第七单元 第22课时 三角形全等（含答案）

这是一份第七单元 第22课时 三角形全等（含答案），共49页。PPT课件主要包含了小题热身，图22－1，图22－2，第3题答图，图22－3，图22－4，考点管理，三角形全等的判定，距离相等，角平分线等内容，欢迎下载使用。

1．下列命题中，是假命题的是 (　 　)A．任意多边形的外角和为360°B．在 △ABC和 △A′B′C′中，若AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′＝90°，则△ABC ≌△A′B′C′C．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D．同弧所对的圆周角和圆心角都相等
【解析】 一般多边形默认为凸多边形，外角和均为360°，A正确；由HL易知B正确；由三边关系知C正确；同弧所对的圆周角是圆心角的一半，D错误．
2．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图22－1中的①，②，③所示，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应该带 (　 　)A．① B．② C．③ D．①和②
3．如图22－2，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 (　 　)  【解析】 如答图，作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝2.
4．如图22－3，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是 (　 　)   A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠EC．BC∥EF D．∠A＝∠EDF
5．如图22－4，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________．
一、必知6 知识点1．全等图形及全等三角形全等图形：能够________的两个图形称为全等图形．全等三角形：能够________的两个三角形叫全等三角形．2．全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边________，对应角________；拓展：全等三角形的对应边上的高线________，对应边上的中线________，对应角的平分线________．
4.三角形的稳定性三角形具有稳定性实际利用的就是“SSS”．5．角平分线的性质性质：角平分线上的点到角两边的____________．判定：角的内部，到角两边的距离相等的点在__________ _____．6．命题与证明命题：判断某一件事情的句子叫做命题．组成：命题通常写成“如果……，那么……”的形式．命题的真假：命题有真命题和假命题；定理是用推理的方法判断为正确的命题．
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题．互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．
【智慧锦囊】(1)改写命题时，要明确命题的条件和结论，有时语言要重新组合，可添上命题中被省略的词语；(2)用举反例的方法说明一个命题是假命题，就是举出一个符合命题题设而不符合命题结论的例子，举反例也可以通过画图的形式展现．
二、必会3 方法1．证明的基本方法综合法：从已知条件入手，探索解题途径的方法．分析法：从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法．两头“凑”法：综合应用以上两种方法而找到证题思路的方法．2．反证法先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立．(1)有些用直接证法不易证明的问题可尝试考虑用反证法；(2)证明唯一性和存在性问题常用反证法．
3．全等三角形证明规律(1)出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；(2)过角平分线上一点向角两边作垂线；(3)公共边是对应边，公共角是对应角；(4)若有中线时，常加倍中线，构造全等三角形．
命题、真假命题、互逆命题　[2017·嘉兴]下列关于函数y＝x2－6x＋10的四个命题：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①当x＝0时，y有最小值10；②n为任意实数，x＝3＋n时的函数值大于x＝3－n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n＋1时，y的整数值有(2n－4)个；④若函数图象过点(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，则a＜b.
其中真命题的序号是 (　 　)A．① B．② C.③ D.④【解析】 ∵y＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时，y有最小值1，故①错误；当x＝3＋n时，y＝(3＋n－3)2＋1＝n2＋1，当x＝3－n时，y＝(3－n－3)2＋1＝n2＋1，∴n为任意实数，x＝3＋n时的函数值等于x＝3－n时的函数值，故②错误；∵抛物线y＝x2－6x＋10的对称轴为x＝3，a＝1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＝n＋1时，y＝(n＋1)2－6(n＋1)＋10，当x＝n时，y＝n2－6n＋10，(n＋1)2－6(n＋1)＋10－[n2－6n＋10]＝2n－5，∵n是整数，∴2n－5是整数，故③正确；
∵抛物线y＝x2－6x＋10的对称轴为x＝3，a＝1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜3时，y随x的增大而减小，∵y0＋1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当a，b在3两侧时，a，b的大小不确定，故④错误．故选C.
