF＝DC＝3a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.∵DC＝3DE＝3a，∴CE＝2a，由折叠的性质，得PE＝CE＝2a＝2DE，∠EPF＝∠C＝90°，∴∠DPE＝30°，∴∠MPF＝180°－90°－30°＝60°，
3．如图28－18，AC为矩形、ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF.又∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形；(2)∵AB＝6，AC＝10，由勾股定理，得BC＝8.设EM＝x，那么BE＝EM＝x，∴CE＝BC－BE＝8－x，CM＝AC－AM＝AC－AB＝4.在Rt△CEM中，由勾股定理，得EM2＋CM2＝CE2，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，
【点悟】 折叠的实质是轴对称，折叠前后对应部分重合，即对应角相等，对应边相等，对应图形全等．
中点四边形如图28－19，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为( )A．一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D.当AC＝BD时它是矩形
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH可能是轴对称图形．【点悟】 依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．
1．若顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是 ( )A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形
【解析】 如答图，根据题意，得四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC.∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
2．如图28－20，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…按此规律继续下去，
必明2 易错点1．在判定矩形、菱形、正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各种判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过仔细分析已知条件来确定用哪一种判定方法．2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定方法很多，很容易混淆，复习时要从这几种图形的定义入手，从边、角、对角线三个角度考虑，正确掌握这几种图形之间的区别与联系．
特殊平行四边形判定错误[广州中考]在平面中，下列命题为真命题的是 ( )A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【错解】A或B或D
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