第七单元 第23课时 等腰三角形（含答案）

这是一份第七单元 第23课时 等腰三角形（含答案），共38页。PPT课件主要包含了小题热身，图23－1，图23－2，图23－3，考点管理，轴对称图形，等边对等角，平分线，垂直平分，图23－4等内容，欢迎下载使用。

1．等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为 (　 　)A．16 cm B．17 cmC．20 cm D．16 cm或20 cm2．等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是 (　 　)A．80° B．80°或20°C．80°或50° D．20°
3．如图23－1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为 (　 　)  A．35° B．45° C．55° D．60°
4．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是_________．【解析】 根据三角形的内角和等于180°，又∵等腰三角形的一个内角为100°，∴这个100°的内角只可能是顶角，故填100°.
5．如图23－2，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连结BD，则∠ABD＝_______度．【解析】 ∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠A＝∠C＝35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝35°.
6．如图23－3，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有______个．
一、必知5 知识点1．等腰三角形的概念和性质定义：有两______相等的三角形是等腰三角形．性质：(1)等腰三角形是______________，顶角平分线所在直线是它的对称轴；(2)等腰三角形的两个底角相等(简称______________)；(3)等腰三角形的顶角__________，底边上的________和高线互相重合(简称等腰三角形三线合一)．
【智慧锦囊】等腰三角形常见结论：(1)等腰三角形两腰上的高线相等；(2)等腰三角形两腰上的中线相等；(3)等腰三角形两底角的平分线相等；(4)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半；(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线；(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高线．
2．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形(简称等角对等边)．拓展：(1)一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形；(2)一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形；(3)一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．
3．等边三角形的性质定理：等边三角形的各个角都等于60°.4．等边三角形的判定：判定定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角等于60°的________三角形是等边三角形．5．线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离______ __．判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的__________ ____上．
【智慧锦囊】(1)等腰三角形的性质常用于证明角相等、线段相等、直线垂直，其用途较广，题型变化多；(2)已知等腰三角形，常添的辅助线是作底边上的高线(或顶角平分线或底边上的中线)；(3)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线．
二、必会2 方法1．分类讨论在等腰三角形中，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰进行讨论，还要注意构造三角形的条件，满足三边关系；同样在条件中没有明确底角和顶角时，也要进行分类讨论．2．方程思想与等腰三角形有关的角度计算，常用方程思想，结合三角形内角和等于180°来解，是中考的热点考题．
等腰三角形的性质　如图23－4，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为 (　 　)A．40° B．36° C．30° D．25°
【解析】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝∠C＋∠CAD，∵CD＝AD，∴∠C＝∠CAD，∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°.【点悟】　根据等腰三角形的性质进行角度计算，常与三角形内角和结合，利用方程求解．
1．如图23－5，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为 (　 　)  　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．50° B．51°C．51.5° D．52.5°
2．如图23－6，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.证明： ∵AM＝2MB，AN＝2NC，AB＝AC，∴AM＝AN，∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD，
线段的垂直平分线的性质与判定 如图23－7，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为__________．
【解析】 ∵AB＝AC，BE＝a，AE＝b，∴AC＝AB＝a＋b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE＝b，∴∠ECA＝∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝36°，∴∠BEC＝180°－∠ABC－∠ECB＝72°，∴CE＝BC＝b，∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2a＋3b.
1．如图23－8，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_____．
2．[2017·酒泉]如图23－9，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于______cm.
3．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得锐角为50°，则∠B＝______________．
①　　　　　　　　　　② 变式跟进3答图
等腰三角形的判定　 [2017·连云港]如图23－10，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连结BE，CD，相交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.【解析】 (1)根据全等三角形的判定SAS可证明△ABE≌△ACD，然后证∠ABE＝∠ACD；(2)根据(1)的结论可得AB＝AC，从而得∠ABC＝∠ACB，∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，得点A，F均在线段的垂直平分线上，即可证出结论．解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD.∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.
1．如图23－11，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有成立的情形)?(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
解： (1)①②；①③；(2)选①②.证明：在△BOE和△COD中，∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
2．如图23－12，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O.(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．【解析】 (1)证明△ABF≌△DCE；(2)由等角对等边可判断其形状．
解：(1)证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE(AAS)，∴AB＝DC；(2)△OEF为等腰三角形．理由：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF，∴△OEF为等腰三角形．【点悟】　判定等腰三角形的一般方法是“两边相等”和“等角对等边”这两种，这就涉及证明线段相等或角相等的问题，结合三角形全等可以解决．
等边三角形的性质与判定 　[2018·中考预测]如图23－13，△ABC是等边三角形，D，E分别是AB，BC边上的动点(与点A，B，C不重合)，并始终保持BD＝CE.(1)当点D，E运动到如图①所示的位置时，求证：CD＝AE.(2)把图①中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到△ABF的位置(如图②)，分别连结DF，EF.找出图中所有的等边三角形(△ABC除外)，并对其中一个给予证明．
图23－13证明： (1)∵△ABC是等边三角形，∴BC＝CA，∠B＝∠ECA＝60°，又∵BD＝CE，∴△BCD≌△CAE(SAS)，∴CD＝AE；
(2)图中有2个等边三角形，分别是△BDF，△AFE.由题意知，△ACE≌△ABF，∴BF＝CE，∠ABF＝∠ECA＝60°，又∵BD＝CE，∴BD＝CE＝BF，∴△BDF是等边三角形，∵AF＝AE，∠FAE＝60°，∴△AFE是等边三角形．【点悟】　在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立在对一些几何图形的基本性质(如本题是等边三角形的基本性质)的掌握之上，借助这些图形的特性，可以启发我们寻找解答问题的思路和方法．
如图23－14，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．解： (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDF＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°；
(2)∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝60°.∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝30°＝∠F，∴CE＝CF，又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD，∵CD＝2，∴DF＝4.
必明3 易错点1．等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形．2．解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形，在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅助线的语句不能限制太多，如“作一边上的高线并且要平分这条边”、“作一个角的平分线并且垂直于对边”等，这些都是不正确的．3．在解有关等腰三角形的问题时，不要总认为腰大于底，实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．
分类讨论防漏解1．已知等腰三角形的一个内角为70°角，则另外两个内角的度数是 (　　)A．55°，55° B．70°，40°C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对【错解】A或B【错因】没有分情况讨论，70°角有可能是顶角或底角．【正解】C
2．如图23－15，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 (　　)A．4 B.5C.6 D.7【错解】A，B或D
【错因】没有考虑到所有情况．如答图①，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；如答图②，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；如答图③，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；如答图④，作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；如答图⑤，作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；如答图⑥，作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．