1．下列哪一个是假命题 (　 　)A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．(3，－2)关于y轴的对称点为(－3，2)D．抛物线y＝x2－4x＋2 017的对称轴为直线x＝22．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是 (　 　)A．a＝－2 B.a＝－1C.a＝1 D.a＝2【解析】 用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是a＝－2，∵(－2)2＞1，但是a＝－2＜1，∴A正确．
3．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 (　 　)A．a＝3，b＝2 B.a＝－3，b＝2C.a＝3，b＝－1 D.a＝－1，b＝3【解析】 A，C选项均满足a2＞b2且a＞b，B选项满足a2＞b2，但a＜b，D选项不满足a2＞b2，故选B.
4．命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：________________________________．【点悟】　(1)两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．(2)正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．(3)举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，只是结论不成立．
如果m是有理数，那么它是整数
A．综合法 B．反证法C．举反例法 D．数学归纳法
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 (　 　)A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°【点悟】　反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三角形全等的证明如图22－5，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．【解析】 (1)根据边角边判定△ABC与
△AED 三角形全等；(2)由三角形全等的性质得∠B＝∠E＝140°，五边形内角和为(5－2)×180°＝540°，再求∠BAE的度数．
【点悟】　(1)全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.(2)判定两个三角形全等一般可以从三个角度思考：一是从三边考虑；二是从两边和它们的夹角考虑，三是从两角和夹边考虑；(3)轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等．
1．如图22－6，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AF＝DC，∠A＝∠D，BC∥EF.求证：AB＝DE.【解析】 根据BC∥EF推导∠ACB＝∠DFE，根据AF＝DC推导AC＝DF，根据ASA判断△ABC≌△DEF，得出结论．
2．如图22－7，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF.求证：△ADF≌△BCE.
三角形全等的开放探究型问题 如图22－8，在△ABC中，D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连结CE，BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是__________________ ______________________________________________________________ (不添加辅助线)．
BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB
等(答案不唯一，合理即可)
证明： 设添加的条件为DE＝DF.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△BDF和△CDE中，∵BD＝CD，∠FDB＝∠EDC，DF＝DE，∴△BDF≌△CDE(SAS)．
1．如图22－9，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 (　 　)A．AC＝BDB．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠DD．BC＝AD
2．如图22－10，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF与DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．解： (1)由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；(2)选择∠DAG＝∠AED.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝90°，AD＝AB，
【点悟】　(1)全等三角形的开放型探究试题，常见的类型有条件开放型、结论开放型及策略开放型三种．注意挖掘题目中隐含的条件，例如公共边、公共角、对顶角等；(2)三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查判定三角形全等的方法为主．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
利用全等三角形设计测量方案 　杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图22－11，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20 m，请根据上述信息求标语CD的长度．
图22－11【解析】 由AB∥CD，利用平行线的性质，可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的定义，可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD＝OB，利用ASA定理，可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，在△ABO与△CDO中，
课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图22－12所示．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)从三角板的刻度可知AC＝25 cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)．
【解析】 (1)根据题意，可得AC＝CB，∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC；(2)根据全等，可得DC＝BE＝3a，根据勾股定理得(4a)2＋(3a)2＝252.解：(1)证明：由题意得AC＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC＝∠CAD，
(2)∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，在Rt△ACD中，AD2＋CD2＝AC2，∴(4a)2＋(3a)2＝252，∵a＞0，解得a＝5，∴砌墙砖块的厚度a为5 cm.
角平分线　[2016·湖州]如图22－13，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 (　 　)A．8 B．6C．4 D．2
【解析】 如答图，过点P作PE⊥BC于点E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD，∵PA＋PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4.即点P到BC的距离是4.
如图22－14，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长．
解： (1)证明：如答图，连结BP，CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，DP⊥AB，EP⊥AC，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)，∴AD＝AE，由(1)得BD＝CE，∴AB＋AD＝AC－AE，∵AB＝6 cm，AC＝10 cm，∴6＋AD＝10－AE，即6＋AD＝10－AD，∴AD＝2 cm.
必明2 易错点1．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不一定全等．2．满足下列条件的三角形也是全等三角形：(1)有两边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等；
(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(5)有两边和其中一条边上的高线对应相等的两个锐角(或钝角)三角形全等；(6)有两边和第三条边上的高线对应相等的两个锐角(或钝角)三角形全等．
“边边角”不能判定全等如图22－15，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是 (　　)A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DACC．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°